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1、 某化学反应中某化学反应中,在有限个时刻在有限个时刻t(min)(min)，测得生成物质得生成物质量浓度量浓度y(10-3g/cm3)的如下数据的如下数据 那么在时刻那么在时刻t=5mint=5min，t=18mint=18min时的浓度是多少？时的浓度是多少？ti12346810121416yi4.00 6.41 8.018.799.53 9.8610.3310.4210.5310.61 本章主要讨论利用插值方法寻求函数的近似问题。本章主要讨论利用插值方法寻求函数的近似问题。用用函函数数来来表表示示变变量量间间的的数数量量关关系系广广泛泛应应用用于于各各学学科科领领域域,但但在在实实际际问问
2、题题中中,往往往往是是通通过过实实验验、观观测测以以及及计计算算等等方方法法,获获得得函函数数在在一一些些点点上上的的函函数数值值。如如何何通通过过这这些些离离散散数数据据找找出出函函数数的的一一个个满满足足精精度度要要求求且且便便于于使使用的近似表达式用的近似表达式,是经常遇到的问题。例如：是经常遇到的问题。例如：第1页/共29页1 1 多项式插值问题多项式插值问题 设函数 y=f(x)在区间在区间a,b连续连续,给定给定n+1个点个点已知已知 f(xk)=yk(k=0,1,n),在函数类中寻找一函数在函数类中寻找一函数(x)作为作为 f(x)的近似表达式的近似表达式,使满足使满足这这时时称
3、称 y=f(x)为为被被插插值值函函数数,(x)称称为为插插值值函函数数,xk 称称为为插插值值节节点点,式式(2.2)(2.2)称称为为插插值值条条件件,寻寻求求插插值值函函数数(x)的方法称为的方法称为插值方法插值方法.一、一、插值问题插值问题a x0 x1 xnb (2.1)(xk)=f(xk)=yk ,k=0,1,n (2.2)第2页/共29页 在在构构造造插插值值函函数数时时，函函数数类类的的不不同同选选取取,对对应应着着各各种种不不同同的的插插值值方方法法，这这里里我我们们主主要要研研究究函函数数类类P是是代代数多项式，即所谓的多项式插值问题。数多项式，即所谓的多项式插值问题。多多
4、项项式式插插值值，从从几几何何角角度度看看，就就是是寻寻求求n次代数曲线 y=pn(x)通通过过n+1个个点点(xk,yk)(k=0,1,n)作作为为 f(x)的近近似似(如下图如下图).).二、多项式插值问题二、多项式插值问题第3页/共29页(2.4)设设 pn(x)=a0+a1x+an xn，当当满满足足如如下下的的插插值值条条件件时，即时，即得到关于系数得到关于系数 a0、a1、an 的线性方程组的线性方程组pn(xk)=f(xk)=yk ,k=0,1,n (2.3)第4页/共29页其系数行列式为其系数行列式为Vandermonde(范德蒙范德蒙)行列式行列式只要只要 ij 就有就有xi
5、 xj ,因而因而 V(x0,x1,xn)0,于是方程组于是方程组(2.4)(2.4)有唯一解有唯一解,也就是说也就是说,当节点不重合时当节点不重合时,n+1+1个节点的个节点的插值条件能唯一确定一个插值条件能唯一确定一个n次插值多项式次插值多项式,从而有从而有:定理定理2.1 给定给定n+1 个互异节点个互异节点 x0,x1,xn 上的函数上的函数值值y0,y1,yn,则满足插值条件则满足插值条件 pn(xk)=f(xk)=yk ,k=0,1,n的的n 次插值多项式次插值多项式 pn(x)存在且唯一。存在且唯一。第5页/共29页这样只要求解方程组这样只要求解方程组1.拉格朗日插值多项式拉格朗
6、日插值多项式2.牛顿插值多项式牛顿插值多项式 3.分段线性插值多项式分段线性插值多项式 4.三次样条插值多项式三次样条插值多项式便可确定插值多项式便可确定插值多项式 pn(x)，但相对来讲计算较复杂。，但相对来讲计算较复杂。而插值多项式的唯一性保证了无论用什么方法获得满足而插值多项式的唯一性保证了无论用什么方法获得满足插值条件的多项式都是同一个多项式插值条件的多项式都是同一个多项式 pn(x)，因此可以，因此可以采用其它更简便的方法来确定多项式。下面就介绍几种采用其它更简便的方法来确定多项式。下面就介绍几种常用的方法：常用的方法：(2.4)第6页/共29页2 Lagrange插值多项式插值多项
7、式的函数值的函数值 已知已知 y=f(x)在在n+1 个点个点构造构造n次多项式次多项式 pn(x),使得使得从而得到从而得到 f(x)的近似计算式的近似计算式 第7页/共29页一、线性插值一、线性插值一、线性插值一、线性插值（n n=1=1）求解 L1(x)=a1 x+a0已知使得 f(x)L1(x),x x0,x1.根据点斜式得到如果令则称 l0(x),l1(x)为一次插值多项式的基函数。这时：并称其为一次Lagrange插值多项式。f(x)L1(x)=y0l0(x)+y1 l1(x)第8页/共29页二、抛物线插值二、抛物线插值二、抛物线插值二、抛物线插值（n n=2=2）求解 L2(x)
8、=a2x2+a1 x+a0使得 f(x)L2(x),x x0,x2.关于二次多项式的构造采用如下方法：令已知并由插值条件得到L2(x)=A(x-x1)(x-x2)+B(x-x0)(x-x2)+C(x-x0)(x-x1)L2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2第9页/共29页于是得到则有f(x)L2(x)=y0l0(x)+y1 l1(x)+y2 l2(x)如果令并称其为二次Lagrange 插值多项式。紧凑格式紧凑格式则称 l0(x),l1(x)，l(x)为二次插值多项式的基函数。这时：第10页/共29页另外，如果再引进记号另外，如果再引进记号 则其导数为则其导数为 而且而且
9、于是于是 第11页/共29页这样，就得到二次拉格朗日插值多项式的三种表示形式这样，就得到二次拉格朗日插值多项式的三种表示形式 紧凑格式 这样就得到在区间这样就得到在区间a,b上关于上关于 f(x)的近似计算式的近似计算式基函数表示 3(x)表示式 下面给出下面给出n次拉格朗日插值多项式的构造次拉格朗日插值多项式的构造。第12页/共29页三、三、n 次次Lagrange插值多项插值多项式式已知n+1组离散数据按照二次Lagrange插值多项式的构造方法，令：将插值条件 Ln(x0)=y0 代入，得到：同理，由插值条件 Ln(x1)=y1，得到：第13页/共29页由插值条件 Ln(xn)=yn,得
10、将代入下式：得到：第14页/共29页也就是紧凑格式 第15页/共29页基函数表示 引进基函数则有还有一种表示式还有一种表示式 n+1(x)表示式 其中其中n+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn).从而就得到了在区间从而就得到了在区间 a,b 上的关于函数上的关于函数 f(x)的的n次多项式近似计算式：次多项式近似计算式：第16页/共29页 例：某化学反应中某化学反应中,在有限个时刻在有限个时刻t(min)，测得生测得生成物质量浓度成物质量浓度 y(10-3g/cm3)的如下数据的如下数据 那么在时刻那么在时刻t=5min，t=16.4min时的浓度是多少？时的浓度是多少？ti1234
11、6810121416yi4.00 6.41 8.018.799.53 9.8610.3310.4210.5310.61解：编写程序进行计算(1).先编写Lagrange插值算法子程序(2).再编写主程序Lagrange2调用子程序。(3).计算在t=5，t=16.4的浓度值，并画出曲线图。第17页/共29页%lagrange.mfunction y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for k=1:m z=x(k);s=0.0;for j=1:n p=1.0;for i=1:n if i=j p=p*(z-x0(i)/(x0(j)-x0(i);
12、end end s=p*y0(j)+s;end y(k)=s;end%lagrange2.m x0=1 2 3 4 6 8 10 12 14 16;y0=4.00 6.41 8.01 8.79 9.53 9.86 10.33 10.42 10.53 10.61;x=1:0.1:16;y=lagrange(x0,y0,x);x1=5;x2=16.4;y1=lagrange(x0,y0,x1)y2=lagrange(x0,y0,x2)plot(x0,y0,.k,markersize,20)hold onplot(x,y,-r,markersize,30)hold on plot(x1,y1,*b,
13、markersize,8)hold on plot(x2,y2,*b,markersize,8)legend(原数值点原数值点,Lagrange曲线曲线,2)第18页/共29页计算结果：计算结果：y(5)=9.2300,y(16.4)=6.5872第19页/共29页例2 已知分别用线性插值和二次插值计算 sin0.3367.解：设（1）取 x0,x1 作线性插值于是第20页/共29页关于误差，由得到：（2 2）.取取 x0,x1,x2 作二次插值作二次插值得到得到 关于误差，由关于误差，由第21页/共29页得到得到第22页/共29页四、插值余项（误差估计）四、插值余项（误差估计）四、插值余项（
14、误差估计）四、插值余项（误差估计）定理定理2.22.2：设设 f(x)Cna,b,f(n+1)(x)在在(a,b)内存在内存在，x0,x1,xn 是是 a,b 中的中的 n+1 个互异节点个互异节点，则当，则当x a,b 时时,n 次次Lagrange插值多项式的插值多项式的截断误差截断误差为为：(2.5)证明证明：令 x 是a,b中任意固定的数，如果中任意固定的数，如果 x 是插值节点是插值节点xi,则则(2.5)左右两端均为零，等式左右两端均为零，等式(2.5)成立成立。如果如果x不是节点不是节点 xi ，作辅助函数如下：作辅助函数如下：n+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)第
15、23页/共29页其中其中 n+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn).可以检验可以检验同理可得同理可得而且而且可知可知 在区间在区间a,b内有内有n+2个零点个零点:x0、x1、xn、x.由由 Rolle 定理可知，定理可知，的导函数的导函数 在在(a,b)(a,b)内有内有n+1个个零点：零点：以此类推，可知以此类推，可知 在在(a,b)内至少有内至少有 1 1 个零点：个零点：再利用再利用 Rolle 中值定理可知中值定理可知 在在(a,b)内有内有n个零点。个零点。第24页/共29页即而根据求得于是从而得到误差估计式第25页/共29页对于误差估计式对于误差估计式当当n=1时时如果
16、如果存在，则可以估计误差限：存在，则可以估计误差限：第26页/共29页于是，得到如下于是，得到如下Lagrange插值多项式及其误差估计插值多项式及其误差估计这里 f(x)=Ln(x)+Rn(x)当 f(x)Ln(x)时，误差为Rn(x)。第27页/共29页本节本节(2)要点要点1.掌握掌握Lagrange 插值多项式的构造方法及具体结构插值多项式的构造方法及具体结构2.掌握掌握Lagrange插值多项式误差分析方法和结果插值多项式误差分析方法和结果3.编写Lagrange插值多项式计算程序进行实际计算插值多项式计算程序进行实际计算练习：已知函数y=f(x)的如下离散数据x012y2312(1).试用线性插值求函数在 x=1.5处的近似值。(2).试用二次插值求函数在 x=1.5处的近似值。第28页/共29页感谢您的观看。第29页/共29页