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1、（北京）股份有限河南省 2022-2023 学年高三上学期开学考试数学试卷（文科）一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在毎小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合|3,20AxxBxx,则ABA.0B.0,1,2,1 C.(2,3D.3,2)2.222(1 i)(1 i)A.2B.2C.2iD.2i3.已知向量(1,2),(,3)mmab,若ab,则m A.3B.2C.1D.24.一封闭的正方体容器1111,ABCDABC D P Q R分别是,AB BC和11C D的中点,由于某种原因,P Q R处各有一个小洞,当此容器内存水的表面恰好经过这三个小
2、洞时,容器中水的上表面形状是A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形5.设,x y满足约束条件04040yxyxy，则3xy的最小值为A.4B.2C.0D.26.某学校开展劳动实习，将两名男生和两名女生分配到两个农场，每个农场需要两人，则两名女生被分配到不同农场的概率为A.23B.12C.13D.147.香农定理是所有通信制式最基本的原理,它可以用香农公式2Blog1SCN来表示,其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量,B是信道的带宽(Hz),S是平均信号功率(W),N是平均噪声功率(W).已知平均信号功率为1000W,平均橾声功率为10W,在不改变平均噪声功率和信道带宽的前提下,要使信道容
3、量增加到原来的 2 倍,则平均信号功率需要增加到原来的A.1.2 倍B.12 倍C.102 倍D.1002 倍8.已知函数()sin()0,0,|2f xAxA的部分图象如图所示.将函数()f x的图象向右平移316个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数()yg x的图象,则()g x（北京）股份有限A.2sin()8xB.2sin()8xC.2sin(4)8xD.2sin(4)8x9.如图，这是计算1111.3519的值的一个程序框图，其中在判断框内应填入的条件是A.20i B.19i C.10i D.11i 10.已知等比数列 na的前n项和为23n
4、nmS，则ma A.93B.92 3C.103D.102 311.在正四棱台1111ABCDABC D中,11124,2ABABAA,则该棱台外接球的表面积为A.16B.20C.30D.4012.平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形,其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线0,0 xyy的距离之和为 2 的点P的轨迹为曲线,则曲线围成的图形面积为A.8 2B.6 2C.4 2D.2 2三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知等差数列 na的首项为 2，且853aaa，则2a _.14.已
5、知圆22:(1)C xym与抛物线24xy的准线相切,则m _.15.写出一个同时其有下列性质(1)(2)的函数()f x;_.(1)直线1x 是()f x图象的对称轴;(2)()f x在R上恰有三个零点.16.若直线ykxb是曲线2()exf x与2022()e2022xg x的公切线,则k _.（北京）股份有限四、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分17.(12 分)2022 年 6 月的某一周,“东方甄选”直播间的交易额共计 3.5 亿乙元,数
6、据统计如下表：第t天1234567交易额y/千万元1y2y3y4y5y6y7y(1)通过分析,发现可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系,请用相关系数(系数精确到 0.01)加以说明;(2)利用最小二乘法建立y关于t的回归方程(系数精确到0.1),并预测下一周的第一天(即第8 天)的交易额.参考数据:7721142.1,8.1,72.65iiiiittyyyy.参考公式:相关系数12211niiinniiiittyyrttyy.在回归方程ybta中,斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1122211$,nniiiiiinniiiit yntyttyybaybttnttt18.(12 分)已知A
7、BC的内角,A B C的对边分别为,a b c,且()(sinsin)(3)sin0abABcaC.（1）求角B的大小;(2)若BC边上的高为bc,求sin A.（北京）股份有限19.(12 分)在多面体EFABCD中,平面EDCF 平面,ABCD EDCF是面积为3的矩形,/CDAB,1,2ADDCCBAB.(1)证明:BDEA.(2)求点D到平面ABFE的距离.20.(12 分)已知函数()lnaf xxaxx存在两个极值点12,x x.(1)求a的取值范围;(2)求123f xf xa的最小值.21.(12 分)已知12,F F分别是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点,点M
8、是椭圆E上的一点,且1212,2FMFFMF的面积为 4.(1)求椭圆E的短轴长;(2)已知A是椭圆E的上顶点，,B C为椭圆E上两动点,若以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC只有一个,求a的取值范围.21.(12 分)已知函数21()2 ln(21),2f xaxxax aR.(1)求()f x的单调区间;(2)设 函 数218()()(21)2g xf xxaxx,若()g x存 在 两 个 极 值 点12,x x,证 明：（北京）股份有限 121242.g xg xaxx(二)选考题:共 10 分.请考生从第 22,23 两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一个题目计分.22.选修
9、 4-4:坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为2cos,(sinxttyt为参数,0,),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为8cos.(1)判断直线l与曲线C的交点个数;(2)若直线l与曲线C相交于,A B两点,且|2 14AB,求直线l的直角坐标方程.23.选修 4-5:不等式选讲(10 分)已知函数()|1|3|f xxx.(1)求不等式()4f x 的解集;(2)已知函数()f x的最小值为m,且,a b c都是正数,32abcm,证明:1122abcbc.（北京）股份有限高三数学考试参考答案题号1234567891
10、01112答案DCBDAACADBDA13.414.415.2()(1)(2)f xx xx（答案不唯一）16.1011101217.解:(1)777221114,28,42.1,8.1iiiiiiitttttyyyy,所以7177221142.10.982 2.65 8.1iiiiiiittyyrttyy.因为交易额y与t的相关系数近似为 0.98,说明交易额y与t具有很强的正线性相关,从而可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系.(2)因为721355,287iiytt,所以7172142.1$5 1.5 41,28iiiiittyybaybttt 所以y关于t的回归方程为1.51yt.将8
11、t 代人回归方程得1.5 8 1 11y (千万元)=1.1 亿元,所以预测下一周的第一天的交易额为 1.1 亿元.18.解:(1)由()(sinsin)(3)sin0abABcaC,得()()(3)0ab abca c,即2223acbac,2223cos,0,.226acbBBBac(2)6B,且BC边上的高为2,sin,63bcbcccb 1sin.,3bcCcbCb为锐角,2 2cos3C32 2sinsinsinsincoscossin66666ACCCC.（北京）股份有限19.(1)证明:因为平面EDCF 平面ABCD,且平面EDCF 平面,ABCDCD EDDC所以ED 平面AB
12、CD又BD 平面ABCD,所以EDBD.在四边形ABCD中,作DMAB于,M CNAB于N.因为/,1,2CDAB ADCDCBAB,所以四边形ABCD为等腰梯形,则12AMBN,所以223,32DMBDDMBM,所以222ADBDAB,所以ADBD又EDADD,所以BD 平面EAD又因为EA平面EAD,所以BDEA(2)解:连接111.133322E ABDBEV,在梯形ABFE中,2AEBF,所以EAB的面积为22111522222.设点D到平面ABFE的距离为h,又E ABDD ABEVV,所以1151322h,解得155h,所以点D到平面ABFE的距离为155.20.解:(1)()f
13、x的定义域为222(0,),()1aaxaxafxxxx .因为函数()lnaf xxaxx存在两个极值点，所以20 xaxa有两个正实数解.则20,40,aaa 解得4a,所以a的取值范围为(4,).(2)由(1)知()f x存在两个极值点,且4a.因为()f x存在两个极值点12,x x满足20 xaxa,所以1212,x xa xxa,则 12121212123ln3ln3a xxf xf xaxxax xaaaax x.令()ln3h aaaa,则()ln2h aa,所以()h a在24,e上单调递减,在2e,上单调递增,即22min()$eeh ah,所以123f xf xa最小值为
14、2e（北京）股份有限21.解:(1)设12,MFx MFy,所以2222,14,24,xyaxyxyc即222222()2164xyxyxyxya即222224 4164,cabac,短轴长为24b.(2)椭圆222:1(2),(0,2)4xyEaAa,设椭圆E内接等腰直角三角形的两直角边分别为11,AB AC B x y.显然,AB AC不与坐标轴平行,且10ABACkk ,所以不妨设直线AB的方程为2(0)ykxk,则直线AC的方程为12yxk.由2221,42,xyaykx消去y得2222440,a kxa kx所以212240,4Aa kxxa k,求得222221222244|111
15、44Aa ka kABkxxkka ka k同理可得222241|4akACak因为ABC是以(0,2)A为直角顶点的等腰直角三角形,所以|ABAC,所以22222222441144a kakka kak,整理得3222440ka kka,所以22(1)4440kkak,即1k 或224440kak因为以A为直角顶点的等腰直角三角形只有一个,所以224440kak没有不同于 1 的解.当方程224440kak无解时,则224640a,解得22 3a（北京）股份有限当方程224440kak只有一个解且解为 1 时,则2224640,4440,aa 解得2 3a 综上,a的取值范围为(2,2 32
16、2.解:(1)直线l恒过点(2,0),曲线C的直角坐标方程为228xyx,即2280 xyx.又因为点(2,0)在圆2280 xyx的内部,所以直线l与曲线C有两个交点.(2)将直线l的参数方程代入2280 xyx,可得24 cos120tt.设,A B所对应的参数分别为12,t t,则121 24cos,12ttt t 212121 2|42 14ABttttt t解得2cos2,则2sin2所以直线l的参数方程为22,22,2xtyt故直线l的直角坐标方程为20 xy或20 xy.23.(1)解:当1x 时,134xx ,解得0 x当13x 时,1 34xx ,解得x当3x时,13 4xx ,解得4x综上,原不等式的解集为(,04,).(2)证明:()|1|3|13|2f xxxxx,则2m 则()(2)2abcbc.故22111112()(2)22222bcabcabcbcabcbcabcbcabcbc,当且仅当22bcabcabcbc 时,等号成立