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1、第二专题 广义逆矩阵广义逆矩阵是 E.H.Moore 于 1920 年首次提出来的， 1955 年R.Penrose 利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。其后， 广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速的发展。它在微分积 分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作 用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。为此，我们从线性方程组Am nXnbm的解开始讨论（m n称为超定方程；m n称 为亚定方程 ） 。若存在向量X，使 Ax b 成立，则称线性方程组为相容方程组， 否则称为不相容方程或矛盾方程。对于相容方程组，若A是列满 秩的，则有唯一解；否则有无穷多解A1 A。我们要找到唯
2、一的极小范数解A1,4 Am。对于矛盾方程我们要找到它的近似解最小二乘解A1,3 Al；如果最小二乘解不唯一，我们要找到唯一的最小二乘解，称为最佳的最小二乘解（或极小范数最小 二乘解，或最佳逼近解），A1,2,3,4 A。 1 矩阵的左逆与右逆设 A 是n阶矩阵，A 可逆当且仅当存在n阶矩阵 B，使得AB BA I当 A 可逆时，其逆唯一，记为A1.下面，我们把方阵的逆矩阵概念推广到m n矩阵上，定义一 种单侧逆 .一、满秩矩阵与单侧逆 定义 1 设A Rm n，若存在矩阵B Rn m，使得BA In则称 A 是左可逆的，称 B 为 A 的一个左逆矩阵，记为 代1.若存在矩阵C Rn m，使得
3、AC Im则称 A 是右可逆的，称 C 为 A 的一个右逆矩阵，记为 AR1.下面给出矩阵左逆与右逆的几个等价条件 .定理 1 设A R，则下列条件是等价的：(1)A 是左可逆的；mn(2)A 的零空间N(A) 0；m n, R(A) n,即 A 是列满秩的；AT A是可逆的.证明(1)(2)，设 A 是左可逆的，则存在B Rnm，使得BA In，x N(A),Ax 0，于是x Inx BAx B0 0，即证 A 的解空 间N(A) 0.(2)(3)，由N(A) 0，再根据线性方程组解的理论知，R(A) n dim N (A) n，从而 A 是列满秩的，当然有 m n.(3)(4)，设R(A)
4、 n,由dim (AT A) dim (A) R(A) n, 知AT A是可逆的 .(4)(1)，由A A可逆，得(A A) A A In知(AA) A 是 A 的一个左TTTT1T1逆矩阵，即 “(A A) A。注：左逆的一般表达式为：AL (A UA) A U1T1TT1T其中 U 是使关系式rank(ATUA) rank(A)成立的任意m阶方阵。定理 2 设A R，则下列条件是等价的：mn A 是右可逆的；(2)TA 的列空间(A) R；m(3)m n, R(A) m,即 A 是行满秩的；(4)AA是可逆的。 其证明留给读者 .(1)(3)，由m rank (Im) rank (AB)
5、rank (A) m得m n，R(A) m，A 是行满秩的；由 AA (AA )是 A 的一个右逆矩阵，即 ARA(AA)1。TTTT1Im，知 A(AA)1TT1注：右逆的一般表达式为：11TTT1T 1AR VA (AVA )其中 V 满足rank (AVAT ) rank(A)。例 1 矩阵 A4 00是右可逆的，不是左可逆的。由于0501/40A40 005 001/5R100131R32注意到右逆最后一行元素是完全任意的，故存在无穷多个右逆矩 阵。一般地,一个矩阵左可逆未必右可逆 ,而且右逆矩阵和左逆矩 阵都不是唯一的。 若同时左可逆和右可逆， 则此矩阵存在正则逆。二、单侧逆与解线性
6、方程组定理 3 设A Rm n是左可逆的，B Rnm是 A 的一个左逆矩阵,则线性方程组 AX b 有形如 X Bb 解的充要条件是(ImAB)b 0若上式成立，则方程组有唯一解T 1 TX (A A) A bT1T证明设方程组 AX b 有解Xo，则b AXoA(BA)XoABb,从 而(ImAB)b 0.反过来，若(ImAB)b 0,则 ABb b，从而Xo Bb是方程组的解当方程组有解时，因为 A 左逆，所以R(A) n，从而方程组 AX b有唯一解.由(AA) A 是 A 的一个左逆 矩阵，所以X (A A) A AX (A A)TT1T1TT1A b，即X (A A) A b为 AX b 的唯一解。TT1T注：虽然左逆矩阵不唯一，但方程的解唯一。定理 4 设A Rmn是右可逆的，则线性方程组 AX b 对任何b Rm都有解。且对 A 的任意一个右逆矩阵 AR1，X Ajb是其 解。特别地，XA(AA)1bTT是方程组 AX b 的一个解。证明因 A 右可逆，则AAR Im，对任何b Rm，都有AAR1b Imb b,即X AR1b是方程组 AX b 的解。事实上，矩阵的左逆(或右逆)矩阵还是矩阵的减号逆，自 反减号逆，最小范数广义逆，最小二乘广义逆和加号逆。1