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1、辽宁省沈阳市第三十一中学2022-2023学年高三上学期开学考试数学试题一、单选题1.设集合A=x*x 20,B=x|log2x 2 ,则集合仅4)0 8=(）A.x|lx2 B.x|0 x2C.x|0 x42.0 a b”是L，的(a bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知。=logs 2,b=log05 0.2,c =0.50 2,则凡4 c 的大小关系为A.acbB.abcC.bcaD.cab)D.x|-l x-2)x+23)y=x2+2x+47.设 函 数 定 义 域 为 R,/*-1）为奇函数，/。+1）为偶函数，当不（-1,1）时,/
2、（x）=-x2+l,则下列结论错误的是（)B ./（x +7）为奇函数D.方程x）+lg x =O 仅有6个实数解xe R.若 在 区 间（兀,2 兀）内有零C./(x)在(6,8)上是减函数8.已知函数f(x)=s in2 经+s inwx-L(0),2 2 2点，则。的取值范围是（）二、多选题9 .已知4L0,则（）a bA.B.。|例1 0.已知。是第二象限角，下列结论正确的是（）A.t a n8 co s -2 2C.$足。-8 5 6的取值范围为（1,四 2_D.若扇形A O B 的圆心角。=，兀，半径厂=6 ,则扇形所含弓形的面积为1 2 兀-961 1.下列说法正确的是（）A.t
3、 43 x0 G R,2 ”的否定是“VXER,2”0，B.函数/（x）=&+16+J：.的最小值为6C.函数 g(x)=(g V-X2-A-+2的单调增区间为一;,1D.”的 充 要 条 件 是 用|1 2.已知函数/（x）=靖-奴（0 为常数），则下列结论正确的有（）A.若 A x）有 3个零点，则。的 范 围 为 序+B.a =时，x =l是“X）的极值点C.。=3时./3有唯一零点且-1 /0的解集卜|-1、0),f闺=f图,且/(x)在 区 间 上 有 最小值，无最大值，则.四、解答题1 7.已知向量而=(2,sina),n=(c osc z,-l),其中 且有 J_3.八、2sin
4、a-3c osa.、(1)求-+sin 2a 的值；4sina-9c osa(2)若sin(a-夕),且求角夕.1 8.已知/(x)=4c os0 x-sin(O),且f(x)的最小正周期为(1)求关于x的 不 等 式 的 解 集；求在0,句上的单调区间.1 9.已知/(x)=|x|+|x-10|,(x)=|x|-|x-10|.(1)若g(x)4 m 4/(x)恒成立，求“，的值；1 3(2)在(1)的条件下，若正数”，匕满足4a+3 =m,求；+的最小值.1+a 2+h2 0.已知函数/(X)=1(%2+1),g(x)=Y-奴+6.2(1)若关于X的不等式g(x)0的解集为x2x1)的最小X
5、-1值;(2)是否存在实数。，使得对任意司4-2,4 ,存在x2c 1,+8),不等式8(占)4/(马)成立？若存在，求出”的取值范围；若不存在，说明理由.2 1 .已知函数/(x)=|s in2 0,fi=x|log2x 2 或 x -l,3=x|0 x 4 4 ,所以9A=-1,2 ,偏 A）n 8 =（O,2故选：B2.A【分析】由y=的单调性可依次判断充分性和必要性是否成立，由此可得结论.X【详解】,y=x-在（y,o）和（0,+动上均为增函数，.二当O v a v 时，a-b-,充分性成立；a b当 一 人一,时，a h O O a h f必要性不成立；a b.“0 v。v夕是“。人
6、一,的充分不必要条件.a b故选：A.3.A【解析】利用0,g,l等中间值区分各个数值的大小.【详解】a=log5 2 log5/5 log05 0.25=2,0.5 0.52 0 时，r(x)=2(1-*n V),故当xe(O,e)时，r(x)0,单调递增，当xe(e,一)时,/(x)0,单调递减，故 D 错 误,B 正确.故选：B.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6.B【分析
7、】由对勾函数性质，结合换元法判断A、C 的最值，应用基本不等式求B 的最值，根据二次函数性质求D 的最值.【详解】A：当x 0 时 y=x+?0,则 y=(x+2)+2 2 2 。+2!+2=4,当且仅当x=-l 时等号成冗+2 v x+2立，满足；4C：由题意0 /=COS2X4 1,而=，+在(0 上递减，故f=l 时函数最小值为5,不满t足；D：由y=(x+iy+3 4 3,当x=1时最小值为3,不满足.故选：B7.C【分析】由题设可得/(x)关于(-1,0)、x=l 对称且周期为8,利用对称性和周期性求/(、判断/(x +7)奇偶性及Ax)在(6,8)上的单调性，由与y=-lg 尤交点
8、情况，数形结合判断了 W +lgx=0 根的个数.答案第2 页，共 12页【详解】由题设则/(幻关于(-1,0)对称，H P/=-/(-%-2),f(x+i)=f(.-x+i),则/(X)关于 x=i 对称，即/(幻=/(2 +),所以 f(2 x)=-f(-x-2),则 f(2+x)=-f(x-2),故 f(x)=-f(x-4),所以/(x-4)=/(x-8),即以x)=/(x-8),故以x)=f(x+8),所以/(x)的周期为8,/1)=2-9=/J|)=_/(|-0=-/J f,A 正确；由周期性知：f(x-l)=f(x+7),故/(x+7)为奇函数，B正确；由题意，x)在(6,8)与(
9、一2,0)上单调性相同，而xe(1,0)上/(为=-2+递增，/关于(-1,0)对称知：(-2,-1)上/)递增，故(-2,0)上f(x)递增，所以f(x)在(6,8)上是增函数，C错误；f(x)+lgx=0的根等价于/(x)与 y =-Ig x交点横坐标，根据A x)、对数函数性质得：/(x)e-l,l ,-Ig l 2-l-l g 6,所以如下图示函数图象：函数共有6个交点，D正确.8.D【分析】应用降基、辅助角公式得/(x)=*s i n(0 x-?),由正弦型函数的性质及A x)在(兀,2 兀)有零点可得g +k w Z,即可求参数范围.【详解】/(x)=；(s i n s -cos
10、cox)=s i n(0,/(x)在(兀,2 兀)有零点，则兀：(h i +)2 兀，k e Zf 即!+&%+；,keZ,1 1 5 5 9 9 1 3 1 3所以k=0 时一G ；k =l 时一G ；%=2 时一/；左=3 时一 co 0,*.b a 0 fa bA 错误；时 咽，B 错误；1 1,C 正确，,D 正确.故选：CD.10.ACD【分析】根据已知角所在象限确定角的范围，进而判断三角函数值的范围，结合三角函数线判断大小关系，即可知A、B 的正误，再利用同角三角函数的平方关系及基本不等式求sin。-c os。范围判断C,最后利用扇形面积公式求扇形所含弓形的面积判断D.【详解】因为
11、6 是第二象限角，所以tan8 0、c os。v 0 且sinO-c os。,1,（sin6-c ose =sin2 6+c os?0-2sin0c os/9+1 6+厂9 22、1：+16 9=6,等4+16 V&+16号不能成立，故 B 选项错误；对于C 选项，因为函数y=（g j 为递减函数，若 8（幻=（3）-2 递增时，只需使函数y=-/-x+2 递减，且 _/一工+2 2 0,m-x 0对于D选项，设函数/(x)=x W =；一,则函数 0,+oo)上递增，在(-oo,0)上也递-x,xb 时。时 他|；当4时 m|时，有a b.故的充要条件是。向 匕网,D选项正确.故选：A C
12、D.1 2.AC【分析】对于A J*)有 3 个零点转化成直线y =。与 g(x)=的交点个数，对g)=的单调性进行考察，进而可得。的范围.对于B,“=时，对 f(x)求导，分析单调性，进而确定极值点可判断.对于C,“时，对A x)求导，分析单调性，根据零点存在性定理可做出判断.对于D,。=1时，取一个特殊值即可推翻.【详解】令/。)=0*-/=0,则？=a(x x O),记 g(x)=,贝 U g x)=所以g(x)在(f,0)单调递增,且值域为(0,+8),g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上22 单调递增，且8 出=幺.g(x)在(0,+8)上的值域为-,-K O4 4 J若
13、“X)有 3个零点，则故A对.4当。=_|时，/(x)=e*-ex,/(x)=e*-e,.,./(x)=e*-ex 在 单 调 递 增，在(-o,所以/在R 上单调递增，此时/有唯一的零点，/(-1)=|,-：1 =2三-e0,由零点存在性定理可知，故 C 对.2 8 8 41 P当 a =l 时，f(x)=ex-x2,=-1=-0 ,故 D 错.e故选:A C答案第5页，共 12 页13.2x+y-3=0【解析】由题可得，(x)=H,求出在*=1处的导数，即切线斜率，即可求出切线方程.【详解】设x)=x ,将(2,；)代入，2。=；,解得a=-2,：.f(x)x2,则r(x)=-2尸，./=
14、一2,则切线方程为y-l=-2(x-1),即2x+y-3=0.故答案为：2x+y-3=0.14./4一2【分析】根据一元二次不等式的解集确定系数，则/(外=一2/+4+2+，4 0在-L 0上恒成立，利用二次函数的性质有/(0)4 0即可求结果.b c【详解】由题设，=2且一;=-3,可得=4,c =6,2 2所以-2d+4x+2+Y 0在-l，W0上恒成立，而/(外=-2彳2+4+2+/在(-00,1)上递增，故只需/(0)=2+f4 0即可，所以rv-2.故答案为：t-21 5.【分析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间(，苧)上单调性，即可选择判断.【详解】y=|sinx|最小正
15、周期为万，在区间(会,个)上单调递减；y=c os2x最小正周期为，且2犬 卜 引，所以函数在区间与单调递增；y=-tanx最小正周期为丁，在 区 间 上 单 调 递 减；y=sin|2x|不是周期函数，在区间(会,个)上单调递减：故答案为：16.y【分析】由题意可得函数的图象关于直线X =(对称，再根据f(x)在区间上有最小值，无最大值，可得?0+?=2氏+与(Z e Z),由此求得0的值.7 1 7 1/【详解】依题意，当 6+3乃时，y有最小值，即sin f o+g =-1,X =-=4 3/答案第6页，共12页则(/+生=2%勿 +苧(Z e Z),所以 y =8k+匕(Z eZ).上
16、 有 最 小 值,无 最 大 值,所%一%T V,即刃4 1 2,令攵=0,得/=.14故答案为：17.(1)-7 ；(2).【分析】(1)由而_L5，可得sina=2c os。方法一：与5 48$21+5巾2 =1联立，求得c osa=,sina=2 j,代入：_ C0$Qf+sjn2a B P5 5 4sinc r-9c osa r 4、_u 一 一 .2sina-3c osa.-2 tan a-3 2tan a&力可；方法一：tana=2,由1-+sin2a=-+-l 求解.4sina-9c osa 4 tan -9 l+tan a(2)根据。6。仁)，匹(0卷,得 到 a-一,、)，再
17、由sin(a-)=,得到8 s(a 一 ,然后由 sin 夕=sina-(a-/?)求解.【详解】（1）-m l n,/.2 c o sa-sin a=0,即 sina=2c osa.方法一：代入c os2+sin2a=1 ,得5c os?2=1,又3m.i/5.2 小贝c os a=,sina=-,5 5则 sin 2a=2sinac osa=2 x -x -=5 5 5小、-TA77 4S 2sina-3c osa._ 1代入可解得 -+sin 2a=一=4sina-9c osa 5方法二：tan c r=2,2sina-3c osa.2 tan a-3 2tanaF sin 2a=-+-
18、4sina-9c osc r-4 tan a-9 1 +tarra2 _5(2)v a e f 0,:.a-。e71 712 9 2又 sin(a-P)=,小3 M c os(a-/5)=-sin p -sin a-(a-y9)=sin a c os(d-/3)-c os a sin(a-/?),答案第7 页，共 12页2亚3 M亚M E=-X-X-=-.5 10 5 10 2由 夕 中 尚 得尸=.418.(1)+2 乃 工 0)所以 f(x)=4c os6yx sin 69xc os 71 c os tyxsi.n 71=2 V3 sin cox-c os cox-2 c os2 cox+
19、=y/3sin2(Dx-cos2cox=2 sin 2cox c os 2cox2cox-6即/(.v)=2sinl 2cox-27r由G 0及/*)的最小正周期为)，所以2切=下=2,解得3=1；/./(x)=2sin由/(x)l 得 sin(2 x-j !，:.-+lk7T 2 x-+2k7t(k&Z,解得k 6J 2 6 6 6 所 求 不 等 式 的 解 集 为?+k7 X 答案第8 页，共 12页./.冗 冗37r 11/r 1、JAA/-1 冗 37r j、T y=sin，在和,上递增，在 彳，丁 上 递 减，L 6 2J L 2 6 J 2 J*冗，-71 7 C /n zri
20、7T *37r，入 T C /C hr1 5冗,人-2 x-f W#Ox；2X-9 XTT；令662 3 2 6 6 67 C -JT 3 7 2 r hTi zpi 冗-2 x-,解得2 6 2 3 6所以f (x)在 0,句上的单调递增区间为 o，M 和L，/，单调递减区间为G，苧)；19.(1)机=10；(2)2.【解析】Q)先求出/(x)2 10,g(x)4 1 0,即得解；41 3 1 门 3、(2)设 c =l+a,d=2+h,则 4c+3d=20,+彳=三(4。+31)11+7)，再利用基本不等式求解.【详解】(1)因为1)=忖+4_10|讣 _ 卜 _ 10)|=10,g()=
21、|-|x-1 0|0力 0),求 的 最 小 值，可以 把 1 变成a b a b x 2 x(i+l)=lx(+Z,)x(-!-+l)=l(2 +-+y),再利用基本不等式求最值，提高解题效2 a b 2 a b 2 a b率.20.(1)2A/2-3;(2)不存在实数”，使得对任意玉e-2,4,存 在 ，田)，不等式g(*)V/(%)成立,理由见解析.【解析】(1)利用二次不等式解集的性质与韦达定理求解得a=5,再代入)，=”了与基本不等式求最值即可.x-1(2)由题可知若存在则g(X)m a、/(%)_，根 据 对 数 不 等 式 性 质 可 知=-1，再分析二次函答案第9 页，共 12
22、页数的对称轴与区间的位置关系求得F（x）=x2-a x+l的最值分析即可.【详解】（1）依题意得,2 和 3 是方程V-奴+6=0 的两根由韦达定理可知：“=2+3=53/_ 5 x +6 匚x-x-x-又+二-322 近-3x-1当 且 仅 当 才=&+1时等号成立，所 以 丑。的最小值为2正-3.x-1（2）假设存在实数，使得对任意x,e-2,4，存在x2 e l,+=o），不等式前占）4/区）成立，g（x）2 4/（-）x 时 J（x）=log|y+1）4 T,.=-12*x2-ax+6 1 G-2,4成立记尸（外=/_ 奴+7,（一 2 44）,其对称轴为=*当 卜 弓 吁=1,即 时
23、,尸 =尸（4）=23-4“23由 23 4。a 2a G 0.n当-2+4=-即 2时,F（x）皿=F（-2）=ll+2a由 ll+2 aW 0 n a4 -g,；.a e 0综上所述，不存在实数a，使得对任意%,e-2,4，存在%2 e 工+,不等式g（x j 4/（x?）成立.【点睛】本题主要考查了二次不等式解集与系数的关系,同时也考查了恒成立问题以及分类讨论求二次函数的最值问题.属于中档题.21.（1）f（x）=y/3sin（2x）,（+（2）,tn=-2娓【详解】分析：（1）将函数化为/（x）=6 s in（2ox-后再求对称中心.（2）由题意得g（x）=6 s i n 2 x,且
24、g（x）e 0,W ,令g（力=r后可将问题转化为关于/的方程3 r+mt+2=0 在区间0,G）上仅有一个实数根求解，然后根据方程根的分布可得所求结果.答案第10页，共 12页详解：(1)由题意得2Gx-+3=1+c os2sx J3-1=-sin2ox 火-+3 J3 1=-sin2o)x-cos2(ax-=6 s in(2 s 一专)一；.函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为卷,.T/=兀=2%,2co=1u k 1/(X)=sm(2x (？-2由 2x=k兀、kw Z,6Zrl冗 k/t._ x =+,k eZ,，,对稀中心为(正+-y-2)(6 Z)由题意知g(x)=G sin 2x
25、,八n：x e 0,g(x)e 。，司.设 g(x)=r5 建 .关于x 的方程3 g(x)+叫(x)+2=0 在 区 间 0券 上有两个不相等的实根,.关于r 的方程3 r+d+2=0在区间 0,0)上仅有一个实数根.令 H(t)=3t2+mt+2，fe 。,则函数H(t)的图象为开口向上的抛物线，且过定点(0,2).故由条件可得H(B)=9+、5m+2 V 0或,A=/-24=0m 仁0-、,3o解得 m 或,2/6,二实 数 机 的 取 值 范 围 为 苧 7 卜2#.答案第I I 页，共 12页点睛：一元二次方程根的分布的问题可通过“三个二次”的关系，结合二次函数的图象转化为不等式(组
26、)的问题求解，解题时注意数形结合方法的运用，同时也要注意特殊点处的函数值、抛物线的对称轴与区间的关系、判别式等因素的限制作用.2 2.(1)不存在极大值，极小值为2 2 1 n 2 12,+s)【解析】(1)将a =2 代入函数解析式，求得导函数/(x)后结合函数的单调区间，求得f(x)的极值.(2)化简题目所给不等式为e +o r+l n(x+l)-1 N 0 对任意x e O,”)成立，构造函数g(x)=e，+o r+l n(x+l)-l,利用导数研究g(x)的单调性、最值，由此求得。的取值范围.【详解】(1)当 =一2 时，f(x)=e-x+2 x,贝 ()=-二 +2,令/(x)=()
27、,解得x =l n g,当 x I n；时，/(x)l n g 时，/(x)0,f(x)递增，所以f(x)在x =l n g 处取得极小值/(l n；=2-2 1 n 2,无极大值.(2)由于/(力=二 一 ，所以/(-x)=e*+处,又因为l n e(x+l)*2 x)对任意的X 0,+o o)成立，化简得+6+l n(x+l)-1 N 0 对任意x 0,+c o)成立.构造函数g(x)=ex 4-o r4-I n(x+1)-1 (x 0),g (x)=+a H,令 g (x)=0 ,即/+“+*=0,构造函数(x)=e*+(x z o),(*)=，一 西 尸，当尤2 0 时，/i(x)0,所以/?(x)在0,内)上递增，当x =0 时，/(x)mi n=/2(O)=2.当一。2即”2-2 时，g (x)0,此时g(x)在0,+)上递增，g(x)2 g(O)=e O+a x O+l n(O+l)-1 =0 符合题意.当-a2即0 0,而 g =0,故当x w(O,X o)时，g(x)0 不符合题意.综上所述，实数。的取值范围是-2,收)【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.答案第1 2 页，共 1 2 页