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1、第三节 逆矩阵1则矩阵则矩阵 称为称为 的可逆矩阵或逆阵的可逆矩阵或逆阵.一、概念的引入在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，有有其中其中 为为 的倒数，的倒数，（或称（或称 的逆）；的逆）；在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1，那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ，如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,使得使得2二、逆矩阵的概念和性质 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵 是可逆的，并把矩阵是可逆的，并把矩阵 称为称为 的逆矩阵的逆矩阵.,使得使得例例 设设3说明说明 若若 是可逆
2、矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.:若设若设 和和 是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵，则有则有可得可得所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即证明证明4例例 设设解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵,则则求逆矩阵方法之一求逆矩阵方法之一:待定系数法待定系数法5又又因为因为所以所以6证明证明逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质7证明证明89方阵的可逆条件方阵的可逆条件矩阵称为 A 的伴随矩阵伴随矩阵定义定义:设 A=(aij)nn,Aij 是|A|中元素 aij 的代数余子式(i,j=1,2,n);10非对角线上为什么等于零非对角线上为什么等于零?11按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 12奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义例例例例13证明证明推论推论14例例1 1 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵.解解三、逆矩阵的求法根据定理根据定理,求伴随矩阵法求伴随矩阵法,最笨的方法之一最笨的方法之一15同理可得同理可得故故1617解解 例例1819解解例例2021例例 设设解解22于是于是23例例4 42425四、小结逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法逆矩阵逆矩阵 存在存在26