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1、线性代数下页结束返回第第3 3节节 逆矩阵逆矩阵(inverse matrix)3.1 逆矩阵的定义逆矩阵的定义3.2 方矩阵可逆的充分必要条件方矩阵可逆的充分必要条件3.3 可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质3.4 用逆矩阵求解线性方程组用逆矩阵求解线性方程组下页3.6 伴随矩阵的常用性质伴随矩阵的常用性质3.5 用逆矩阵求解矩阵方程用逆矩阵求解矩阵方程线性代数下页结束返回3.1 逆矩阵的概念逆矩阵的概念解方程组解方程组解：解：将将其写成其写成矩阵方程矩阵方程两边都左乘矩阵两边都左乘矩阵F得得从而得方程组的解从而得方程组的解:下页那么那么,F F 矩阵矩阵是怎么得到是怎么得到的呢？的呢？第第3 3
2、节节 逆矩阵逆矩阵1.逆矩阵概念的引入逆矩阵概念的引入线性代数下页结束返回 定义定义1 对于对于n阶矩阵阶矩阵A，如果存在如果存在n阶矩阵阶矩阵B，使得使得 AB BA E，那么矩阵那么矩阵A称为可逆的，而称为可逆的，而B称为称为A的逆矩阵的逆矩阵.2.可逆矩阵的定义可逆矩阵的定义 这是因为，如果这是因为，如果B和和B1都是都是A的逆矩阵，则有的逆矩阵，则有 AB BA E，AB1 B1A E 于是于是 B B1.EB1(BA)B1 B(AB1)BE 如果矩阵如果矩阵A可逆，则可逆，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.逆矩阵的唯一性逆矩阵的唯一性下页线性代数下页结束返回 A的逆矩阵记为的逆矩
3、阵记为A 1.即若即若AB BA E，则，则B A 1.定义定义1 对于对于n阶矩阵阶矩阵A，如果存在如果存在n阶矩阵阶矩阵B，使得使得 AB BA E，那么矩阵那么矩阵A称为称为可逆矩阵可逆矩阵，而，而B称为称为A的逆矩阵的逆矩阵.2.可逆矩阵的定义可逆矩阵的定义定理定理1 如果矩阵如果矩阵A可逆，则可逆，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.由于由于A，B位置对称，故位置对称，故A，B互逆，即互逆，即B A 1，A B 1.如如可以验证，可以验证，下页线性代数下页结束返回则矩阵则矩阵 即为即为 的可逆矩阵或逆阵的可逆矩阵或逆阵.在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，有有其中其中 为
4、为a 的倒数，的倒数，（或称（或称 a 的逆）；的逆）；在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1，那么，对于矩阵那么，对于矩阵A,A,如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵A-1,使得使得比较比较逆矩阵与倒数逆矩阵与倒数线性代数下页结束返回例例1 1 设设解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵,则则利用待定系数法利用待定系数法线性代数下页结束返回所以所以例例1 1 设设又因为又因为线性代数下页结束返回3.2 3.2 方阵可逆的充分必要条件方阵可逆的充分必要条件A11A21 An1A12A22 An2A1nA2n Ann 定义定义2 由矩阵由矩阵称为矩阵
5、称为矩阵A的的伴随矩阵伴随矩阵，记为，记为A*.即即a11a12 a1na21a22 a2nan1an2 ann A 的代数余子式构成的矩阵的代数余子式构成的矩阵 A11A21 An1A12A22 An2A1nA2n Ann A*=下页3.伴随矩阵伴随矩阵特别注意特别注意A*A*的元素的元素排列顺序排列顺序线性代数下页结束返回例例1.求求 的伴随矩阵的伴随矩阵A*.解解:同理同理 A13=1，A21=-2，A22=1，A23=-1，A31=-1，A32=2，A33=1因此因此A的伴随矩阵的伴随矩阵 A11A21A31A12A22A32A13A23A33三阶矩阵三阶矩阵A的伴随矩阵的伴随矩阵A*
6、为为，下页线性代数下页结束返回 定理定理2 n阶矩阵阶矩阵A为可逆的充分必要条件是为可逆的充分必要条件是|A|0，而且而且其中其中A*为方阵为方阵A的伴随矩阵的伴随矩阵.所以所以|A|0，即，即A为非奇异为非奇异.设设A可逆，可逆，故故|A|A 1|E|1，使使AA 1 E,即有即有A 1，证：证：必要性必要性.A*，1|A|A-1 定义定义3 对于对于n阶矩阵阶矩阵A，若行列式若行列式|A|0，则称则称A是是奇异的奇异的(或降秩的或退化的或降秩的或退化的)，否则称，否则称A为为非奇异的非奇异的(或满秩的或非退或满秩的或非退化的化的).下页5.5.方阵可逆的充分必要条件方阵可逆的充分必要条件4
7、.(4.(非非)奇异矩阵奇异矩阵线性代数下页结束返回a11a12 a1na21a22 a2nan1an2 ann A11A21 An1A12A22 An2A1nA2n Ann AA*|A|E|A|0 0 0|A|0 0 0|A|充分性充分性.定理定理2 n阶矩阵阶矩阵A为可逆的充分必要条件是为可逆的充分必要条件是|A|0，而且而且其中其中A*为方阵为方阵A的伴随矩阵的伴随矩阵.证：证：A*，1|A|A-1 设设A非奇异，非奇异，B A*1|A|取取 A(A*)1|A|则有则有 AB AA*1|A|注意注意：|A|E1|A|=E.同理可证同理可证BA E.因此因此A可逆，可逆，A*.1|A|且且
8、A 1(即即 AB=E.)下页线性代数下页结束返回 A*.1|A|A 1 矩阵矩阵 A 可逆可逆|A|0；例例2求矩阵求矩阵 A 的逆矩阵的逆矩阵.2-3 1 1 2 0 0-5 1 2-3 1 1 2 0 0-5 1 解解:因为因为 2 0，所以所以A可逆可逆.又因为又因为A12A13A11A22A23A21A32A33A31 A*10 7 5-2 2 2 2 1 1 ，所以所以 A*1|A|12A 110 7 5 2 2 2 2 1 1 5 7/2 5/2 1 1 1 1 1/2 1/2 .|A|下页线性代数下页结束返回讨论：讨论：(1)如何求二阶矩阵如何求二阶矩阵 A 的逆矩阵。的逆矩阵
9、。a11a21a12a22提示：提示：A*A11A12A21A22a22-a21-a12 a11 ，a11a22-a12a21，a11a21a12a22|A|A*1|A|A-1a22-a21-a12 a11 .1a11a22-a12a21下页(2)如何求对角矩阵的逆矩阵。如何求对角矩阵的逆矩阵。(1)(2)线性代数下页结束返回推论推论 设设A，B都是都是n阶矩阵，若阶矩阵，若AB E，则必有则必有BA E；这一结论说明，如果要验证矩阵这一结论说明，如果要验证矩阵B是矩阵是矩阵A的逆矩阵，只要的逆矩阵，只要验证一个等式验证一个等式AB E或或BA E即可即可.若若BA E，则必有，则必有AB E
10、.例例3设设n阶矩阵阶矩阵A满足满足aA2+bA+cE O，证明证明A为可逆矩阵，为可逆矩阵，并求并求A 1(a,b,c为常数，且为常数，且c 0).又因又因c 0，故有故有 aA2+bAcE，解解:由由aA2+bA+cE O，有有 c 1(aA2+bA)E，即即 c 1(aA+bE)A E，因此因此A可逆，且可逆，且A 1c 1aA c 1bE.下页线性代数下页结束返回思考思考线性代数下页结束返回思考思考线性代数下页结束返回例例4.设三阶矩阵设三阶矩阵A,B满足关系式满足关系式 ，且，且求矩阵求矩阵 B.解解:由于由于A可逆，可逆，将等式将等式 两端右乘两端右乘 有有，整理得，整理得,于是于
11、是 故故，下页线性代数下页结束返回练习练习解解:1.由由A2-A-2E=O，得得所以所以A-E可逆可逆，正确选项为正确选项为 2.由由ABCE,可得可得BC为为A的逆阵的逆阵，所以所以BCAE,正确选项为正确选项为 1、设、设 n 阶矩阵阶矩阵A满足满足A2-A-2EO，则必有则必有()A=2E；A=-E；A-E可逆；可逆；A不可逆不可逆 2、设、设A,B,C均均n为阶方阵，且为阶方阵，且ABC=E，则，则()ACB=E；CBA=E；BAC=E；BCA=E 下页线性代数下页结束返回3.3 3.3 可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质 (3)若若A、B为同阶可逆矩阵，则为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且亦
12、可逆，且(AB)1 B 1A 1.证明证明:因为因为 (AB)(B 1A 1)A(BB 1)A 1 AEA 1 AA 1 E所以所以(AB)1 B 1A 1.(2)若若A可逆，数可逆，数l l 0 0，则则l lA 可逆，可逆，且且(l lA)1 l l 1A 1.(1)若若A可逆，则可逆，则A 1也可逆，也可逆，且且(A 1)1 A.(4)若若A可逆，则可逆，则AT也可逆，也可逆，且且(AT)1(A 1)T.证明证明:因为因为 AT(A 1)T (A 1A)T ET E，所以所以 (AT)1(A 1)T.(5)|A 1|=|A|1.下页线性代数下页结束返回特别注意特别注意:A，B可逆，可逆，
13、A+B未必可逆未必可逆.即使即使A+B可逆，但一般地可逆，但一般地 例如例如显然显然A、B可逆，可逆，但因为但因为|A+B|=0,故故A+B不可逆不可逆.当当A=B时，时，而不是，而不是 下页线性代数下页结束返回线性方程组线性方程组 的矩阵形式为的矩阵形式为 其中其中 当当|A|0时，时，A-1存在，存在，AX=b两边左乘两边左乘A-1，得得 X=A-1b这就是线性方程组解的矩阵表达式这就是线性方程组解的矩阵表达式.下页3.4 3.4 用逆矩阵求解线性方程组用逆矩阵求解线性方程组线性代数下页结束返回例例5.利用逆矩阵求解方程组利用逆矩阵求解方程组 解解:将方程组写成矩阵形式将方程组写成矩阵形式
14、 计算得计算得，故，故A可逆可逆.因而有因而有，即，即 下页线性代数下页结束返回A 1 ，3 1-3-2-15/2 1 1-3/2 1 3 2 2 4 2 3 3 1 例例6设设A ，B ，C .5 2 3 1 1 3 2 3 1 0 求矩阵求矩阵X 使使AXB C.-5 3 2-1B 1 ，解解:X 3 1-3-2-15/2 1 1-3/2 1 3 2 3 1 0-5 3 2-1-2-10 10 1 4-4 .下页X A 1CB 1 为什么？为什么？3.5 用逆矩阵求解矩阵方程用逆矩阵求解矩阵方程线性代数下页结束返回 1 3 2 2 4 2 3 3 1 例例6设设A ，B ，C 。5 2 3
15、 1 1 3 2 3 1 0求矩阵求矩阵X 使使AXB C。解：解：XA-1CB-1-2-10 10 1 4-4 。注：注：求解矩阵方程求解矩阵方程下页线性代数下页结束返回 1.AAAA|A|E;3.若若|A|0,则则|A*|=|A|n-1.2.若若|A|0,则则A|A|A-1;下页3.6 3.6 伴随矩阵的常用性质伴随矩阵的常用性质4.(AB)*=B*A*5.(kA)*=kn-1A*6.若若A可逆，则可逆，则(A-1)*=(A*)-1线性代数下页结束返回7.设设 为为 阶可逆矩阵，证明阶可逆矩阵，证明 .证证 由定理由定理3，则，则，从而从而而而故故线性代数下页结束返回小结小结逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法逆矩阵逆矩阵 存在存在逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质.线性代数下页结束返回作业：82页页 16 17结束