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1、第二节 矩阵的运算四、矩阵的转置四、矩阵的转置 一、矩阵的加法一、矩阵的加法 三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘 二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘 五、方阵的行列式五、方阵的行列式 一、矩阵的加法一、矩阵的加法v矩阵加法的定义 设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij)矩阵A与B的和记为AB 规定为AB(aijbij)即 提示 只有当两个矩阵是同型矩阵时 这两个矩阵才能进行加法运算 一、矩阵的加法一、矩阵的加法v矩阵加法的定义 设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij)矩阵A与B的和记为AB 规定为AB(aijbij)即 矩阵的加法 设A(aij)和B(bij)则规定AB(aijbij)v矩
2、阵加法的运算规律 设A B C都是mn矩阵 则 (1)ABBA (2)(AB)CA(BC)v负矩阵 矩阵的减法 设矩阵A(aij)记A(aij)A称为矩阵A的负矩阵 显然有 A(A)O 规定矩阵的减法为ABA(B)二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘 v数乘矩阵的定义 数与矩阵A的乘积 记为A或A 规定为A=(aij)即 v数乘矩阵的运算规律 设A、B都是mn矩阵、是数 则 (1)()A(A)(2)()AAA (2)(AB)AB 矩阵的加法运算与数乘运算合起来 统称为矩阵的线性运算 数与矩阵相乘 设A(aij)则规定A=(aij)三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法 这个线性变换称为前两个线性变换的乘积
3、它的系数矩阵可以看作是前两个线性变换的系数矩阵的乘积 v引例 可得线性变换 相继作线性变换 2x33x22x2v矩阵乘法的定义矩阵乘法的定义 设A(aij)是一个ms矩阵 B(Bij)是一个sn矩阵 那么矩阵A与矩阵B的乘积记为ABC C(cij)为mn矩阵 其中 cijai1b1jai2b2j aisbsj(i1 2 m；j1 2 n)三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法 应注意的问题 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 m x ss x nm x n矩阵的乘法 设 A(aij)ms B(bij)sn 则规定AB(cij)mn 其中 cijai1b1jai2b2j aisbsj
4、(i1 2 m；j1 2 n)解 31107 3 3提问 BA是否有意义 三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法 特别地，一个1s的行矩阵与一个s1的列矩阵的乘积是一个1阶方阵 也就是一个数 这表明乘积ABC中的元cij就是A的第i行与B的第j列的乘积 解 32161680000 本例说明本例说明 1.乘法一般不满足交换律，即AB一般不等于BA(两两种种情情况况）2.从ABO一般不能推出AO或BO 3.从 AX=AY，AO,一般不能推出 XY（见课本见课本P35）v矩阵乘法与数的乘法的区别矩阵乘法与数的乘法的区别 解 31103110 ABBA 特别地特别地，如果两矩阵如果两矩阵A与与B相乘相乘 有有A
5、B BA 则称矩阵则称矩阵A与矩阵与矩阵B可交换可交换 v矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质 (1)(AB)CA(BC)(2)(AB)(A)BA(B)(其中为数)(3)A(BC)ABAC (BC)ABACA v单位矩阵在矩阵乘法中的作用单位矩阵在矩阵乘法中的作用 对于单位矩阵E 容易验证 EmAmnAmn AmnEnAmn或简写成 EAAEA 可见单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1 v纯量矩阵在矩阵乘法中的作用纯量矩阵在矩阵乘法中的作用 矩阵Ediag()称为纯量阵 由(E)AA A(E)A 可知纯量阵 E与与矩矩阵阵A的乘积等于数的乘积等于数 与矩阵与矩阵A的乘积的乘积 当A为n阶方阵时 有(
6、En)AnAnAn(En)这表明纯量阵E与任何同阶方阵都是可交换的 注意注意：EAA，而 E应注意的问题应注意的问题 只有当A与B可交换时 才有(AB)kAkBk(AB)2A22ABB2(AB)(AB)A2B2v矩阵的幂矩阵的幂 设A是n阶方阵 定义A1AAk1Ak A1 A2A1A1其中k为正整数 就是说 Ak 是 k 个A连乘 显然只有方阵 它的幂才有意义 v矩阵的幂的运算规律矩阵的幂的运算规律 (1)AklAk Al (2)(Ak)lAkl其中k、l为正整数 线性方程组的矩阵表示令令则上述方程组可表示为则上述方程组可表示为v转置矩阵的定义 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵 叫做A
7、的转置矩阵 记作AT 四、矩阵的转置四、矩阵的转置120311v转置矩阵的运算规律转置矩阵的运算规律 (1)(AT)T A (2)(A B)T AT BT (3)(A)T AT (4)(AB)T BTAT 解法一解法一 因为所以0171413310 解法二解法二0 1714 133 10注注 设A为n阶方阵 如果满足ATA 即aijaji(i j1 2 n)则称A为对称矩阵 简称对称阵 对称阵的特点是 它的元素关于主对角线对称相等 例例7 设列矩阵X(x1 x2 xn)T满足XTX1 E为n阶单位阵 HE2XXT 证明H是对称阵 且HHTE E4XXT4XXTE4XXT4X(XTX)XTE4X
8、XT4(XXT)(XXT)HHT所以H是对称阵 HT 证明证明 因为 HE2XXTE T2(XXT)T(E2XXT)T(E2XXT)2H2E五、方阵的行列式五、方阵的行列式v方阵的行列式的定义方阵的行列式的定义 由n阶方阵A的元素所构成的行列式称为方阵A的行列式 记作|A|或detAv方阵的行列式的运算规律方阵的行列式的运算规律 (1)|AT|A|=|A|T (2)|A|n|A|(3)|AB|A|B|例子注意注意：|AB|A|B|例例例例1 1 1 1 设设A A为为3 33 3矩阵，矩阵，B B为为4 44 4矩阵，且矩阵，且|A|=1,=1,|B|=2 2,则则|B|A|=().=().解解|B|A|B|3|A|(2)3 1=-8.=-8.(1)|AT|A|=|A|T (2)|A|n|A|(3)|AB|A|B|例例例例2 2 2 2 设设A A为为4 4阶矩阵，阶矩阵，B B为为4 4阶矩阵，且阶矩阵，且|A|=1,=1,|B|=2=2,则则|2|BT|A4B|=().=().解解|2|BT|A4B|（2 2）A4B|(4)4|A4B|256|A4|B|25622 512 小结 矩阵的运算四、矩阵的转置 一、矩阵的加法 三、矩阵的乘法 二、数与矩阵相乘 五、方阵的行列式 下节：逆方阵下节：逆方阵