《北京市2023-2024学年高三上学期入学定位考试数学试卷含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市2023-2024学年高三上学期入学定位考试数学试卷含答案.pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数学试卷 第 1 页（共 4 页）20232024 学年北京市新高三入学定位考试 数 学 本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合|31,|24AxxBxx ，则AB （A）(3,2)（B）(2,1)（C）(1,4)（D）(3,4（2）已知复数z的共轭为z，若2zz，则z的实部为（A）1（B）1（C）i（D）i（3）在3()ax的展开式中，x的系数
2、为 12，则实数a的值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）直线1yx被圆22(2)(3)1xy所截得的弦长为（A）1（B）3（C）2（D）3（5）下列函数中，没有对称中心的是（A）1()1f xx（B）3()f xx（C）()tanf xx（D）|()2xf x（6）已知函数2()1 2sinf xx，则()8f的值为（A）12（B）22（C）32（D）1（7）等差数列na的其前n项和为nS.若11a，42 31Sa a，则na的公差为（A）2或2（B）2或12（C）2或12（D）3或2数学试卷 第 2 页（共 4 页）（8）已知不共线的两个非零向量a,b，则“ab与ab所成角为钝角”是“
3、|ab”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）抛物线2:2Wypx的焦点为F.点F关于原点O的对称点为A.若以F为圆心的圆经过点A且与W的两个交点为,B C，则下面结论正确的是（A）一定是钝角三角形（B）可能是锐角三角形（C）一定是钝角三角形（D）可能是锐角三角形（10）棱长为 1 的正方体1 111ABCDABC D中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面11ADD A上运动，满足1BQ 平面1AD P，则线段PQ的最小值为（A）63（B）1（C）2（D）3第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 2
4、5 分。（11）函数()lg(1)f xxx的定义域为_（12）过双曲线2222:1xyWab的右焦点F作x轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为,A B，若 为等边三角形，则W的渐近线方程为_，W的离心率为_（13）在 中，3b，且sin3sin,6BA C，则a _，c _（14）函数2,(),xaxaf xxa xa 只有一个零点，则a的一个值为_；a的最大值为_（15）已知数列na的前n项和为nS，且nnaSknb，其中,k b不同时为0.给出下列四个结论：当0k 时，na为等比数列；当0k 时，na一定不是等差数列；当kb时，na为常数列；当kb时，na是单调递增数列.其中所有正确结论的
5、序号是_ 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 13 分）QPD1C1A1B1DABC数学试卷 第 3 页（共 4 页）如图，在长方体1 111ABCDABC D中，侧面11ABB A是正方形，且2 24ABAD，点E为BC的中点，点F在直线11AD上.（）若1C F平面1AAE，求证：CF平面1AAE；（）求二面角11AAED的余弦值（17）（本小题 13 分）已知()sin()cosf xxax，其中|2.（）若2()22f，求的值；（）从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求()f x的单调递增区间.条件：3a,3；条件：1a
6、 ,6 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分（18）（本小题 14 分）为了解员工每日健步走的情况，某单位工会随机抽取了300名员工，借助计步小程序统计了他们每日健步走的步数(均不低于4千步，不超过20千步)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示（）试估计该单位全体员工日行步数（单位：千步）的平均数(每组数据以该组区间的中点值为代表)；（）单位工会从全体员工中随机选取3人，记 表示3人中每日健步数在14千步以上的人数，求随机变量 的分布列和期望；（）假设单位员工甲、乙、丙三人某日健步走的步数分别为,a b c，且4,10a，10,16b，16,20c，则三人当日健步走的步数的方差
7、2s最小时，写出,a b c的一组值(不要求证明)（单位：千步）注：2222121=()()()nsxxxxxxn，其中121nxxxxn.（19）（本小题 15 分）已知函数()exxbf xax曲线()yf x在(0,(0)f的切线为1yx .FD1C1EB1DCABA1数学试卷 第 4 页（共 4 页）（）求,a b的值；（）求证：函数在区间(1,)上单调递增；（）求函数()f x的零点个数，并说明理由.（20）（本小题 15 分）已知椭圆222:12xyCb的离心率为22（）求椭圆C的方程；（）直线:1l ykx与椭圆的一个交点为P（点P不在坐标轴上），点P关于x轴的对称点为Q，经过点
8、Q且斜率为22的直线与l交于点M，点N满足PNx轴，MN x轴，求证：点N在直线212yx上.（21）（本小题 15 分）给定正整数,k m，其中2mk，如果有限数列na同时满足下列两个条件，则称na为(,)k m数列.记(,)k m 数列的项数的最小值为(,)G k m.条件：na的每一项都属于集合1,2,3,.,k;条件：从集合1,2,3,.,k中任取个不同的数排成一列，得到的数列都是na的子数列.注：注：从na中选取第1i项、第2i项、第si项（其中1i 2.i si）形成的新数列1ia，2ia，.，sia称为na的一个子数列（）分别判断下面两个数列是否为(3,3)数列，并说明理由：数列
9、1:A1,2,3,1,2,3,1,2,3；数列2:A1,2,3,2,1,3,1；（）求证:(,2)21G kk；（）求(4,4)G的值.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）数学（测试卷）参考答案 第 1 页（共 8 页）yzxBFD1C1EB1DCAA1绝密启用前 2023 年高三开学测试 数学参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）（1）D （2）A （3）B（4）C（5）D（6）B （7）B （8）C （9）A（10）A 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）0,1)（12）33yx，2 33（13）1，1 （14）1（答案
10、不唯一），1 （15）说明：第（12）（13）（14）第一空 3 分，第二个空 2 分，第（15）题，选择一个正确的给 3 分，两个正确的给 4 分，三个正确的给 5 分，有错误选项的给零分.三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（共 13 分）解：（）因为1 111ABCDABC D为长方体，所以11AACC 1 1 分分 所以1CC平面1AAE 2 2 分分 又1C F平面1AAE，111CCC FC 3 3 分分 所以平面1CC F平面1AAE 5 5 分分 又CF 面1CC F，所以CF平面1AAE 6 6 分分（）如图，建立空间直角坐标系1A BDA，7 7 分分 则(0,
11、0,0)A，(2 2,2,0)E，1(0,0,2 2)A，1(0,4,2 2)D设二面角11AAED的平面角为 因为1(,)(,)2 2 2 0,0,0 2 2AEAA ，111(,)()2 2 22 2,0,4 0AEAD ，数学（测试卷）参考答案 第 2 页（共 8 页）(,)2 2 4 0,BD 所以100AE BDAA BD 所以平面1AAE的法向量为(,)2 2 4 0,BD 设平面11AED的法向量为(,)nx y z 所以 112 222 2040AEnxyzADny 令(,)1 0 1n 所以6cos,|cos|6|BDnBDnBDn 所以二面角11AAED余弦值为66 13
12、分分（17）（共 13 分）解：（）因为若2()22f，()sin()cossin()cos222f xa 分分所以2cos2 因为|2，所以4 或 4 分分（）选条件选条件 因为()sin()3cos3f xxx所以()sin coscos sin3cos33f xxxx 分分 13sincos3cos22xxx13sincos22xxsin()3x 1 1分分 数学（测试卷）参考答案 第 3 页（共 8 页）当2 2 232kxk时，52 2 66kxk所以函数()f x的单调递增区间为52,2,66kkkZ 1 13 3 分分 选选条件条件 由()sin()cos6f xxx所以()si
13、n coscos sincos66f xxxx 分分 31sincoscos22xxx31sincos22xxsin()6x 1 1分分 当2 2 262kxk时，22 2 33kxk所以函数()f x的单调递增区间为22,2,33kkkZ 1 13 3 分分 （18）（共 14 分）解：（）根据题意，该单位工会月的人均健步步数估计为：50.0170.0190.0811 0.5813 0.22150.06170.03 190.01 11.68（千步）4 分分（）的所有可能值为0,1,2,3 5 分分39729(0)()101000P，12319243(1)()10 101000PC，22319
14、27(2)()10101000PC 311(3)()101000P 9 分分 所以的分布列为 0123P7291000243100027100011000故的期望7292432713()0123100010001000100010E 1 12 2 分分（）9.999,12.999,16.000abc（或9.999,13.000,16.000abc）1 14 4 分分 数学（测试卷）参考答案 第 4 页（共 8 页）（19）（共 15 分）解：（）因为()exxbf xax,所以1()exxbfxa 2 2 分分 因为()yf x在(0,(0)f的切线为1yx 所以00(0)01ebf，3 3
15、分分 010(0)11ebfaab 4 4 分分 所以1,1ba，6 6 分分 （）因为1()exxf xx，2e2()1eexxxxxfx 令()e2xh xx，所以()e+1xh x 分分当1x 时，()0h x，所以()h x在区间(1,)上单调递增，又(1)0h所以()0h x 对(1,)x成立 1010 分分所以()0fx对(1,)x成立 所以()f x在区间(1,)上单调递增 1111 分分（）法：1()exxf xx当0 x 时，因为0e1x，所以11exxx 所以11()10eexxxxf xxxxx 1 1 2 2 分分 当01x时，10,0exxx，所以 1()0exxf
16、xx 1313 分分当1x 由（）()(1)0f xf 1414 分分 所以()0f x 成立，所以函数()f x没有零点 1 15 5 分分 法 2：1e1()eexxxxxxf xx 令()e1(e1)1xxg xxxx，数学（测试卷）参考答案 第 5 页（共 8 页）当0 x 时，e10 x，所以(e1)10 xx 当0 x 时，e10 x，所以(e1)10 xx 所以()0f x 成立，所以函数()f x没有零点 1 15 5 分分 法 3：1e1()eexxxxxxf xx 令()e1(e1)1xxg xxxx，所以()(1)e1xg xx 令()()h xg x，所以()(2)ex
17、h xx当2x 时，()0h x，当2x 时，()0h x 所以()h x在(,2)上单调递减，在(2,)上单调递增，而1x 时，()0h x，且(0)0h所以()0h x 对0 x 成立，()0h x 对0 x 成立 所以()g x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增，即()g x在0 x 时取得唯一一个极小值，而(0)10g 所以()0g x 成立，所以函数()f x没有零点 1 15 5 分分（20）（共 15 分）解：（）由题设，得2a 1 1 分分 又2e2ca，所以1c 3 3 分分 所以2221bac 4 4 分分 所以椭圆C的方程为2212xy 5 5 分分 数学（测试卷
18、）参考答案 第 6 页（共 8 页）（）依题意，设(,)PPP xy，(,),(,),(,)QQMMNNQ xyM xyN xy.因为直线l的方程为1ykx由221,220ykxxy，得22(12)40kxkx 分分 所以2412Pkxk，所以22242111212Pkkykkk 9 9 分分 所以222412(,)1212kkQkk 1010 分分 所以直线QM的方程为2222412()21212kkyxkk 1111 分分 所以2222412()212121kkyxkkykx所以22 212Mxk 1313 分分 所以2222 221(,)1212kNkk 1414 分分 在直线方程212
19、yx中，令22 212xk，得222112kyk，即点N在直线212yx上 1 15 5 分分（21）（共 15 分）（）1A是，因为下面 6 个数列：1，2，3；1，3，2；2，1，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1 都是1A的子数列；2A不是，因为 3，1，2 不是2A的子数列.4 分分 数学（测试卷）参考答案 第 7 页（共 8 页）（）(,2)21G kk，构造数列：1,2,3,.,1,1,2,.,2,1kk kk，检验可知，这个数列是(,2)k数列 5 5 分分 假设存在数列 na是(,2)k数列，且 na的项数22k，由于 na的每一项都属于1,2,3,.,k，所以1,2,3,
20、.,k中一定存在一个数在 na中至多出现 1 次.根据条件，1,2,3,.,k中每一个数在 na中至少出现 1 次，故不妨设 k 在 na中恰好出现 1 次，由于 k 的左边必须有1,2,3,.,1k，k 的右边也必须有1,2,3,.,1k，所以 na的项数12(1)k，矛盾.9 分分（）首先我们考虑(,)G i i与(1,1)G ii的关系.任取一个(1,1)ii数列，分为下列两种情形：（i）集合1,2,3,.,1i i 中存在某个数在数列中只出现一次，不妨设这个数为1，由于1,2,3,.,1i i 的所有末位是1的排列，去掉1之后，得到2,3,.,1i i 的所有排列，因此1之前的项数一定
21、不小于(,)G i i，同理，1之后的项数也不小于(,)G i i.所以(1,1)2(,)1G iiG i i.11 分分（ii）集合1,2,3,.,1i i 中每个数都至少出现两次，数学（测试卷）参考答案 第 8 页（共 8 页）考虑首次出现且其对应项数不小于1i 的数，（因为总共有1i 个数，这样的数一定存在）不妨设为1，则该项前面至少还有i项，该项之后至少还有一项为1.由于1,2,3,.,1i i 的所有首位是1的排列，去掉1之后，得到2,3,.,1i i 的所有排列，因此该项之后的项，除去等于1的项之后，项数不小于(,)G i i，所以(1,1)(,)2G iiG i ii.13 分分 而由（）知道，(2,2)3G 所以(3,3)2(2,2)17GG 或(3,3)(2,2)2+27GG 而1,2,3,1,2,3,1显然是一个(3,3)数列，所以(3,3)7G 所以(4,4)2(3,3)115GG 或者(4,4)(3,3)3212GG 可以检验 1,2,3,4,1,2,3,1,4,2,31，是一个(4,4)数列，所以(4,4)12G.15 分分