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1、二次函数问题二次函数及其应用是中考的必考题,呈现方式有填空、选择和探究解答压轴题;填空、选择一般考查二次函数的图象、性质及解决问题的模型思想;探究解答题一般考查借助二次函数图象上的动点、情境探究图形最值、变换、存在性等各种问题.一、二次函数的图象和性质1.(2022天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,0ac)经过点(1,0),有下列结论:2a+b1时,y随x的增大而增大;关于x的方程ax2+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根.其中,正确结论的个数是 ( )A.0 B.1 C.2 D.32.(2021深圳)二次函数y=ax2+bx+1的图象与一次函数y=2ax+b在同一
2、平面直角坐标系中的图象可能是( ) A B C D3.(2021荆门)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)开口向下且过点A(1,0),B(m,0)(-2m0;2a+c0;若方程a(x-m)(x-1)-1=0有两个不相等的实数根,则4ac-b20;2b-4ac=1;a=14;当-1b0时,在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M,N(点M在点N左边),使得ANBM.其中正确的有( ) A.1个 B.2个C.3个 D.4个5.(2021大庆)已知函数y=ax2-(a+1)x+1,则下列说法不正确的个数是( ) 若该函数图象与x轴只有一个交点,则a=1;方程ax2-(a+1)x+
3、1=0至少有一个整数根;若1ax0;4a+b=0;当y0时,-2x6;a+b+c2.(1)当该函数的图象经过原点O(0,0),求此时函数图象的顶点A的坐标;(2)求证:二次函数y=x2+(m-2)x+m-4的顶点在第三象限;(3)如图,在(1)的条件下,若平移该二次函数的图象,使其顶点在直线y=-x-2上运动,平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B,求AOB面积的最大值.11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a0)与x轴交于点A、B,经过点A的直线y=ax+a与抛物线交于另一点C,点E是直线AC上方抛物线上的动点.(1)求点C的坐标(用含a的式子表示);(2)若
4、AC与y轴交于点D,且ADE面积的最大值为54,求a的值.四、抛物线与角度12.如图,平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+mx+m-2的顶点为A,且经过点B(3,-3).(1)求抛物线的解析式;(2)在对称轴左侧的抛物线上存在一点P,使得PAB=45,求点P的坐标.13.已知,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)、B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)如图,连接AC,将直线AC向右平移交抛物线于点P,交x轴于点Q,且CPQ=135,求点P的坐标.14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax-3a与x轴交于A、B两点,与y轴负半轴交于
5、点C,且OC=3OA.(1)求抛物线的解析式.(2)如图1,E为直线y=1上一动点,F为抛物线对称轴上一点,当F点在对称轴上何处时,四边形ACFE的周长最短?(3)(选做)如图2,点D(1,0)为x轴上一点,第四象限的抛物线上是否存在点P,使得线段AP与直线CD的夹角为45?若存在这样的P点,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.五、抛物线与特殊三角形15.(2022滨州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,连接AC,BC.(1)求线段AC的长;(2)若点为该抛物线对称轴上的一个动点,当PA=PC时,求点P的坐标;(3)
6、若点M为该抛物线上的一个动点,当BCM为直角三角形时,求点M的坐标.16.(2022抚顺)如图,抛物线y=ax2-3x+c与x轴交于A(-4,0),B两点,与y轴交于点C(0,4),点D为x轴上方抛物线上的动点,射线OD交直线AC于点E,将射线OD绕点O逆时针旋转45得到射线OP,OP交直线AC于点F,连接DF.(1)求抛物线的解析式;(2)当点D在第二象限且DEEO=34时,求点D的坐标;(3)当ODF为直角三角形时,请直接写出点D的坐标.六、抛物线与特殊四边形17.(2022娄底)如图,抛物线y=12x2-2x-6与x轴相交于点A、点B,与y轴相交于点C.(1)请直接写出点A,B,C的坐标
7、;(2)点P(m,n)(0m2,则m=4符合题意,y=x2+2x=(x+1)2-1,A(-1,-1).(2)由抛物线顶点坐标公式,得顶点坐标为2m2,m2+8m204.m2,m-20,2-m0,2m20.m2+8m204=-14(m-4)2-1-10,二次函数y=x2+(m-2)x+m-4的顶点在第三象限.(3)设平移后图象对应的二次函数表达式为y=x2+bx+c,则其顶点坐标为b2,4cb24.当x=0时,y=c,B(0,c).将b2,4cb24代入y=-x-2,解得c=b2+2b84.B(0,c)在y轴的负半轴上,c0.OB=-c=-b2+2b84.过点A作AHOB,垂足为H,A(-1,-
8、1),AH=1.在AOB中,SAOB=12OBAH=12b2+2b841=-18b2-14b+1=-18(b+1)2+98,当b=-1时,此时c0,AOB面积有最大值,最大值为98.11.解:(1)C(4,5a).(2)如图,过点E作EFy轴交AC于点F,EF交x轴于点G,设Et,at22at3a,则F(t,at+a),EF=at2-3at-4a,SADE=SAFE-SDFE=12AGEF-12OGEF=12(AG-OG)EF=12EFOA=12(at2-3at-4a)1=12at322-258a.当t=32时,SADE最大,为-258a.-258a=54,a=-25.四、抛物线与角度12.解
9、:(1)将B(3,-3)代入抛物线解析式可得-3=-9+3m+m-2,解得m=2,y=-x2+2x.(2)由抛物线解析式可知顶点为A(1,1),如图,作BHAB于点H,且使得BH=AB,结合题目条件,由三垂直模型易证AMBBNH,H(-1,-5).设直线AH:y=kx+b,将H(-1,-5)、A(1,1)代入其解析式,可得y=3x-2.联立y=3x2,y=x2+2x,解得x1=1(即A点,舍去),x2=-2,P(-2,-8).13.解:(1) y=x2-4x+3.(2)令x=0,则y=3,C(0,3).ACPQ,CPQ=135,ACP=45.过点A作ADAC交CP的延长线于点D,由三垂直模型,
10、得D(4,1),设直线CD的解析式为y=kx+b,将C(0,3),D(4,1)代入y=kx+b中,得b=3,4k+b=1,解得k=12b=3,直线CD的解析式为y=-12x+3,联立y=12x+3,y=x24x+3,解得x1=0(此时为点C,舍去),x2=72,P72,54.14.解:(1)令y=0,则ax2-2ax-3a=0,解得x1=-1,x2=3,A(-1,0),B(3,0),OC=3OA,C(0,-3),-3a=-3,a=1,y=x2-2x-3.(2)y=x2-2x-3,抛物线的对称轴为直线x=1.如图1,作M点与C点关于抛物线的对称轴对称,作N点与A点关于直线y=1对称,连接M、N分
11、别交直线x=1于F点,交直线y=1于E点,连接AE、CF,易知此时四边形ACFE的周长最短.设直线MN的解析式为y=kx+b,将点M(2,-3)、N(-1,2)代入直线MN的解析式,可解得直线解析式:y=-53x+13,F1,43.(3)如图,构造CHGDOC,可得G(3,-4).设直线DG的解析式为y=kx+b,将点G(3,-4)、D(1,0)代入DG的解析式,可得y=-2x+2,作APDG,可知直线AP:y=-2x-2,联立y=2x2,y=x22x3,解得x1=-1(此时为A点,舍去),x2=1,P(1,-4).五、抛物线与特殊三角形15.解:(1)令y=0,解得x1=-1,x2=3,即A
12、(-1,0),B(3,0).y=x2-2x-3与y轴交点:令x=0,解得y=-3,即C(0,-3).AO=1,CO=3,AC=AO2+CO2=10;(2)抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=1,设P(1,t),PA2=(1+1)2+(t-0)2=4+t2,PC2=(1-0)2+(t+3)2=1+(t+3)2,4+t2=1+(t+3)2t=-1,P(1,-1);(3)设点M(m,m2-2m-3),BM2=(m-3)2+(m2-2m-3-0)2=(m-3)2+(m2-2m-3)2,CM2=(m-0)2+(m2-2m-3+3)2=m2+(m2-2m)2,BC2=(3-0)2+(0+3)2=18
13、,当CM2+BC2=BM2时,m2+(m2-2m)2+18=(m-3)2+(m2-2m-3)2,解得m1=0(舍去),m2=1,M(1,-4);当BM2+BC2=CM2时,(m-3)2+(m2-2m-3)2+18=m2+(m2-2m)2,解得m1=-2,m2=3(舍去),M(-2,5);当BM2+CM2=BC2时,(m-3)2+(m2-2m-3)2+m2+(m2-2m)2=18,解得m=152,M1+52,5+52或152,552;综上所述:满足条件的M为(1,-4)或(-2,5)或1+52,5+52或152,552.16.解:(1)将A(-4,0),C(0,4)代入y=ax2-3x+c得:1
14、6a+12+c=0,c=4,解得a=1,c=4,抛物线的解析式为y=-x2-3x+4;(2)过点D作DGAB于点G,交AC于点H,设过点A(-4,0),C(0,4)的直线的解析式为y=kx+b,则4k+b=0,b=4,解得k=1,b=4,直线AC的解析式为y=x+4,设D(n,-n2-3n+4),H(n,n+4),则DH=-n2-4n.DHOA,OCOA,DGOC,ECO=EHD,EOC=EDH,EDHEOC,DHOC=DEOE,DEOE=34,OC=4,DH=3,-n2-4n=3,解得n=-1或n=-3.将n=-1,n=-3分别代入y=-x2-3x+4得y=6,y=4.D(-1,6)或D(-
15、3,4);(3)点D的坐标为(-3,4)或(0,4)或3172,2或3+172,2.六、抛物线与特殊四边形17.解:(1)A(-2,0),B(6,0),C(0,-6);(2)过P作PQy轴交BC于Q,如图.设直线BC为y=kx+b(k0),将B(6,0)、C(0,-6)代入得0=6k+b,b=6,解得k=1,b=6,直线BC的解析式为y=x-6,根据三角形的面积,当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时,点P到BC的距离最大,此时,PBC的面积最大,P(m,n)(0m6),Pm,12m22m6,Q(m,m-6),PQ=(m-6)-12m22m6=-12(m-3)2+92,-120,m=3时,
16、PQ最大值为92,而SPBC=12PQxCxB=12926=272.PBC的面积最大值为272;(3)存在.点F是抛物线上的动点,作FEAC交x轴于点E,如下图.AECF,设Fa,12a22a6.当点F在x轴下方时,C(0,-6),即OC=6,12a2-2a-6=-6,解得a1=0(舍去),a2=4,F(4,-6).当点F在x轴的上方时,令y=6,则12a2-2a-6=6,解得a3=2+27,a4=2-27,F(2+27,6)或(2-27,6).综上所述,满足条件的点F的坐标为(2+27,6)或(4,-6)或(2-27,6).18.解:(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,-4)
17、,c=-4.又抛物线经过点A(-2,0),对称轴为直线x=1,b2a=1,4a2b4=0,解得a=12,b=1,抛物线的表达式为y=12x2-x-4.(2)设直线AB的表达式为y=kx+n.点A,B的坐标为A(-2,0),B(0,-4),2k+n=0,n=4,解得k=2,n=4,直线AB的表达式为y=-2x-4.根据题意得点C与点A(-2,0)关于对称轴直线x=1对称,C(4,0).设点N的坐标为(m,0).MNx轴,M(m,-2m-4).MN=2m+4,NC=4-m.MN=3NC,2m+4=3(4-m),解得m=85.点M的坐标85,365;连接PQ与MN交于点E.设点M的坐标为(t,-2t
18、-4),则点N的坐标为(t,0).四边形MPNQ是正方形,PQMN,NE=EP,NE=12MN.MNx轴,PQx轴.E的坐标为(t,-t-2).NE=t+2.ON+EP=ON+NE=t+t+2=2t+2.P的坐标(2t+2,-t-2).点P在抛物线y=12x2-x-4上,12(2t+2)2-(2t+2)-4=-t-2.解得t1=12,t2=-2.点P在第四象限,t=-2舍去,即t=12.点M坐标为12,5.19.解:(1)将A(-1,0),B(4,5)代入y=x2+mx+n,得1m+n=0,16+4m+n=5,解得m=2,n=3,抛物线的解析式为y=x2-2x-3;(2)如图,设直线AB的解析式为y=kx+b,把点A(-1,0),B(4,5)代入y=kx+b,得k+b=0,4k+b=5,解得k=1,b=1,直线AB的解析式为y=x+1,由(1)知抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=-221=1,点C为抛物线对称轴上一动点,AC+BCAB,当点C在AB上时,AC+BC最小,把x=1代入y=x+1,得y=2,点C的坐标为(1,2);(3)如图,由(2)知直线AB的解析式为y=x+1.设D(d,d2-2d-3),则E(d,d+1),则DE=(d+1)-(d2-2d-3)=-d2+3d+4(-1dn+1,n4.学科网（北京）股份有限公司