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1、数学 第 1 页（共 7 页）北京市朝阳区 20222023 学年度第一学期期中质量检测 高三数学 参考答案2022.11 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）（1）B（2）C（3）B（4）A（5）A（6）D（7）A（8）C（9）C（10）D二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）2,1)(1,)+（12）2（13）3256（14）0,)+(2,0（15）三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（共 13 分）解：（）因为()sin2cos21f xxx=2sin(2)14x=，所以()f x的最小正周期22T=由1 sin(2)14x，得
2、212sin(2)1214x当22()42xkk=+Z，即3()8xkk=+Z时，()f x取得最大值；当22()42xkk=Z，即()8xkk=Z时，()f x取得最小值所以()f x的值域为21,21 8 分（）函数sinyx=的单调递增区间为2,2()22kkk+Z 由2 22 242kxk+(k Z)，得388kxk+(k Z)所以()f x的单调递增区间为3,()88kkk+Z 13 分 数学 第 2 页（共 7 页）（17）（共 15 分）解：（）取AC中点F，连接DF，1AF 因为点D是BC的中点，所以/DFBA，且12DFBA=又因为点E是11AB的中点，所以1/EABA，且1
3、12EABA=所以1/EADF，且1EADF=所以四边形1DFAE是平行四边形 所以1/DEFA 又因为DE 平面11ACC A，1FA 平面11ACC A，所以/DE平面11ACC A 5 分（）因为侧面11ABB A为矩形，所以1BAAA 又因为平面11ABB A 平面11ACC A，且平面11ABB A平面111ACC AAA=，所以BA 平面11ACC A 所以BAAC 因为侧面11ACC A是正方形，所以1ACAA 如图建立空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，(2,0,1)D，(0,4,1)E，1(0,4,0)A，1(4,4,0)C DEA1B1C1CBAFzyxFABCC1
4、B1A1ED数学 第 3 页（共 7 页）所以(2,0,1)AD=，(0,4,1)AE=，11(4,0,0)AC=（）因为110ACAE=，所以11ACAE（）设平面ADE的法向量为(,)x y z=n，则0,0,ADAE=nn即20,40.xzyz+=+=令4z=，则2x=，1y=于是(2,1,4)=n 设直线11AC与平面ADE所成角为，则1111|(4,0,0)(2,1,4)|2 21sin21|421ACAC=nn 所以直线11AC与平面ADE所成角的正弦值为2 2121 15 分（18）（共 13 分）解：选择条件：2b=（）由正弦定理sinsinabAB=，得sinsinaBAb=
5、又因为2a=，6B=，2b=，所以2sin4A=在ABC中，因为ab，所以0AB，故02A，241si14consAA=所以sinsin()sincoscossinCABABAB=+=+2314161442428+=+=因为sinsinacAC=，所以sin614sin2aCcA+=9 分（）11614137sin222224ABCSacB+=13 分 数学 第 4 页（共 7 页）选择条件：14cos4A=（）因为0A，所以241csos2in AA=故614sinsin()sincoscossin8CABABAB+=+=+=又因为sinsinacAC=，2a=，所以sin614sin2aC
6、cA+=9 分（）11614137sin222224ABCSacB+=13 分（19）（共 14 分）解：（）设数列na的公差为d，0d.因为2512aa+=，所以3412aa+=又因为3435a a=，0d，所以35a=，47a=故2d=，11a=所以1(1)21()naandnn=+=N.7 分（）因为21nan=，所以21()2nnn aaSn+=.因为mS，2a，ia成等比数列，所以22miS aa=，即2(21)9mi=而,m iN，所以1m=，219i =；或3m=，211i =经检验，符合题意 所以1m=，5i=；或3m=，1i=14 分 数学 第 5 页（共 7 页）（20）（
7、共 15 分）解：（）由()esin1()xf xaxa=+R，得()ecosxfxax=+又(0)0f=，(0)1fa=+，所以曲线()yf x=在点(0,(0)f处的切线方程为(0)(0)(0)yffx=，即(1)ya x=+4 分（）由题意知(0)0f=，则1a=此时()esin1xf xx=，则()ecosxfxx=当0 x 时，()ecos1cos0 xfxxx=，所以()f x在区间(0,)+上单调递增 设()()g xfx=，则()esinxg xx=+设()()xg x=，则()ecosxxx=+因为当(,0)2x 时，()0 x，所以()g x在区间(,0)2上单调递增 又2
8、2()esin()e1022g=+=，(0)10g=，故存在0(,0)2x ，使0()0g x=所以当0(,0)xx时，()0g x 所以()g x在区间0(,0)x上单调递增 即当0(,0)xx时，()(0)0g xg=，即()0fx，所以()f x在区间0(,0)x上单调递减 故函数()f x在0 x=处取得极小值 所以1a=10 分 数学 第 6 页（共 7 页）（）若1a，当(0,)2x时，sin0 x，所以()esin1xf xx 由（）已证，esin1xyx=在区间(0,)+上单调递增，所以0esin1esin010 xx =所以()0f x 在区间(0,)2上恒成立 此时不存在正
9、实数m，使得对任意的(0,)xm，都有()0f x，所以1a不合题意 若1a ，()ecosxfxax=+，设()()h xfx=，则()esinxh xax=当(0,)2x时，()esinesin0 xxh xaxx=+，所以()fx在区间(0,)2上单调递增 而(0)10fa=+，2()e02f=，故存在(0,)2m，使()0f m=所以当(0,)xm时，()0fx，即()f x在区间(0,)m上单调递减 所以当(0,)xm时，()(0)0f xf=所以1a 符合题意 综上，a的取值范围是(,1)15 分（21）（共 15 分）解：（）当4n=时，1,2,3,4A=，A的所有(3)P子集为
10、1,2,3，1,3,4 4 分（）当3n时，取1,3W=，因为2132+=，所以W是A的(2)P子集，此时2m=若3m，设1a，2a，3aW且1231 aaa 依题意，1122kaa+=，2132kaa+=，3232kaa+=,其中1k，2k，3k N 因为121323aaaaaa+，所以312222kkk 所以123kkk 数学 第 7 页（共 7 页）又因为1k，2k，3k N，所以321kk+因为3121232()222kkkaaa+=+，所以3121231(222)2kkkaaa+=+所以3331212111(222)2(222)22kkkkkkka=+=+因为312222122222
11、2kkkkkk+=，所以3122220kkk+所以10a，与11a矛盾 综上，2m=9 分（）设120,12A=，219,13A=，318,14A=，417,15A=，511,5A=，610,6A=，79,7A=，81,3A=，12B=，24B=，38B=，416B=设W的元素个数为m 若W不是A的()P m子集，则W最多能包含1283,A AAA中的一个元素以及1234,B BBB中的元素 令020,19,18,17,11,10,9,3,16,8,4,2W=，易验证0W不是A的(12)P子集 当12m时，0W的任意一个元素个数为m的子集都不是A的()P m子集 所以，若A的任意一个元素个数为m的子集都是A的()P m子集，则13m 当13m时，存在1,2,3,4,5,6,7,8i，使得W中必有两个元素属于iA 而iA中两个元素之和为2的某个正整数指数幂，所以W是A的()P m子集 所以m的最小值是13 15 分