《2022-2023学年北京市朝阳区高三上学期期末考试数学试卷.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年北京市朝阳区高三上学期期末考试数学试卷.pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 北京市朝阳区 2022-2023 学年高三上学期期末考试数学试卷 数 学 2023.1（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题 40 分和非选择题 110 分 第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集|0Ux x，集合|12Axx，则UA （A）(,12,)（B）(0,12,)（C）(,1)(2,)（D）(0,1)(2,)（2）在复平面内，复数(1i)(i)a对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（A）(,1)（B）(,1)（C）(1,)（D）(1,)（3）函数2
2、23,0,()e2,0 xxxxf xx的零点的个数为（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （4）已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线的倾斜角为60，则双曲线的离心率为（A）52（B）2 33 （C）3（D）2 （5）在ABC中，“sin2sin2AB”是“ABC为等腰三角形”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（6）过直线2ykx上任意一点，总存在直线与圆221xy相切，则k的最大值为（A）3 （B）2 （C）1 （D）33（7）已知函数()sin()(0|)2f xx，若()()1g xf x，且函数()g x的部
3、分图象如图所示，则等于 （A）3（B）6 第（7）题 2 （C）6（D）3（8）2022年10月31日，长征五号B遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v（单位：km/s）和燃料的质量M（单位：t）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：t）的关系满足2000 ln(1)Mvm，M,m,v之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（A）当3M，800m 时，7.9v （B）当2M，600m 时，7.9v （C）当5M，800m 时，11.2v （D）当3M，600m 时，11.2v （9）已知A,B,C是单位圆
4、上不同的三点，ABAC，则AB AC的最小值为（A）0（B）14 （C）12（D）1（10）在数列na中，11a，211()nnakanN，若存在常数c，对任意的nN，都有nac成立，则正数k的最大值为（A）15（B）14 （C）13（D）12 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分。（11）在41(2)xx的展开式中，常数项为 （用数字作答）（12）已知等差数列na的公差0d，14a，且1a,3a,4a成等比数列，则na ；其前n项和nS的最大值为 （13）若函数()cossinf xxx在区间0,a上单调递减，则实数a的最大值为 （14）抛物线
5、C:2yx的准线l的方程为 若点P是抛物线C上的动点，l与y轴交于点A，则OAP(O是坐标原点)的最大值为 （15）如图，在棱长为a的正方体1111ABCDABC D中，P,Q分别为1AC,11A B的中点，点T在正方体的表面上运动，满足PTBQ.给出下列四个结论：点T可以是棱1DD的中点；第（8）题 3 线段PT长度的最小值为12a；点T的轨迹是矩形；点T的轨迹围成的多边形的面积为252a.其中所有正确结论的序号是 三、解答题共 6 题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 13 分）在ABC中，sin3 coscBbC （）求C；（）若6ab，求c的最小值
6、 （17）（本小题 13 分）跳长绳是中国历史悠久的运动，某中学高三年级举行跳长绳比赛（该校高三年级共4个班），规定每班22人参加，其中2人摇绳，20人跳绳，在2分钟内跳绳个数超过120个的班级可获得优胜奖，跳绳个数最多的班级将获得冠军 为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得主，收集了高三年级各班训练时在2分钟内的跳绳个数，并整理得到如下数据（单位：个）：高三（1）班：142，131，129，126，121，109，103，98，96，94；高三（2）班：137，126，116，108；高三（3）班：163，134，112，103；高三（4）班：158，132，130，127，110，106 假设
7、用频率估计概率，且高三年级各班在2分钟内的跳绳个数相互独立（）估计高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率；（）用X表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计X的数学期望EX；（）在此次跳长绳比赛中，哪个班获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）第（15）题 4 （18）（本小题 14 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD 平面ABCD，4AB，PAPD，E,F分别为BC,PD的中点（）求证：/EF平面PAB；（）再从条件、条件这两个条件中选择一个 作为已知，求二面角FBEA的余弦值 条件：PDEF；条件：23PDEF 注：如果选择条件和条件分别解答，
8、按第一个解答计分 （19）（本小题 15 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右顶点(2,0)A，P为椭圆C上的动点，且点P不在x轴上，O是坐标原点，AOP面积的最大值为1（）求椭圆C的方程及离心率；（）过点(1,0)H 的直线PH与椭圆C交于另一点Q，直线AP,AQ分别与y轴相交于点E,F当|2EF 时，求直线PH的方程 （20）（本小题 15 分）已知函数ln()(0)xf xaax（）求()f x的单调区间；（）若1()f xxa对(0,)x恒成立，求a的取值范围；（）若211212lnln0()xxxxxx，证明：122xx 5 （21）（本小题 15 分）已知无穷数列na的
9、各项均为正数，当4n时，44naan；当4n 时，11223311,maxnnnnnaaaaaaaaa，其中231max,sxxxx表示123,sxxxx这s个数中最大的数 （）若数列na的前4项为1,2,2,4，写出5a,6a,7a,8a的值；（）证明：对任意的nN，均有44naan；（）证明：存在正整数N，当nN时，44nnaaa 6 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）（1）B（2）A（3）C（4）D （5）D（6）A（7）B（8）C（9）C （10）B 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）24 （12）5n 10 （13）34
10、 （14）14y 4 （15）三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（本小题 13 分）解：（）因为sin3 coscBbC，所以sinsin3sincosCBBC 又因为(0,)B，所以sin0B 所以tan3C 又因为(0,)C，所以3C（）因为6ab，3C，由余弦定理2222coscababC，得 22()22cos3633cabababab 因为2()92abab，当且仅当3ab时等号成立，所以29c，解得3c 所以c的最小值为3（17）（本小题 13 分）解：（）设事件1A为“高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”根据题中数据，高三（1）班共训练10次，跳绳个数超过12
11、0个的共5次 所以1()P A估计为51102（）设事件kA为“高三（k）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”，1,2,3,4k 根据题中数据，2()P A估计为2142，3()P A估计为2142，4()P A估计为4263 根据题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且 7 12341234(0)()()()()()P XP A A A AP A P A P A P A；1234123412341234(1)()()()()P XP A A A AP A A A AP A A A AP A A A A 12341234()()()()()()()()P A P A P A P AP
12、 A P A P A P A 12341234()()()()()()()()P A P A P A P AP A P A P A P A；1234123412341234(3)()()()()P XP A A A AP A A A AP A A A AP A A A A 12341234()()()()()()()()P A P A P A P AP A P A P A P A 12341234()()()()()()()()P A P A P A P AP A P A P A P A；12341234(4)()()()()()P XP A A A AP A P A P A P A；(2)1
13、(0)(1)(3)(4)P XP XP XP XP X 所以，(0)P X 估计为124；(1)P X 估计为524；(3)P X 估计为724；(4)P X 估计为112；(2)P X 估计为38 所以EX估计为153715182181301234242482412246 （）在此次跳长绳比赛中，高三（3）班获得冠军的概率估计值最大（18）（本小题 14 分）解：（）取PA的中点K,连接KF,KB.因为K,F分别是PA,PD的中点,所以/KF AD且12KFAD.又/BE AD且12BEAD，所以/KF BE且KFBE.故四边形BEFK为平行四边形.所以/EF BK.又因为EF 平面PAB，
14、BK 平面PAB，所以/EF平面PAB.（）取AD中点O，连接OP,OE.在PAD中，因为PAPD，所以POAD.又因为平面PAD 平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，所以PO 平面ABCD.故OPOA,OPOE.又在正方形ABCD中，OEOA,8 所以OA,OE,OP两两垂直.如图建立空间直角坐标Oxyz，设(0,0,2)(0)Ptt，则(0,0,0)O,(2,4,0)B,(2,0,0)D,(0,4,0)E,(1,0,)Ft.所以(2,0,0)EB，(1,4,)EFt ，(2,0,2)DPt.设平面BEF的法向量为000(,)xyzn，则 0,0,EBEFnn即000020,40.x
15、xytz令0yt，则00 x,04z 于是(0,4)tn 又因为平面ABE的一个法向量为(0,0,1)m，所以24cos,|16t m nm nmn 选择条件：PDEF 则0EF DP，即2220t 又0t，所以1t 此时4 17cos,17 m n 由题知二面角FBEA为锐角，所以其余弦值为4 1717 选择条件：23PDEF 则222223 22214tt（）（）（），得21t 此时4 17cos,17 m n 由题知二面角FBEA为锐角，所以其余弦值为4 1717（19）（本小题 15 分）解：（）因为AOP面积的最大值为12ab，所以112ab 又因为2a，222cab，所以1b，3c
16、 所以椭圆C的方程为2214xy，离心率为32（）当直线PH的斜率不存在时，直线PH的方程为1x 显然APQAEF 因为|3PQ，所以22 3|233EFPQ不合题意 当直线PH的斜率存在时，设直线PH的方程为(1)yk x 9 由22(1),44yk xxy得2222(14)8(44)0kxk xk 显然0 设11(,)P x y，22(,)Q xy，且12x ，则2122814kxxk，21224414kx xk 直线AP的方程为11(2)2yyxx 令0 x，得点E的纵坐标1122Eyyx，则112(0,)2yEx 直线AQ的方程为22(2)2yyxx 同理可得222(0,)2yFx 所
17、以122112121222(2)(2)|2|22(2)(2)yyyxy xEFxxxx 211212(1)(2)(1)(2)2|(2)(2)k xxk xxxx 1212126|22()4xxkx xxx 所以1212123|2()4|kxxx xxx 即2121212123()42()4kxxx xx xxx 可得2222222228444483|()4|24|14141414kkkkkkkkk 化简得22224 31363|1414kkkkk 解得66k 所以直线PH的方程为610 xy 或610 xy （20）（本小题 15 分）解：（）()f x的定义域为(0,)由ln()xf xax
18、得21ln()xfxax 令()0fx得ex 因为0a，所以当(0,e)x时，()0fx；当(e,)x时，()0fx 所以()f x的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)（）由0a，依题意，2ln0 xaxx在(0,)x上恒成立 设2()lng xxaxx，10 则2121()21axxg xaxxx 令()0g x，得111804axa（舍），211804axa 当2(0,)xx时，()0g x，所以()g x在2(0,)x上单调递增；当2(,)xx时，()0g x，所以()g x在2(,)x 上单调递减 故2max2222()()lng xg xxaxx 又由2()0g x得2
19、2212xax 所以22222211()lnln22xxg xxxx 依题意需max()0g x，即221ln02xx 设1()ln2th tt，则易知()h t在(0,)为增函数 又(1)0h，所以对任意的(0,1t，有()0h t；对任意的(1,)t，有()0h t 所以201x，即118014aa，解得1a 所以a的取值范围为1,)（）由211212lnln0()xxxxxx得1212lnln0 xxxx，且11x,21x 由（）知，当1a 时，ln1xxx，当且仅当1x 时取等号 所以111ln1xxx，222ln1xxx 两式相加得122112lnln2xxxxxx，即1220 xx
20、 故122xx（21）（本小题 15 分）解：（）55a，66a，77a，88a （）对任意4n，存在1,2,1in，使得nin iaaa 若4i 或4ni，则ia或n ia又可以写成数列中某两项的和，如1212()iiiaaaiii 依此类推，存在12,1,2,3,4kjjj，使得12knjjjaaaa，其中12kjjjn 11 所以存在1234,pppp N，使得11223344nap ap ap ap a，且1234234ppppn 设44at，则当4n时，nant 当4n 时，1 12233441234234nap ap ap ap ap tptptpt 1234(234)pppptn
21、t 所以，对任意nN，均有nant，即44naan（）令nnbnta，其中44at 由（）知0nb，40b.由4(1)44(1)44(1)(4)ikikikikbbiktaik ta 4(1)4444(1)4()0ikikikiktaaaaa，得44(1)ikikbb 所以，当1,2,3,4i 时，480iiibbb.由（）知123411223344(234)()nbpppptp ap ap ap a 11223344()(2)(3)(4)p taptaptapta 1 1223344p bp bp bp b.若12340bbbb，则0nb 此时nant，当4n 时，44nnaaa.若123,bbb不全为0，设123max,Mbbb，m为123,bbb中最小的正数，则nbM 当某个0ib 时，必有iMpm否则iMpm，则niiMbpbmMm.设不超过Mm的最大整数为0N，则1 1223344p bp bp bp b能表示的不同值的个数不超过40(1)N 所以，对每一个1,2,3,4i，48,iiib bb只能取有限多个值.所以存在0kN，当0,pkpN时，4ipb为常数 令044Nk，则当nN时，4nnbb，即4(4)nnntanta 故44nnaaa