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1、最值问题 最值问题是中考必考题,所用知识点一般为:两点之间,线段最短;垂线段最短;圆中最长弦为直径及点到圆周的最近(远)距离.常考查知识点的选择与模型的确定.一、单动点1.(2022聊城)如图,一次函数y=x+4的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,点C(-2,0)是x轴上一点,点E,F分别为直线y=x+4和y轴上的两个动点,当CEF周长最小时,点E,F的坐标分别为 ( )A.E52,32,F(0,2)B.E(-2,2),F(0,2)C.E52,32,F0,23D.E(-2,2),F0,232.(2022遵义)如图,在等腰直角三角形ABC中,BAC=90,点M,N分别为BC,AC上的动点,且AN
2、=CM,AB=2.当AM+BN的值最小时,CM的长为 .3.(2022凉山州)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0)和点B(0,3),顶点为C,点D在其对称轴上,且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90,点C落在抛物线上的点P处.(1)求抛物线的解析式;(2)求点P的坐标;(3)将抛物线平移,使其顶点落在原点O,这时点P落在点E的位置,在y轴上是否存在点M,使得MP+ME的值最小,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 二、双动点4.如图,在菱形ABCD中,AC=62,BD=6,E是BC边的中点,P,M分别是AC,AB上的动点,连接PE
3、,PM,则PE+PM的最小值是 ( )A.6B.33 C.26 D.4.55.如图,RtABC大小固定,AB=2,BC=4.其中ABC=90,点A,B分别在互相垂直的直线m,n上滑动,OC最小值为 .6.(2020内江)如图,在矩形ABCD中,BC=10,ABD=30,若M,N分别是线段DB,AB上的两个动点,则AM+MN的最小值为 .三、三动点7.如图,在菱形ABCD中,AB=2,A=120,点P,H,K分别为线段BC,CD,BD上任意一点,则PK+HK的最小值为 .8.(2022连云港)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到点E,使DE=AD,且BEDC.(1)求证:四边形DBCE为
4、菱形;(2)若DBC是边长为2的等边三角形,点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动,求PM+PN的最小值.四、综合训练9.(2022包头)已知实数a,b满足b-a=1,则代数式a2+2b-6a+7的最小值等于 ( )A.5B.4C.3D.210.(2021绥化)如图,已知在RtACB中,C=90,ABC=75,AB=5,点E为边AC上的动点,点F为边AB上的动点,则线段FE+EB的最小值是 ( )A.532B.52C.5D.311.(2022遂宁)如图,D、E、F分别是ABC三边上的点,其中BC=8,BC边上的高为6,且DEBC,则DEF面积的最大值为 ( )A.6B.8C.10D.12
5、12.(2022舟山)已知点A(a,b),B(4,c)在直线y=kx+3(k为常数,k0)上,若ab的最大值为9,则c的值为( )A.52B.2C.32D.113.(2020贵港)如图,动点M在边长为2的正方形ABCD内,且AMBM,P是CD边上的一个动点,E是AD边的中点,则线段PE+PM的最小值为 ( )A.10-1B.2+1C.10 D.5+114.(2022泰安)如图,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=4.点P是线段BC上一动点,点M为线段AP上一点,ADM=BAP,则BM的最小值为 ( )A.52 B.125C.13-32 D.13-215.(2022杭州)如图,已知ABC内接于
6、半径为1的O,BAC=(是锐角),则ABC的面积的最大值为 ( )A.cos (1+cos )B.cos (1+sin )C.sin (1+sin )D.sin (1+cos )16.(2022抚顺)如图,正方形ABCD的边长为10,点G是边CD的中点,点E是边AD上一动点,连接BE,将ABE沿BE翻折得到FBE,连接GF.当GF最小时,AE的长是 .17.(2021包头)已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D(4,y)在抛物线上,E是该抛物线对称轴上一动点.当BE+DE的值最小时,ACE的面积为 .18.(2022桂林)如图,某雕塑MN位于
7、河段OA上,游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走.已知AOB=30,MN=2OM=40 m,当观景视角MPN最大时,游客P行走的距离OP是 米.19.如图,一次函数y=3x与反比例函数y=kx(k0)的图象交于点A、B两点,点C在x轴上运动,连接AC,点Q为AC的中点,若点C运动的过程中,OQ的最小值为1,则点B的坐标为 .20.(2022铜仁)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E为AD的中点,将CDE沿CE翻折得CME,点M落在四边形ABCE内.点N为线段CE上的动点,过点N作NPEM交MC于点P,则MN+NP的最小值为 .21.(2021通辽)如图,AB是O的弦,AB=23,点C是O
8、上的一个动点,且ACB=60,若点M,N分别是AB,BC的中点,则图中阴影部分面积的最大值是 .22.(2021凉山州)如图,等边三角形ABC的边长为4,C的半径为3,P为AB边上一动点,过点P作C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为 .23.(2020鞍山)如图,在平面直角坐标系中,已知A(3,6)、B(-2,2),在x轴上取两点C、D(点C在点D的左侧),且始终保持CD=1,线段CD在x轴上平移,当AD+BC的值最小时,点C的坐标为 .24.(2021聊城)如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A,C分别在x轴,y轴上,B,D两点的坐标分别为B(-4,6),D(0,4
9、),线段EF在边OA上移动,保持EF=3,当四边形BDEF的周长最小时,点E的坐标为 .25.如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E为对角线AC上的一动点,以DE为边作正方形DEFG,点H是CD上的一点,且DH=2CH,连接GH,求GH的最小值.26.(2020日照)如图,在RtABC中,C=90,以AB为边在AB上方作正方形ABDE,过点D作DFCB,交CB延长线于点F,连接BE.(1)求证:ABCBDF;(2)P,N分别为AC,BE上的动点,连接AN,PN,若DF=5,AC=9.求AN+PN的最小值. 27.(2022海南)如图1,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点P在边BC上,且不
10、与点B、C重合,直线AP与DC的延长线交于点E.(1)当点P是BC的中点时,求证:ABPECP;(2)将APB沿直线AP折叠得到APB,点B落在矩形ABCD的内部,延长PB交直线AD于点F.证明FA=FP,并求出在(1)条件下AF的值;连接BC,求PCB周长的最小值;如图2,BB交AE于点H,点G是AE的中点,当EAB=2AEB时,请判断AB与HG的数量关系,并说明理由.最值问题参考答案一、单动点1.C2.2-23.解:(1)将点A(-1,0),B(0,3)代入y=-x2+bx+c得:1b+c=0,c=3,解得b=2,c=3.则抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(2)抛物线y=-x2+2x
11、+3=-(x-1)2+4的对称轴为直线x=1,其顶点C的坐标为C(1,4),设点D的坐标为D(1,a)(a4),则CD=4-a,由旋转的性质得:CDP=90,PD=CD=4-a,P(1+4-a,a),即P(5-a,a),将点P(5-a,a)代入y=-(x-1)2+4得:-(5-a-1)2+4=a,解得a=3或a=4(舍去),当a=3时,5-a=5-3=2,所以点P的坐标为P(2,3).(3)抛物线y=-x2+2x+3的顶点C的坐标为C(1,4),则将其先向左平移1个单位长度,再向下平移4个单位长度恰好落在原点O,这时点P落在点E的位置,且P(2,3),E(2-1,3-4),即E(1,-1),恰
12、好在对称轴直线x=1上,如图,作点E关于y轴的对称点E,连接PE,则MP+ME=MP+ME,由两点之间线段最短可知,PE与y轴的交点即为所求的点M,此时MP+ME的值最小,即MP+ME的值最小,由轴对称的性质得:E(-1,-1),设直线PE的解析式为y=kx+m,将点P(2,3),E(-1,-1)代入,得2k+m=3,k+m=1,解得k=43,m=13,则直线PE的解析式为y=43x+13,当x=0时,y=13,故在y轴上存在点M,使得MP+ME的值最小,此时点M的坐标为M0,13.二、双动点4.C5.17-16.15三、三动点7.38.(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=
13、BC,DE=AD,DE=BC,又点E在AD的延长线上,DEBC,四边形DBCE为平行四边形.又BEDC,四边形DBCE为菱形.(2)解:如图,作N关于BE的对称点N,过D作DHBC于H.由菱形对称性得,点N关于BE的对称点N在DE上,PM+PN=PM+PN,当P、M、N共线时,PM+PN=PM+PN=MN,过点D作DHBC,垂足为H,DEBC,MN的最小值即为平行线间的距离DH的长,DBC是边长为2的等边三角形,在RtDBH中,DBC=60,DB=2,sinDBC=DHDB,DH=DBsinDBC=232=3,PM+PN的最小值为3.四、综合训练9.A10.B11.A12.B13.A14.D1
14、5.D16.55-517.418.20319.23,220.8521.43-3422.323.(-1,0)24.25,025.解:作EIAD于点I.设DI为x,则HG2=(2-x)2+(3-x)2,HG2=2x522+12,HG最小=12=22.26.(1)证明:在RtABC中,C=90,DFCB,C=DFB=90.四边形ABDE是正方形,BD=AB,DBA=90,DBF+ABC=90,CAB+ABC=90,DBF=CAB,ABCBDF(AAS).(2)解:连接DN,ABCBDF,DF=BC=5,BF=AC=9,FC=BF+BC=9+5=14.BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴,AN=DN.如
15、使得AN+PN最小,只需点D、N、P在一条直线上,由于点P、N分别是AC和BE上的动点,作DP1AC交BE于点N1,垂足为P1,AN+PN的最小值为DP1=FC=14.27.(1)解:如图1,在矩形ABCD中,ABDC,即ABDE,1=E,B=2.点P是BC的中点,BP=CP.ABPECP(AAS).(2)证明:如图1,在矩形ABCD中,ADBC,3=FAP.由折叠可知3=4,FAP=4,FA=FP.在矩形ABCD中,BC=AD=8,点P是BC的中点,BP=12BC=128=4.由折叠可知AB=AB=6,PB=PB=4,B=ABP=ABF=90.设FA=x,则FP=x,FB=x-4.在RtAB
16、F中,由勾股定理得AF2=BA2+BF2,x2=62+(x-4)2,x=132,即AF=132.解:如图2,由折叠可知AB=AB=6,BP=BP.CPCB=CP+PB+CB=CB+CB=8+CB.由两点之间线段最短可知,当点B恰好位于对角线AC上时,CB+AB最小.连接AC,在RtADC中,D=90,AC=AD2+DC2=82+62=10,CB最小值=AC-AB=10-6=4,CPCB最小值=8+CB=8+4=12.解:AB与HG的数量关系是AB=2HG.理由是:如图3,由折叠可知1=6,AB=AB,BBAE.过点B作BMDE,交AE于点M,ABDE,ABDEBM,1=6=5=AED.AB=BM=AB,点H是AM的中点.EAB=2AEB,即6=28,5=28.5=7+8,7=8,BM=EM.BM=EM=AB=AB.点G为AE中点,点H是AM中点,AG=12AE,AH=12AM.HG=AG-AH=12(AE-AM).HG=12AB,AB=2HG.学科网（北京）股份有限公司