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1、则矩阵则矩阵 称为称为 的可逆矩阵或逆阵的可逆矩阵或逆阵.一、概念的引入一、概念的引入在数的运算中在数的运算中，当数当数 时时，有有其中其中 为为 的倒数的倒数，（或称或称 的逆的逆）；）；在矩阵的运算中在矩阵的运算中，单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1，那么那么，对于矩阵对于矩阵 ，如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,使得使得23 逆矩阵逆矩阵二、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的概念和性质 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个如果有一个 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵 是是可逆可逆的，并把矩阵的，并把矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵.使得使得（1）逆矩阵只
2、对方阵而言，且）逆矩阵只对方阵而言，且B与与A为同阶方阵为同阶方阵（2）A、B互为逆矩阵。互为逆矩阵。即若即若 则则说明说明:(3)若若 是可逆矩阵是可逆矩阵，则则 的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.证：若设证：若设 B 和和 C 是是 A 的逆矩阵的逆矩阵，则有则有可得可得所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即(4)若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则证：若设证：若设 A是可逆矩阵是可逆矩阵，有有（反之亦成立）（反之亦成立）例如例如由于由于=E且且=E所以所以A可逆，可逆，B为为A的逆矩阵的逆矩阵即即,同时同时且且逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质().AA,A112-=则有则有可逆可
3、逆若若证明证明()且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均可逆为同阶方阵且均可逆若若,4ABBA证明证明三、逆矩阵的求法三、逆矩阵的求法 定义定义 设设 是是n阶方阵阶方阵A的行列式的行列式 中元中元素素 的代数余子式，称矩阵的代数余子式，称矩阵为矩阵为矩阵A的的伴随矩阵伴随矩阵元素元素 替换为其代数余子式替换为其代数余子式T对对有有使得使得且且即即0 00000定理定理 n阶方阵阶方阵A可逆的可逆的充要充要条件是条件是且当且当A可逆时可逆时【证证】必要性：必要性：充分性：已知充分性：已知由关系式由关系式即即A可逆，且可逆，且已证已证.例例1 设设 可逆，求其逆矩阵可逆，求其逆矩阵.解解因为因为A可
4、逆，所以可逆，所以则则例例2 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.解解同理可得同理可得故故例例3解解例例4 4判断题判断题：1、n阶方阵阶方阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是|A|02、若若A2不可逆不可逆，则则A一定不可逆一定不可逆3、设设A为为n阶方阵阶方阵，且且 ，若存在若存在B，使使 AB=O成立成立，则有则有B=O。因为因为A可逆的可逆的因为若因为若A2不可逆不可逆,则则A不可逆不可逆因为若因为若 ，则，则A可逆可逆则有则有A-1AB=A-1O成立成立，即，即B=O四、小结四、小结逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法逆矩阵逆矩阵 存在存在思考题思考题思考题解答思考题解答答答