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1、现代控制理论基础现代控制理论基础第第1010讲讲主讲教师：王划一主讲教师：王划一山东大学控制学院12.2 线性定常连续系统线性定常连续系统(t)的算法的算法2.2.1 2.2.1 拉氏变换法拉氏变换法(t)=e At =L L 1 1 (sIsI A A)1 1 1.1.对低阶系统（三阶以下）计算较方便，写出对低阶系统（三阶以下）计算较方便，写出的结果是解析式，在实际中最常用。的结果是解析式，在实际中最常用。2.2.对于高阶系统，求逆对于高阶系统，求逆比较比较困难。困难。2.2.22.2.2 幂级数法幂级数法直接计算法直接计算法 是一种无穷开式，很难写成闭式，一般采用近似计算，是一种无穷开式，
2、很难写成闭式，一般采用近似计算，精度将取决于所取项数的多少，适合于计算机计算。精度将取决于所取项数的多少，适合于计算机计算。2例：已知系统的状态方程为例：已知系统的状态方程为试求其状态转移矩阵。试求其状态转移矩阵。解：将解：将A阵代入幂级数展开式阵代入幂级数展开式32.2.3 2.2.3 对角形法与约当形法对角形法与约当形法 1.1.矩阵矩阵A的特征值的特征值 1，2，,n互不相同，其状互不相同，其状态转移矩阵可由下式求得态转移矩阵可由下式求得其中：其中：P是使是使A化成对角线标准形的线性变换化成对角线标准形的线性变换矩阵矩阵。4利用对角线法利用对角线法 eAt的方法的方法:1.求求 1，2，
3、,n;2.求特征矢量：求特征矢量：P1，P2，Pn;3.写出变换阵写出变换阵 P=P1 P2 Pn,求出求出P 1;4.求求 eAt。特点：求特点：求P阵比较麻烦，常用于理论推导。阵比较麻烦，常用于理论推导。5例：已知例：已知用对角形求用对角形求(t)。解解：1.求特征值：求特征值：6 2.2.求特征矢量：求特征矢量：73.求求P，P-1：4.求求eAt ：89 2.矩阵矩阵A有相重特征值有相重特征值10例：已知例：已知用对角形法求用对角形法求(t)。解解：11122.2.4 化化 eAt 为为A的有限项法：的有限项法：1.1.CaleyCaleyHamiltonHamilton定理定理 矩阵
4、矩阵A必满足其本身的零化特征多项式。必满足其本身的零化特征多项式。证明：证明：1314证毕证毕15 2.化化eAt为为A有限项有限项第一种情况：第一种情况：A的特征值互异的特征值互异 3.3.待定系数待定系数 i(t)的求法的求法16例：已知例：已知试用化试用化eAt 为为A的有限项法求的有限项法求eAt。17解：解：1.1.求特征值求特征值2.2.求系数求系数 i(t)18193.3.求求eAt 20第二种情况第二种情况：A有相重特征值有相重特征值 设设A有有n重特征值重特征值1，则按以上方法必有下式则按以上方法必有下式21第三种情况：第三种情况：系统有单根，也有重特征根系统有单根，也有重特征根例：已知系统矩阵例：已知系统矩阵试用化试用化e eAtAt为为A A的有限项法求的有限项法求e eAtAt。解：解：1.1.求特征值：求特征值：222.求系数求系数 i(t)233.3.求求 e eAtAt ：24结 束 1025