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1、（北京）股份有限2023 届高三数学考试(文科)（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2450,3,1,1,3,5Ax xxB,则AB A.3B.3,5C.1,3D.1,3,52.若52(1 2)ziii,则z A.5B.4C.3D.23.设等比数列 na的前n项和为nS,且12123,24aaaa,则6S A.128B.127C.64D.634.函数()coslnxf xxx在(,)上的图象大致为5.某市教育局为得到高三年级学生身高的数据,对高三年级学生进行抽
2、样调查,随机抽取了 1000名学生,他们的身高都在,A B C D E五个层次内,分男、女生统计得到以下样本分布统计图,则下列叙述正确的是A.样本中A层次的女生比相应层次的男生人数多B.估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大C.D层次的女生和E层次的男生在整个样本中频率相等D.样本中B层次的学生数和C层次的学生数一样多（北京）股份有限6.已知函数4|()1|xf xx,则不等式(23)2fx的解集是A.(1,2)B.1 5,2 2C.(,1)(2,)D.15,227.如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为 1,则该多面体的表面积为A.356 10B.1156 1
3、0C.3136 10D.11136 108.将函数()sin(0)6f xx图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移6个单位长度,得到函数()yg x的图象,若()yg x为奇函数,则的最小值为A.4B.3C.2D.19.在三棱锥ABCD中,AB 平面,BCD CDBC,且3BCAB,则直线AB与平面ACD所成的角为A.6B.4C.3D.210.从 3 名男同学和 2 名女同学中随机选 3 名参加诗歌朗诵比赛,则恰有 1 名女同学人选的概率为A.14B.34C.25D.3511.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别是12,F F,过右焦点2F且不与x轴垂直
4、的直线交C的右支于,A B两点,若1AFAB,且1|2ABAF,则C的离心率为A.2B.12C.3D.1312.已知函数2,0()1,02xexf xxx若mn且()()f mf n,则nm的最大值是A.4B.3C.2D.1二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.（北京）股份有限13.已知向量(3,2),(1,)mmab,若ab,则m _.14.设 na是等差数列,且21384,24aaaa,则29a_.15.已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点是,F A是C的准线上一点,线段AF与C交于点0(,)8pBy,O为坐标原点，且3AOFS,则
5、p _.16.“康威圆定理”是英国数学家约翰康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容如下:如图,ABC的三条边长分别为|,|,|BCa ACb ABc.延长线段CA至点1A,使得1AAa,延长线段AC至点2C,使得2CCc,以此类推得到点2112,A B C B,那么这六个点共圆,这个圆称为康威圆.已知12,5,13abc,则由ABC生成的康威圆的半径为_.三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 21题为必考题,每个 试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分.17.(12 分)ABC的内角,A B C的对边分别
6、是,a b c,且()(sinsin)()sinbcBCacA.(1)求B;(2)若ABC的面积为3,且3()2acb,求ABC的周长.18.(12 分)为切实加强新时代儿童青少年近视防控工作,经国务院同意发布了 综合防控儿童青少年近视实施方案.为研究青少年每天使用手机的时长与近视率的关系,某机构对某校高一年级的 1000 名学生进行无记名调查,得到如下数据:有40%的同学每天使用手机超过1h,这些同学的近视率为 40%,每天使用手机不超过 1h 的同学的近视率为 25%.(1)从该校高一年级的学生中随机抽取一名学生,求其近视率;(2)请完成2 2列联表,通过计算判断能否有 99.9%的把握认
7、为该校学生每天使用手机的时长与近视率有关联.每天使用超过 1h每天使用不超过 1h合计近视不近视合计1000附:22(),()()()()n adbcKnabcdab cd ac bd.20P Kk0.150.100.050.0250.0100.001（北京）股份有限0k2.0722.7063.8415.0246.63510.82819.(12 分)在四棱锥PABCD中,点E是棱PA上一点,1,2,2BEPD PAPBPD ABADCD60DAB.(1)证明:PD 平面PAB.(2)若1/,2CDAB AEEP,求三棱锥EPBC的体积.20.（12 分）已知函数()2ln,af xxaxR.(
8、1)当4a 时,求()f x的单调区间;(2)设函数()2()f xg xx,若()g x在21,e上存在极值,求a的取值范围.21.(12 分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右顶点是(2,0)M,离心率为12.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点(4,0)T作直线l与椭圆C交于不同的两点,A B,点B关于x轴的对称点为D,问直线AD是否过定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1 2
9、cos2sinxy ，（为参数），以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为sin2.4.(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程;(2)若直线l过点(2,1)M 且与直线l平行,直线l交曲线C于,A B两点,求11|MAMB的值.23.选修 4-5:不等式选讲(10 分)已知,a b c均为正数,且2224161abc,证明:(1)243abc;（北京）股份有限(2)2221119416abc.?高三数学?参考答案?第?页?共?页?文科?高三数学考试参考答案?文科?解析?本题考查集合的运算?考查数学运算的核心素养?因为?所以?解析?本题考查复数的四则运算?
10、考查数学运算的核心素养?因为?所以?槡?解析?本题考查等比数列的通项公式及求和公式?考查数学运算的核心素养?由?解得?公比?所以?解析?本题考查函数的图象和性质?考查逻辑推理与直观想象的核心素养?因为?所以?是奇函数?排除?当?时?所以?排除?故选?解析?本题考查统计的知识?考查数据分析与数学运算的核心素养?设女生身高频率分布直方图中的组距为?由?得?所以女生身高频率分布直方图中?层次频率为?层次频率为?层次频率为?层次频率为?层次频率为?因为男?女生样本数未知?所以?层次中男?女生人数不能比较?即选项?错误?同理?层次女生在女生样本数中频率与?层次男生在男生样本数中频率相等?都是?但因男?女
11、生人数未知?所以在整个样本中频率不一定相等?即?错误?设女生人数为?男生人数为?但因男?女生人数可能不相等?则?层次的学生数为?层次的学生数为?因为?不确定?所以?与?可能不相等?即?错误?女生?两个层次的频率之和为?所以女生的样本身高中位数为?层次的分界点?男生?两个层次的频率之和为?显然中位数落在?层次内?所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大?正确?解析?本题考查函数的性质?考查直观想象与逻辑推理的核心素养?因为?所以?是偶函数?当?时?是增函数?又因为?所以?可化为?解得?解析?本题考查三视图?考查直观想象与数学运算的核心素养?如图?这是所求多面体的直观图?它可以看成由直三棱柱
12、与四棱锥组合而成?所以表面积?槡?槡?槡槡?解析?本题考查三角函数的性质?考查数学运算与直观想象的核心素养?由题意?因为?为奇函数?所以?解得?又?所以当?时?取得最小值?解析?本题考查三棱锥中直线与平面所成角的大小?考查直观想象与数学运算的核心素养?因为?平面?所以?又?所以?平面?作?垂足为?图略?易知?是直线?与平面?所成的角?因为?槡?所以?解析?本题考查古典概型?考查数据分析与数学运算的核心素养?设?名男同学分别为?名女同学分别为?从这?人中选?人的情形有?共?种?恰有?名女同学的情形有?共?种?则所求概率为?高三数学?参考答案?第?页?共?页?文科?解析?本题考查双曲线的性质?考查
13、推理论证能力与数学运算的核心素养?如图?设?则?又?所以?所以?又?所以?槡?由?槡?得?槡?则?槡?而?则?槡?槡?化简得?所以?槡?解析?本题考查分段函数及导数的应用?考查逻辑推理与数学运算的核心素养?设?则?由?得?所以?设?则?在?上单调递减?故?解析?本题考查平面向量的垂直以及数量积?考查数学运算的核心素养?因为?所以?则?解析?本题考查等差数列的通项公式?考查数学运算的核心素养?因为?所以?又?所以公差?从而?解析?本题考查抛物线的概念与性质?考查逻辑推理的核心素养?不妨设?在第一象限?则?则直线?的方程为?令?得?由?解得?槡?解析?本题考查直线与圆?考查直观想象与数学抽象的核心
14、素养?因为?所以康威圆的圆心在?的平分线上?同理可知康威圆的圆心在?的平分线上?即康威圆的圆心为?的内心?因为?所以?所以?的内切圆的半径?则康威圆的半径?槡?槡?解?因为?所以?分展开得?所以?分因为?所以?分?由?知?槡?槡?解得?分因为?槡?由余弦定理得?分即?解得?槡?分所以?的周长为?槡?分评分细则?第一问?写出?得?分?写出?累计得?分?第一问全部正确解出?累计得?分?高三数学?参考答案?第?页?共?页?文科?第二问?用面积公式求出?累计得?分?最后求出正确答案?累计得?分?其他情况根据评分标准按步骤给分?解?该校高一年级近视的学生人数为?分从该校高一年级的学生中随机抽取?名学生?
15、其近视的概率为?分?列联表为每天使用超过?每天使用不超过?合计近视?不近视?合计?分?分所以有?的把握认为该校学生每天使用手机的时长与近视率有关联?分评分细则?第一问?算出高一年级近视的学生数为?得?分?正确算出所求概率?累计得?分?第二问?正确填写列联表?累计得?分?算出?近似数位不够?不扣分?累计得?分?正确写出结论累计得?分?证明?取?的中点?连接?因为?所以?所以?分又?所以?平面?从而?分因为?所以?平面?分?解?连接?因为?平面?所以?又?所以?槡?设正三棱锥?的底面三角形的外接圆半径为?三棱锥?的高为?则?槡?槡?槡?槡?分因为?所以?则?分?又?槡槡?分所以?槡?槡?槡?分评分
16、细则?第一问?证出?得?分?证出?累计得?分?第一问全部证完累计得?分?第二问?求出?的值?累计得?分?写出?累计得?分?求出?槡?累计得?分?直至正确求出三棱锥的体积累计得?分?解?当?时?其定义域为?分?高三数学?参考答案?第?页?共?页?文科?可得?分当?时?单调递减?当?时?单调递增?所以?的单调递减区间为?单调递增区间为?分?由?可得?分设?则?分令?即?解得?当?时?当?时?所以?在区间?上单调递增?在区间?上单调递减?分且?分显然?若?在?上存在极值?则满足?解得?分所以实数?的取值范围为?分评分细则?第一问?写出?的定义域为?得?分?算出?累计得?分?得出?的单调区间?累计得?
17、分?第二问?求出?累计得?分?求出?累计得?分?得出?的单调区间?累计得?分?算出?累计得?分?求出参数?的取值范围?累计得?分?采用其他方法?参照本评分标准依步骤给分?解?由右顶点是?得?又离心率?所以?分所以?所以椭圆?的标准方程为?分?设?显然直线?的斜率存在?设直线?的方程为?联立方程组?消去?得?由?得?所以?分因为点?所以直线?的方程为?分又?分所以直线?的方程可化为?分即?分所以直线?恒过点?分评分细则?方法二?同上?分?高三数学?参考答案?第?页?共?页?文科?设?直线?的方程为?联立方程组?消去?得?由?得?或?所以?分因为点?则直线?的方程为?分又?分所以 直 线?的 方
18、程 可 化 为?此时直线?恒过点?分当直线?的斜率为?时?直线?的方程为?也过点?分综上?直线?恒过点?分说明?第?问还可以先猜想出定点在?轴上?写出直线?的方程?令?求出定点坐标为?后再加以证明?也可以得满分?解?曲线?的普通方程为?分由?槡?得?槡?即?因为?所以直线?的直角坐标方程为?分?因为直线?的斜率为?所以?的倾斜角为?所以过点?且与直线?平行的直线?的方程可设为?槡?槡?为参数?分设点?对应的参数分别为?将?槡?槡?代入?可得?槡?槡?整理得?槡?则?槡?分所以?槡?槡?分评分细则?第一问?圆的方程没有写成标准方程?不扣分?累计得?分?写出直线?的方程?不管哪种形式?不扣分?累计得?分?第二问?写出直线?的参数方程?累计得?分?联立方程组并写出?槡?累计得?分?求出?累计得?分?证明?由已知可得?分当且仅当?槡?时?等号成立?分又?均为正数?所以?槡?分?高三数学?参考答案?第?页?共?页?文科?因为?槡?当且仅当?槡?时?等号成立?分所以?槡?整理得?分所以?槡?槡?槡?当且仅当?槡?时?等号成立?分评分细则?证法二?证明?由柯西不等式得?分所以?分因为?均为正数?所以?槡?当且仅当?槡?时?等号成立?分?分?分?槡?槡?槡?当且仅当?槡?时?等号成立?分