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1、5.4奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据系系统统稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是系系统统闭闭环环特特征征根根都都具具有有负负实实部部，即即位位于于s左左半半平平面面。在在时时域域分分析析中中判判断断系系统统的的特特征征方方程程根根是是否否都都具具有有负负实实部部，一一种种方方法法是是求求出出特特征征方方程程的的全全部部根根，另另一一种种方方法法就就是是使使用用劳劳思思-赫赫尔尔维维茨茨稳稳定定判判据据（代代数数判判据据）。然然而而，这这两两种种方方法法都都有有不不足足之之处处，对对于于高高阶阶系系统统，非非常常困困难难且且费费时时,也也不不便便于于研研究究系系统统参数、结构对稳定性的影响
2、。参数、结构对稳定性的影响。特特别别是是，如如果果知知道道了了开开环环特特性性，要要研研究究闭闭环环系系统统的的稳稳定定性性，还还需需要要求求出出闭闭环环特特征征方方程程，无无法法直直接接利利用用开开环环特特性性判判断断闭闭环环系系统统的的稳稳定定性性。而而对对于于一一个个自自动动控控制制系系统统，其其开开环环数数学学模模型型易易于于获获取取，同时它包含了闭环系统所有环节的动态结构和参数。同时它包含了闭环系统所有环节的动态结构和参数。除除劳劳斯斯判判据据外外，分分析析系系统统稳稳定定性性的的另另一一种种常常用用判判据据为为奈奈奎奎斯斯特特（Nyquist）判判据据。Nyquist稳稳定定判判据
3、据是是奈奈奎奎斯斯特特于于1932年年提提出出的的，它它是是频频率率法法的的重重要要内内容容，简简称称奈奈氏氏判判据。奈氏判据的主要特点有据。奈氏判据的主要特点有1.根根据据系系统统的的开开环环频频率率特特性性，来来研研究究闭闭环环系系统统稳稳定定性性，而而不必求闭环特征根；不必求闭环特征根；2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）。能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）。3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计；可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计；4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法，又称几何判据。基于系统的开环奈氏图，是一种图解法，又称几何判据。Nyquist判判
4、据据的的主主要要理理论论依依据据是是复复变变函函数数理理论论中中的的Cauch(柯西柯西)幅角定理。幅角定理。5.4.1、奈奎斯特稳定判据、奈奎斯特稳定判据一、奈奎斯特稳定性判据一、奈奎斯特稳定性判据0型系统奈奎斯特稳定性判据可叙述如下型系统奈奎斯特稳定性判据可叙述如下:系系统统的的开开环环右右极极点点个个数数为为P,在在G(s)H(s)平平面面上上，当当 从从-变变化化到到+时时，系系统统开开环环频频率率特特性性曲曲线线G(j)H(j)及及其其镜镜像像，顺顺时时针针包包围围(-1，j0)点点的的次次数数为为N圈圈(N0)（若若逆逆时时针针包包围围则则N0，封封闭闭曲曲线线绕绕(-1，j0)点
5、旋转点旋转360即包围一次），则系统的闭环右极点的个数为即包围一次），则系统的闭环右极点的个数为Z，且满足：且满足：Z=N+P当当Z=0时，系统稳定；时，系统稳定；Z0时，系统不稳定。时，系统不稳定。说明系统开环稳定，闭环不一定稳定；开环不稳定，闭环不一定不稳定。说明系统开环稳定，闭环不一定稳定；开环不稳定，闭环不一定不稳定。若若系系统统为为最最小小相相位位系系统统，即即开开环环系系统统稳稳定定时时（P=0），系系统统稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件为为：当当从从-变变化化到到+时时，在在G(s)H(s)平平面面上上的的系系统统开开环环频频率率特特性性曲曲线线及及其其镜镜像像，不不包包围围
6、(-1，j0)点点，即即N=0，则则Z=N+P=0，闭环系统稳定；否则不稳定。闭环系统稳定；否则不稳定。当当系系统统开开环环频频率率特特性性曲曲线线及及其其镜镜像像通通过过(-1，j0)点点时时，表表明明在在s平平面面虚轴上有闭环极点虚轴上有闭环极点,系统处于临界稳定状态，属于不稳定。系统处于临界稳定状态，属于不稳定。例例5-3一一个个闭闭环环系系统统如如图图所所示示。其其开开环环传递函数为传递函数为G(s)=K/(Ts-1),K1这这是是一一个个不不稳稳定定的的惯惯性性环环节节,开开环环特特征征方方程程式式在在右右半半s平平面面有有一一个个根根,P=1。闭闭环传递函数为环传递函数为(s)=K
7、/(Ts+K-1)由由于于K1,闭闭环环特特征征方方程程式式的的根根在在左左半半s平平面面,所所以以利利用用代代数数方方法法可可以以判判断断闭闭环环是稳定的。是稳定的。系统开环幅频特性为系统开环幅频特性为开环相频特性为开环相频特性为()=-(180-arctan T)=-180+arctan T据此可以判断开环奈氏曲线起点为据此可以判断开环奈氏曲线起点为(-K,j0)点点,随随 的增加的增加,A()逐渐减逐渐减小至小至0,而而()逐渐增加至逐渐增加至-90,绘制出系统开环频率特性绘制出系统开环频率特性G(j)的轨迹，的轨迹，并作出镜像曲线连接成封闭曲线，见图并作出镜像曲线连接成封闭曲线，见图5
8、-48b。可可以以看看出出,当当 由由-变变到到+时时,G(j)矢矢量量逆逆时时针针围围绕绕(-1,j0)点点转一圈转一圈,即即N=-1。由由于于Z=N+P=0，,故故由由奈奈氏氏稳定判据知闭环系统是稳定的。稳定判据知闭环系统是稳定的。另另外外，可可知知K1时时N=0，Z=N+P=1，闭闭环环系系统统不不稳稳定定；K=1时时，G(j)轨轨迹迹过过(-1,j0)点点，为为临临界界稳稳定定。奈奈氏氏判判据据与与代代数数判判据结论相同据结论相同.对于本例所示的非最小相位系统而言对于本例所示的非最小相位系统而言,开环传递系数开环传递系数K大大,系统稳定系统稳定,而而K过小过小,闭环系统反而不稳定闭环系
9、统反而不稳定,与最小相位系统有很大的区别与最小相位系统有很大的区别.5.4.2简化奈奎斯特稳定判据简化奈奎斯特稳定判据若若系系统统的的开开环环奈奈氏氏曲曲线线比比较较复复杂杂，则则对对(-1,j0)点点的的包包围围次次数数也也比比较较难难以以直直观观判判断断。为为方方便便稳稳定定性性的的判判别别，可可如如下下将将奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判据的应用方法简化，而判别结果完全相同。判据的应用方法简化，而判别结果完全相同。1.只绘制只绘制 由由0变到变到+时的开环幅相频率特性时的开环幅相频率特性G(j)因因为为（0，+）与与（-，0）的的曲曲线线完完全全关关于于实实轴轴对对称称，则则0变变到到+时时的
10、的开开环环幅幅相相频频率率特特性性G(j)顺顺时时针针包包围围(-1,j0)点点的的圈圈数数N满满足足N=N/2N是是当当 从从-变变化化到到+时时，系系统统开开环环频频率率特特性性曲曲线线及及其其镜镜像像G(j)顺时针包围顺时针包围(-1,j0)点的圈数。点的圈数。因此因此，简化奈奎斯特稳定判据可改为简化奈奎斯特稳定判据可改为Z=N+P=2N+P2.采采用用穿穿越越的的概概念念简简化化复复杂杂曲曲线线包包围围次次数数的的计算计算 由由0变变到到+时时开开环环频频率率特特性性曲曲线线要要形形成成对对(-1,j0)点点的的一一次次包包围围，势势必必穿穿越越（-，-1）区区间一次。间一次。开开环环
11、频频率率特特性性曲曲线线逆逆时时针针穿穿越越（-，-1）区区间间时时，随随增增加加，频频率率特特性性的的相相角角值值增增大大，称称为为一一次正穿越次正穿越N+。反反之之，开开环环频频率率特特性性曲曲线线顺顺时时针针穿穿越越（-，-1）区区间间时时，随随增增加加，频频率率特特性性的的相相角角值值减减小小，则称为一次负穿越则称为一次负穿越N-。频率特性曲线包围频率特性曲线包围(-1,j0)点的情况，就可以利用频率特性曲线点的情况，就可以利用频率特性曲线在负实轴（在负实轴（-，-1）区间的正、负穿越来表达。）区间的正、负穿越来表达。由由0变到变到+时的开环幅时的开环幅相频率特性相频率特性G(j)对对
12、(-1,j0)点的总包围次数为点的总包围次数为N=（N-N+）式中，式中，N-代表负穿越次数，代表负穿越次数，N+代表正穿越次数，代表正穿越次数，利用正、负穿越情况的奈奎利用正、负穿越情况的奈奎斯特稳定判据叙述为：斯特稳定判据叙述为：Z=2（N-N+）+P注意到只有奈氏曲线在注意到只有奈氏曲线在(-1,j0)点以左负实轴上相位有变化才称点以左负实轴上相位有变化才称为有一次穿越，而在为有一次穿越，而在(-1,j0)点以右负实轴上相位有变化不算穿越。点以右负实轴上相位有变化不算穿越。3.半次穿越半次穿越奈奈氏氏曲曲线线始始于于或或止止于于(-1,j0)点点以以左左负负实实轴轴，称称为为一一个个半半
13、次次穿穿越，如图越，如图5-53所示。所示。例例5-4某某系系统统开开环环传传递递函函数数如如下下，试判断闭环系统的稳定性。试判断闭环系统的稳定性。根根据据系系统统的的开开环环传传递递函函数数，并并考考虑虑到到系系统统为为0型型系系统统，可可知知图图5-53所所绘绘曲曲线线即即为为该该系系统统的的开开环环奈奈氏氏曲曲线线。由由于于曲曲线线始始于于（-3，j0）点点，故故顺顺时时针针包包围围（-1，j0）点点的的次次数数为为1/2，N-=1/2。由由于于开环右极点数为开环右极点数为P=0，故故Z=2N-+P=1闭环系统有一个右极点，闭环不稳定。闭环系统有一个右极点，闭环不稳定。例例5-5经经实实
14、验验测测得得某某最最小小相相位位系系统统的的开开环奈氏图如图所示，判断闭环稳定性。环奈氏图如图所示，判断闭环稳定性。由由于于为为最最小小相相位位系系统统，开开环环右右极极点点数数P=0，且且为为0型型系系统统，故故直直接接利利用用开开环环频频率率特特性性G(j)的的轨轨迹判断稳定性。迹判断稳定性。由由图图可可以以看看出出,当当 由由0变变到到+时时,G G(j(j)矢矢量量在在(-1,j0)点点以以左左负实轴上正负穿越次数各一次。负实轴上正负穿越次数各一次。N=N-N+=1-1=0Z=2（N-N+）+P=0故由奈氏稳定判据知该闭环系统是稳定的。故由奈氏稳定判据知该闭环系统是稳定的。4.型别型别
15、v1系统开环频率特性系统开环频率特性G(j)曲线的处理曲线的处理在在=0附附近近,幅幅相相特特性性以以 为为半半径径,逆逆时时针针补补画画=v90的的圆圆弧弧，添添加加圆圆弧弧后后相相当当于于得得到到新新的的开开环环频频率率特特性性G(j)曲曲线线。此此圆圆弧弧与与实实轴轴或或虚虚轴轴的的交交点点相相当当于于新新的的起起点点，对对应应=0，原原有有曲曲线线的的起起点点对对应应于于=0+。注注意意所所指指曲曲线线仍仍为为 由由0变变到到+时时的的开开环环幅幅相相频频率率特特性性G(j)。当当系系统统的的开开环环奈奈氏氏曲曲线线作作如如上上处处理理后后，代代入入简简化化奈奈氏稳定判据即可。氏稳定判
16、据即可。Z=2N+P=2（N-N+）+P例例5-6判断图示判断图示型系统的闭环稳定性型系统的闭环稳定性由由以以上上分分析析可可知知，开开环环系系统统型型别别过过高高会会影影响响稳稳定定性性，而而串串联联比比例例微微分分调调节节器器可可以以改改善善系系统统的的稳稳定定性性，起起到到校校正正的的作作用用，但但要要选择合适的参数。选择合适的参数。Z=2N+P=2（N-N+）+P例例5-7判断图示系统的闭环稳定性判断图示系统的闭环稳定性Z=2（N-N+）+Pb图所示系统为一图所示系统为一型二阶系统，该系统为非最小相位系统，型二阶系统，该系统为非最小相位系统，P=1，相频特性为相频特性为()=-90-（
17、180-arctan T）=-270+arctan T故故该该系系统统奈奈氏氏曲曲线线的的起起点点位位于于平平行行于于正正虚虚轴轴的的无无穷穷远远处处，并并沿沿着着负负实实轴轴（-180）终终止止于于坐坐标标原原点点。在在=0附附近近,曲曲线线以以 为为半半径径,逆逆时时针针补补画画=190=90的的圆圆弧弧与与负负实实轴轴相相交交。由由0变变到到+时时，G(j)始始于于（-1，j0）点点以以左左实实轴轴上上，有有半半次次穿穿越越，即即顺顺时时针针包包围围（-1，j0）点点半半次次，有有N-=1/2。则则Z=2N-+P=2，闭闭环环系系统统有有两两个个右右极极点点，系系统不稳定。统不稳定。5.
18、4.3奈奎斯特稳定判据在波德图上的应用奈奎斯特稳定判据在波德图上的应用由由于于系系统统开开环环对对数数频频率率特特性性曲曲线线的的绘绘制制较较奈奈奎奎斯斯特特曲曲线线更更为为简简单单、方方便便，自自然然使使用用伯伯德德图图来来进进行行系系统统稳稳定定性性判判别别就就更更适适用用。它它实实际际上上是是Nyquist判判据据在在波波德德图图上上的的应应用用。该该判判据据不不但但可可以以回回答答系系统统稳稳定定与与否否的的问问题题，还还可可以以研研究究系系统统的的稳稳定定裕裕量量（相相对对稳稳定定性性），以以及及研研究究系系统结构和参数对系统稳定性的影响。统结构和参数对系统稳定性的影响。一、奈氏图与
19、波德图的对应关系一、奈氏图与波德图的对应关系1.开开环环系系统统幅幅相相频频率率特特性性与与对对数数频频率率特特性性之之间间存存在在如如下下对对应应关关系系:在在G(j)平平面面上上,|G(j)|=1的的单单位位圆圆,对对应应于于对对数数幅幅频频特特性性的的0分分贝贝线线;单单位位圆圆外外部部如如(-,-1)区区段段，对对应应L（）0dB，单单位位圆圆内部对应内部对应L（）0dB的的频频率率范范围围内内，相相频频特特性性曲曲线线穿穿过过-180；在在L（）0dB的的频频率率范范围围内内，根根据据相相频频曲曲线线穿穿越越-180的的相相位位线线的的次次数数对对系系统统稳稳定定性性做做出出判判定定
20、。可可将将对对数数频频率率特特性性判判断断闭闭环环系系统统稳稳定定性性的的奈奈氏氏稳稳定定判据表述如下判据表述如下:设设开开环环传传递递函函数数在在右右半半S平平面面上上的的极极点点数数为为P，则则L（）0dB的的频频率率范范围围内内，当当频频率率增增加加时时对对数数相相频频特特性性曲曲线线对对-180的的相相位位线的正、负穿越次数为线的正、负穿越次数为N+与与N-，闭环右极点个数为闭环右极点个数为Z=2（N-N+）+P例例5-8设系统的开环传递函数如下，系统开环对数频率特性曲线如图所示，设系统的开环传递函数如下，系统开环对数频率特性曲线如图所示，试判别闭环系统的稳定性。试判别闭环系统的稳定性
21、。解：由系统开环传递函数可知，解：由系统开环传递函数可知，开环系统是稳定的，即开环系统是稳定的，即P=0，在在L（）0dB的频率范围内，的频率范围内，相频特性曲线相频特性曲线()不穿越不穿越-180的相位线，即正、负穿越的相位线，即正、负穿越次数差为次数差为0，由，由Z=2（N-N+）+P可知，可知，Z=0，故闭环系故闭环系统稳定。统稳定。对对于于型型别别v1（v为为系系统统开开环环传传递递函函数数在在原原点点处处的的极极点点数数）的的系系统统，应应将将Bode图图对对数数相相频频特特性性在在0处处附附加加一一段段自自上上而而下下的的、变变化化范范围围为为-v90的的曲曲线线与与相相频频特特性
22、性曲曲线线在在0处处相相连连。相相频频特特性性经经过处理后，再使用上述稳定性判据。过处理后，再使用上述稳定性判据。相频特性曲线经处理后，可见相频特性曲线经处理后，可见N-=1，则则有有Z=2（N-N+）+P=2闭环系统有两个右极点，为结构不稳定系闭环系统有两个右极点，为结构不稳定系统。统。图示系统如果不添加相应曲线，则会图示系统如果不添加相应曲线，则会得出闭环系统稳定的错误结论。得出闭环系统稳定的错误结论。5.4.4奈奎斯特稳定判据的其他应用奈奎斯特稳定判据的其他应用一、条件稳定系统一、条件稳定系统有有的的系系统统，降降低低放放大大系系数数后后甚甚至至会会造造成成不不稳稳定定。开开环环放放大大
23、系系数数下下降降到到一一定定程程度度时时,系统由稳定变为不稳定的系统。系统由稳定变为不稳定的系统。系系统统对对某某些些K值值是是稳稳定定的的，而而当当K增增大大或或减减小小到到另另一一范范围围时时，系系统统又又变变得得不不稳稳定定，这这样样的的系系统统称称为为条条件件稳稳定定系系统统。只只有有在在某某些些K值值范范围围内内，正正负负穿穿越越次次数数之之差差为为0时时，闭环系统才稳定。闭环系统才稳定。如图所示，系统为最小相位系统，为保证系统稳定，如图所示，系统为最小相位系统，为保证系统稳定，K的取值的取值必须保证必须保证(-l,j0)点在点在AB范围内或者在范围内或者在C点以左。点以左。条件稳定
24、系统二、多回路系统稳定性分析二、多回路系统稳定性分析理理论论上上所所有有具具有有单单输输入入单单输输出出的的多多回回路路反反馈馈系系统统，都都可可以以化化简简为为单单回回路路系系统统分分析析稳稳定定性性。但但直直接接确确定定多多回回路路系系统统的的开开环环零零极极点点较较为为复复杂杂，因因此此多多回回路路系系统统需需要要多多次次应应用用奈奈氏氏判判据据去去确确定定整整个个闭环系统的稳定性。闭环系统的稳定性。首首先先判判断断局局部部反反馈馈（内内环环）的的稳稳定定性性，找找出出内内环环的的闭闭环环右右极极点点个个数数。对对于于整整个个闭闭环环系系统统而而言言，内内环环的的闭闭环环右右极极点点实实
25、际际上上是是开开环环右右极极点点；确确定定了了整整个个闭闭环环系系统统的的开开环环右右极极点点个个数数后后，求求出出整整个个系统的开环传递函数，再利用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。系统的开环传递函数，再利用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。三、奈氏判据应用于延迟系统三、奈氏判据应用于延迟系统滞滞后后系系统统的的开开环环传传递递函函数数包包含含延延迟迟环环节节e-s，其其闭闭环环特特征征方方程程为为超超越越方方程程，不不能能用用劳劳斯斯判判据据判判断断闭闭环环稳稳定定性性。而而利利用用奈奈氏氏判判据据不不仅仅可可以以直接判断延迟系统的稳定性，还可以确定系统的临界稳定参数。直接判断延迟系统的稳定性，还
26、可以确定系统的临界稳定参数。延迟系统的开环传递函数可看作延迟环节与最小相位系统的串联延迟系统的开环传递函数可看作延迟环节与最小相位系统的串联 G（s）H（s）=Go（s）Ho（s）e-s可绘制出此系统的开环奈氏可绘制出此系统的开环奈氏图如图所示图如图所示，e-s的作用是将的作用是将Go（j）Ho（j）曲线上的每一点曲线上的每一点顺时针方向旋转顺时针方向旋转角度，奈氏图角度，奈氏图向左上方移动。向左上方移动。其其开开环环奈奈氏氏图图呈呈螺螺旋旋状状终终于于坐坐标标原原点点，与与负负实实轴轴有有无无穷穷多多个个交交点点，且且均均为为顺顺时时针针方方向向。当当G(j)曲曲线线与与负负实实轴轴的的交交
27、点点都都在在（0，-1）实实轴轴段段，闭闭环环系系统统稳稳定定；G(j)曲曲线线与与负负实实轴轴的的交交点点刚刚好好通通过过（-1，j0）点点，闭闭环环系系统统临临界界稳稳定定；若若G(j)曲曲线线在在（-，-1）实实轴轴段段与与负负实实轴轴有有交交点点m个个，则则Z=2（N-N+）+P=2m，闭环系统不稳定。闭环系统不稳定。可可以以证证明明，=0（s）时时，该该系系统统奈奈氏氏曲曲线线与与负负实实轴轴的的第第一一个个交交点点在在（-1，j0）点点以以右右负负实实轴轴上上，闭闭环环稳稳定定，且且随随 值值的的增增加加，曲曲线线与与负负实实轴轴的的第第一一个个交交点点就就逐逐渐渐靠靠近近（-1，j0）点点；=2（s）时时，奈奈氏氏曲曲线线与与负负实实轴轴的的第第一一个个交交点点正正好好是是（-1，j0）点点，闭闭环环临临界界稳稳定定；2（s）时时，奈奈氏氏曲曲线线顺顺时时针针包包围围（-1，j0）点次数大于点次数大于0，闭环不稳定。闭环不稳定。延迟环节串接在前向、反馈通道对系统稳定性的影响是相同的。延迟环节串接在前向、反馈通道对系统稳定性的影响是相同的。实际系统不可避免地存在延迟环节，应尽可能地减小延迟时间实际系统不可避免地存在延迟环节，应尽可能地减小延迟时间，提高，提高稳定性。稳定性。