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1、北京2 2 中学2 0 2 1-2 0 2 2 学年度第一学期开学考试试卷高三年级数学学科命题人：高二年级数学学科备课组 2022年8月本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，共 150分,考 试 用 时 120分钟。考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回。祝各位考生考试顺利！一、单选题（每小题4 分，共 40分）中科1.已知集合 A=x|-14x42,8=x|x 0 ,则 A u 5=()A.x|0 x-l D.巾 02.已知复数z 等于L贝心的虚部是（）1A.-1 B.1软C.-i D.i3.下列函数中，定义域与值域均为R 的 是（）A.y=lnx B.y=exC.y=x3
2、D.=-X累4.（l-x）4的展开式中，/的系数为（）A.12 B.-12C.6 D.-65.己知。=1 鸣 3,%=Qj，c=l g-，则”，h,。的大小关系为（）A.abcB.b a cC.c h aD.c a h6 .己 知 函 数=,贝!/(x)()A.是偶函数，且在R是单调递增B.是奇函数，且在R是单调递增C.是偶函数，且在R是单调递减D.是奇函数，且在R是单调递减ITjr7 .“6 =5”是“函数/(x)=si n(x+9)在区间(O )上单调递减”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8 .已知在递减的等比数列%中，%+&=6,
3、/4=8,则%=()A.4 B.3C.2 D.1 9.已知函数/(x)=cos2 O)的最小正周期为万，则()A.f3在(0,g)内单调递增 B.A x)在(0,5 内单调递减2 2C.f(x)在(,7)内单调递增 D.小)在(,7)内单调递减4 4 4 41 0.如图所示，一套组合玩具需在一半径为3的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体积的最小 值 为()C.8 4 7 r D.7 2%第 I I 卷(非选择题)二、填空题(每小题5 分，共 2 5 分)1 1 .函数/(1)=上的定义域为_.V l-x1 2 .若函数/(x)=P 2R+I在区间仅，+2 上的最小值为4,则实数的取值集合为1 3
4、.已知点p(2,3)在a 的终边上，则si n a=；cos(4+a)=.1 4 .若函数+(a0 且1).若 a=:，则 f(/(-l)=log“x,x 2 2；若f(x)有最小值，则实数。的取值范围是.1 5 .已知数列%各项均为正数，其前项和S“满足qj S =9(=l,2,).给出下列四个结论：4 的第2项小于3；,为等比数列；4 为递减数列；,中存在小于贵的项.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.三、解答题(共8 5 分)1 6 .(1 2 分)已 知/(x)=s i n x-6 C O S X .(1)求/(X)的零点；(2)求f(x)的单调递增区间.1 7 .(1 3
5、 分)已 知 的 内 角 A,8,C 所对的对边分别为a,d c,周长为&+1,且si n A +si n 8 =V 2 si n C 求 c 的值;(2)若Z Z B C 的面积为，si n C,求角C的大小.1 8.(1 5 分)如 图，在直三棱柱6中，D,E分别是棱A B,4G的中点，A C=B C =2,A 4,=3.求证:D E/平面 A C C A ；(2)再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融.并求直线DE与平面ABC所成的角的正弦值.条件：BC1AG；条件：D E d.B C；条件：DE到平面4CGA的距离为1.1 9.(1 5 分)2 0 2 1 年
6、 1 0 月 1 6 日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代.2 0 2 2 年 4月 1 6 日，神舟十三号载人飞船圆满完成任务，平安返回.为普及航天知识，某市组织中学生参加“探索太空 知识竞赛，竞赛分为理论、操作两个部分，两部分的得分均为三档，分别为1 0 0 分、2 0 0 分、3 0 0 分.现从参加活动的学生中随机选择2 0位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如下表:X操作理论X1 0 0 分2 0 0 分3 0 0 分1 0 0 分、0212 0 0 分3b13 0 0 分2
7、3a例如，表中理论成绩为2 0 0 分且操作成绩为1 0 0 分的学生有2人.(1)若从这2 0 位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到理论或操作至少一项成绩为3 0 0 分的学生概率为1 求a,b 的值；(2)在(1)的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为3 0 0 分的学生中，随机抽取2人，求至少有一个人操作的成绩为3 0 0 分的概率；(3)若要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出6的值.(直接写出答案)2 0.(1 5 分)已 知 函 数/(力=6 -1 1 次,“凡(1)当“=0 时，若曲线y =/(x)与直线丫 =丘相切于点尸，求点P的坐标；(2)当a =e 时，证明：/(x)e；
8、若对任意x e(O,田)，不等式/(x)n“恒成立，请直接写出的取值范围.2 1.(1 5 分)已 知。的,。2,以为有穷整数数列.给定正整数相，若对任意的“G 1,2,.,m ,在。中存在(1 田+1，q+2,，a 1+j (j 2 0)，使得 +田+i +%+2+ai+J=n,则称Q为川-连续可表数列.(1)判断Q：2,1,4 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若，,以为8-连续可表数列，求证：%的最小值为4；(3)若。：4,%，4为 20-连续可表数列,且%+。2+以 7.参考答案：1.B【解析】【分析】根据并集运算即可求解.【详解】解：因为集合4=3-1
9、4*4 2 ,B=x|x0,所以 A u 5 =1x|x-1.故选：B.2.A【解析】【分析】先求出复数z,即可得到z 的虚部.【详解】因为z=-i,所以z 的虚部是7.1故选：A3.C【解析】【分析】利用指数函数，对数函数，募函数和反比例函数的性质判断.【详解】A.函数y=lnx的定义域为（0,+8）,值域为R；B.函数y=e 的定义域为R,值域为（0,+8）；C.函数y=V 的定义域为R,值域为R；D.函 数y=(的定义域为 x|x x O,值 域 为 y ly H O,故选：C4.C【分 析】写出展开式的通项，再代入计算可得；【详 解】解:二 项 式dr/展 开 式 的 通 项 为&=C
10、：(r),所 以=C；(-X)2=6X2,即/的系数为6：故 选：C5.A【解 析】【分 析】根据对数函数的单调性及指数函数值可得结论.【详 解】a=log2 3 log,2=1,0/耳=!,c =log,3 log,l=0(所 以。“入2 J 8 2 2故选：A.6.B【解 析】【分 析】根据奇函数的定义及指数函数的单调性判断可 得；【详 解】解：x)=3|定 义 域 为R,且 T)=3-、g)=)3，=f(x),所 以/(x)=3-g)为奇函数,又y=3,与y=在定义域上单调递增,所 以/(x)=3*-(；j在R上单调递增;故选：B7.A【解 析】【分 析】利用充分条件，必要条件的定义及三
11、角函数的性质即得.【详 解】TT TT TT TT当时:/(x)=sin(x+g =cosx满足在区间(0弓)上 单 调 递 减，即由“0=5”可推出“函 数/(x)=sin(x+。)在 区 间(0,乡 上 单 调 递 减“，反之由“函 数f(x)=sin(x+0)在区间(0,9上单调递减”推不出“0=1”,如。=乃 时，/(x)=sin(x+m=-s in x也满足在区间(0,)上单调递减，7 7TT二，=，是“函 数/(x)=sin(x+0)在 区 间(0,步 上 单 调 递 减”的充分而不必要条件.故 选：A.8.D【解 析】【分 析】由等比数列的性质与通项公式求出的、6,从而得到公比和
12、答案.【详 解】设等比数列%的公比为4(0 7 0,所 以 有 万=女=切=1,即f(x)=c os 2x,2a)当04 2x 4兀时，即当0 W X W、时，函数单调递减，因 此 选 项A不正确，选 项B正确；T T当兀4 2 x 4 2兀时，即当,4x4万时，函数单调递增，因 此 选 项C不正确，选 项D不正确，故选：B1 0.D【解 析】【分 析】设母线与底面的夹角2 c,底 面 半 径A,内切球半径r =3,圆锥的高用&表 示R,h,求出圆锥的体积V的表达式，利 用 基 本 不 等 式 求 出 .【详 解】解：设母线与底面的夹角2 a,底 面 半 径R,内切球半径/=3,圆锥的高力,。
13、=R t a n 2a =t a n 2a=；t a na-t a na-1 -t a n a圆锥的体积丫=!不 x-一，一3 3 V t a n a J 1-t a n a=1 84 x；-!-；,(t a n a)(l-t a n a)0 2a 9 0,0 a 0 又因为：t a n2c r +(l-t a n2a)=l，、八 )412 x A t a n2 a+1-t a n2 a定值所 以(t a n-a)(l-t a n-a)V -当且仅当t a n2a =t3 n2即 3。=，时,所 以 曦 =肪 271T=7 2 万 X 2 2故选：D.1 1.(0,1)【解 析】【分 析】根据
14、对数、分式及根式的性质列不等式组求定义域.【详 解】f x 0由解析式知：一。可得 x G 所以函数定义域为(0,1).故答案为：(0,1)1 2.-3,3【解析】【分析】根据函数解析式求出对称轴和顶点坐标，画出函数图象，即可求出。的值.【详解】因为函数 fix)=x2-2x+1 =(x-1 )2,所以对称轴为X=l,顶点坐标为(1,0).令/d+1=4 得：x2-2x-3-0,解得：x=-1 或 3,所以 a+2=-l 或 a=3,即：a=-3 或 3.故答案为-3,3【点睛】本题主要考查二次函数的图象，以及利用图象求最值问题.i a3屈 2小1 3.-1 3 1 3【解析】【分析】利用三角
15、函数的定义结合诱导公式可求得结果.【详 解】由三角函数的定义可得sina=3713133V F+37/、2 2 而cos（7v+a）=-cos a=/=-7 V F 7 7 13故答案为：士 叵：-3叵.13 1314.-2 l a2【解 析】【分 析】先 计 算 -1)的值，再 计 算/(/(-功 的值；通过分类讨论确定不等式后即可求得“的取值范围.I-x+3,x 2-、2所以 f(T)=-(T)+3 =4,所 以 1)=/(4)=1%4 =-2；2当xW2时，/(x)=-x+3,当x=2时，/(x)=x+3取 得 最 小 值1,当0“2时，/(x)=logax 1 时，且 x 2 时，fi
16、x）=log x log 2,要使函数有最小值，则必须满足log“2 Z l,解 得1。42.故答案为：-2；i a 2.1 5.【解析】【分析】9 9推导出。=-，求出/、生的值，可判断；利用反证法可判断；利用数列单调性的定义可判断.【详解】由题意可知，VneN见0,9 9当九=1 时，：=9,可得=3；当2 2 时，由S“=一 可得S,“=,两式作差可得an-l9 94 =-，4%9 9 9所以，-二丁-,则7-。2=3,整理可得q+31-9 =0,因为出0,解 得 出=3,一3 3,对；假设数列 ,为等比数列，设其公比为4,则A=陷3,即 停 =-，所以，S；=S 2 3,可得。；(1
17、+4)2=吊(1 +4 +/),解得g =o,不合乎题意，故数列 4 不是等比数列，错;当2 2 时，q=2-2=辿 匚 0,可得可a,“所以，数列%为递减数列,a-1对；假设对任意的 e N,%2 看，则S m o o R l O O O O O x+=1000，9 9 I _所以，4()0 0 0 0 =-4 7 7 而 诉，与假设矛盾，假设不成立，对.,1 0(X X X)1UU故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题在推断的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.TT 7T 57r16.(1)x=kji 4 ,k RZ、(2)2,k/r-,k GZ.3 6 6【解析】【分析
18、】7T 7T(1)借助于辅助角公式化简，f(x)=2sin(x-7，令=kwZ,求解x；(2)令2k兀 x-2,k/r4 ,&e Z,求解x 即可.2 3 2【详解】(1)/(x)=2x(-sinx-cosx)rr7 7TT=2x(sinxcos j-cosxsin j)=2sin(x-y),若结果错提公因式给一分变成两角差给一分。TT令 f(x)=0,贝 ljsin(x-)=0,x-土=k九,keZ ,3x=k7r+,k e Z,3rr函数f(x)的零点是x=+k e Z.此处三分，若错，列式函数值为零给一分，转化为自变量运算一分，算对一分。(2)-I k n X,-/55 而【分析】(1)
19、根据三角形的中位线定理及平行四边形的性质，结合线面平行的判定定理即可求解；(2)选择，根据直棱柱的定义及线面垂直的性质定理和判定定理，建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面A BG的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出线面角的正弦值.选择，根据直棱柱的定义及线面垂直的性质定理和判定定理，建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面A 8 G的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出线面角的正弦值.选择，根据直棱柱的定义及直线到平面的距离的定义，再利用线面垂直的性质定理和判定定理，建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面A BG的法向量，再利用向量的夹角公式，
20、进而可以求出线面角的正弦值.(1)取 A G的中点为尸，连接呼E,尸分别是BC，A G的中点，幺ga耳.,。是 A 3 的中点，=,直三棱柱ABC-A A G，:.EFAD.四边形A D E F为平行四边形.J.AF/DE又平面A C GA，A F u平面A C GA，所以D E 平面4 CG A.f i 分(2)选择条件：C ACI；.,直三棱柱 A B C-A A G，.C G 1.平面 ABC,3(7匚平面48。，。6，2。，.B C 1A C,:.AC,A CC=G,AG,CG u 平面 ACC,所以 8C_L 平面 4CC】A.而 HCu 平面 ACCA BC VAC又;.B、CJI
21、BC，AC JIAC ,:.B.C,A.C,.以C1为原点，分别以G A，G8 G C 所在方向为x 轴，y 轴，z轴建立如图所示的空间直角则 A(2,0,3),3(0,2,3),C,(0,0,0),0(1,1,3),(0,1,0),所 以 不=(2,0,3),C 方=(0,2,3),DE=(-1,0,-3),设3=(x,y,z)为平面ABG的一个法向量，则g G 4=0 2x+3z=0二，即4,w-C,fi=0 2y+3z=0令 x=3,贝 I y=3,z=2,n=(3,3,-2),设直线DE与平面ABG所成的角为凡 则sin明 利 疆 二 段 蒜 耦 矿 需所以直线O E与平面A BG所成
22、的角的正弦值为 需.选择条件：D E，B；取A A的中点为。一 连接。直三棱柱A BC-A A G，。，0分别是AB,44的中点,.OR _ L平面A 4C，4Gu平面A B|G，.B i G J.OR,/D E J_ 4G,D En DD=D,DE,DD,u 平面 D E D、,所以 8 G _ L 平面 O E R .而 ED,u 平面 DEDi.B,C,ED,.分别是8,G，A蜴的中点，.-.DI/M,CI以C1为原点，分别以GA，GA，GC所在方向为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系G-x y z ,所以 C，=(2,0,3),C,B=(0,2,3),读=(一1,0,3),则
23、 A(2,0,3),B(0,2,3),G(0,0,0),0(1,1,3),(0,1,0),设=(苍y,z)为平面A8G 的一个法向量，则加 GA=O玩 不=02x+3z=02y+3z=0令 x=3,则 y=3,z=2,=(3,3,2),设直线QE与平面ABC1所成的角为外则sin0=|cosn,DE|=1.闻 二|(T)X3+0X3+(_3)X(_2)|=3底W I/A/32+32+(-2)2 X(-1)+02+(-3)2 110所以直线DE与平面ABG所成的角的正弦值为主”.选择条件：DE到平面ACCIA的距离为1.过点。作。G _L AC,垂足为G,直三棱柱AB C-A8 ,，CG _L平
24、面 ABC,06=平面48。，(6 _1 0 6,.DGLAC,.4。0。6=0。9 6 （0 /?(X)=(100-225+x 卷 +(200-225+5人 y x(300 225+5人 x -=-25人2 2506+6875因为0 4 8 4 8,所 以 当6=8时，Q(X)最小.四分【点 睛】求解本题的关键是将理论竞赛分数对应的人数表示为人的多项式，然后求解均值与方差，从而转化为关于b的二次函数的最值问题.20.(1)(1,e)(2)证明见解析(3)(0,e)【解 析】【分 析】(1)求导后设尸(x 0,e ),再根据切点的性质列式求解即可;(2)求导分析函数的单调性与最小值即可;(3)
25、方法一：数形结合判断，根 据e、aln x+ln a,分 析 函 数 =e 的图象在函数%=Inx+alna的图象上方和与函数为=anx+ana图象恰好有一个公共点的临界情况求解即可；方 法 二：将原不等式转换为6*+X-11146出+12：恒成立，再构造函数g(x)=e*+x,xe(O,y)，根据单调性得到ln a 0,则/(x)=e，：，一分令g(x)=e*-?,其中*0,J p J g，(x)=e，+5 0,一分故函数尸(x)在(0,+8)上单调递增，且 八1)=0,当x变化时，x J (x)J(x)变化情况如下表：两分X(0)1(1,+co)广 0+/(X)单调递减极小值单调递增由上表
26、可知,f(x)而1 1=1)=6.所以/(%)2.一分(3)实数”的取值范围(0，e).理由如下：方法一：(数形结合)在(0,也)上/(x)=e*-al n x ol n a 恒成立，即 e*al n x+l n .因而函数X =e*的图象在函数%=al n r+H n a的图象上方.考虑函数乂=e*图象在函数=HM+Hna图象恰好有一个公共点的临界情形（如图所示），此时它们在交点处有一条公切线沉，设交点的横坐标为M.eA,0,所以(x)在(0,+向上是增函数.又因为(1)=0,所以方程21叫)+/-=。的解是玉=1.xo因此，当两函数恰好有一个交点时，交点坐标是（l,e）,此处公切线方程是V
27、=所以当函数X=e 的图象在函数y2=anx+ana的图象上方时，实数。的取值范围（0,e）.方法二：（同构变形）显然。（）,在（0,y）上了）=炉一111&1皿恒成立，即尸叫-lnxlna恒成立即e i lnalnx 恒成立,所以 el +x -l n“x+In x =*+In x 恒成立，三分构造函数 g (x)=e*+x,x e(0,+8),易知g(x)在(0,+s)上是增函数，所以 x-l n a l n x 恒成立，H P In a 0),当x e(O,l)时,矶 力 0,所以/z(x)在(1,+8)上单调递增，所以/，(初而=MD=1，两分所以 In a 1 ,解得()a e,所以
28、实数。的取值范围(0,e).一分【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用、根据导数求解函数单调性与最值，进而证明不等式等，同时也考查了根据导数解决恒成立的问题.需要根据题意数形结合分析临界条件，或构造同构函数分析函数的单调性，参变分离求得函数的最值即可.属于难题21.(1)是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列.(2)证明见解析.(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)直接利用定义验证即可；(2)先考虑Z V 3 不符合，再列举一个=4 合题即可;(3)/4 5 时，根据和的个数易得显然不行，再讨论左=6 时，由4+/+4 2 0 可知里面必然有负数，再确定负数只能是-1，然后分类讨论验证不
29、行即可.(1)%=1,q=2,4+%=3,4=4,a2+“3=5,所以。是5-连续可表数列；易知，不存在i，j使得4 +生 T=6,所以。不是6 -连续可表数列.若后4 3,设为。：则至多a+%,%+c,a +b +c,a,b,c,6个数字，没有8 个，矛盾：当=4 时，数列 Q：l,4,1,2,满足 q=l,a4=2,a3+a4=3,a2=4,at+a2=5,4+%+4=6,a2+a3+a4=7,a,+a2+a,+a4=8,:.knin=4.(3)Q:qg,若i =/最多有左种，若i#j,最多有C：种，所以最多有人+或=乂 空种，若AM5,则 见，见至多可表生士9 =1 5 个数，矛盾，2从
30、而若&7,则=6,4 b,c,d,e,/至多可表能W =21 个数，而a+b +c +d +e +/m=1，a,b,c,d,e,f=-1,2,3,4,5,6),再考虑排序,排序中不能有和相同，否则不足20 个,.-1=-1+2(仅一种方式)，一 1 与 2 相邻,若-1不在两端，则2,-1,2,_ _ _ _“形 式,若x =6,则5=6+（T）（有2种结果相同，方式矛盾），.,.x w 6,同理 5,4,3 ,故-1在一端，不妨为=1，2,A旦C，旦 形式，若A =3,则5 =2+3 （有2种结果相同，矛盾），A =4同理不行，A=5,则6 =-1 +2+5 （有2种结果相同，矛盾），从而A =6,由于7=T+2+6,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能一1 26,3,5,4,或一1,2,6,4 5,3,（2）这2种情形，对：9=6+3=5 +4,矛盾，对：8=2+6 =5+3,也矛盾，综上当=7时，数列1,2,4,5,8,-2,7满足题意,:.kl.【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为L可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从1到团中间的任意一个值.本题第二问443时，通过和值可能个数否定k 3；第三问先通过和值的可能个数否定A 45,再验证 =6时，数列中的几项如果符合必然是-1,2,3,4,5,6 的一个排序，可验证这组数不合题.