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1、5.3对数频率特性及其绘制对数频率特性及其绘制5.3.1对数频率特性曲线基本概念对数频率特性曲线基本概念对数频率特性曲线是频率法中应用最广泛的曲线，常称为波德对数频率特性曲线是频率法中应用最广泛的曲线，常称为波德(Bode)图，分为图，分为对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线和和对数相频特性曲线对数相频特性曲线。波德图。波德图是绘制在以是绘制在以10为底的半对数坐标系中的，它的特点是横坐标采用为底的半对数坐标系中的，它的特点是横坐标采用对数刻度，因此刻度不是线性均匀的，而纵坐标则仍采用均匀的对数刻度，因此刻度不是线性均匀的，而纵坐标则仍采用均匀的线性刻度。线性刻度。对数频率特性的横坐标如图对数频率
2、特性的横坐标如图6.3所示。图中横坐标采用对数比所示。图中横坐标采用对数比例尺例尺(或称对数标度或称对数标度),横坐标即频率坐标是按横坐标即频率坐标是按的对数值的对数值1g进进行线性分度的，如行线性分度的，如=1,lg1=0；=2,lg2=0.301；=3,lg3=0.477；=4,lg4=0.602；=5,lg5=0.699；=6,lg6=0.778；=7,lg7=0.845；=8,lg8=0.903；=9,lg9=0.954；=10,lg10=1。标标注注角角频频率率的的真真值值,以以方方便便读读数数。每每变变化化十十倍倍,横横坐坐标标1g就就增增加加一一个个单单位位长长度度，记记为为de
3、cade或或简简写写dec。这这个个单单位位长长度度代代表表十十倍频率的距离倍频率的距离,故称之为故称之为“十倍频十倍频”或或“十倍频程十倍频程”。由由于于横横坐坐标标按按照照的的对对数数来来分分度度，对对于于是是不不均均匀匀的的，但但对对1g却却是是均均匀匀的的线线性性分分度度。由由于于0频频无无法法表表示示，横横坐坐标标的的最最低低频频率率是是由所需的频率范围来确定的。由所需的频率范围来确定的。若横轴上有两点若横轴上有两点1与与2，则该两点的距离不是，则该两点的距离不是2-1，而是，而是lg2-lg1,如如2与与20、10与与100之间的距离均为一个单位长度，之间的距离均为一个单位长度，即
4、一个十倍频程。即一个十倍频程。对对数数幅幅频频特特性性曲曲线线的的纵纵坐坐标标是是将将A()取取常常用用对对数数，并并乘乘上上20倍倍，变变成成对对数数幅幅值值L()，单位为，单位为dB（分贝）。分贝）。由由于于直直接接标标注注L()的的数数值值，纵纵坐坐标标是是均均匀匀的的普普通通比比例例尺尺。A()每每变变大大十十倍倍,L()增增加加20dB。至至于于对对数数相相频频特特性性,其其横横坐坐标标与与幅幅频频特特性性的的横横坐坐标标相相同同,不不是是均均匀匀的的线线性性刻刻度度；其其纵纵坐标直接表示相角位移坐标直接表示相角位移,单位为单位为“度度”(),采用普通比例尺。采用普通比例尺。对数频率
5、特性曲线坐标系如图所示，在绘制函数关系时，相当于对数频率特性曲线坐标系如图所示，在绘制函数关系时，相当于lg为自变量。为自变量。对对数数频频率率特特性性曲曲线线反反映映L()=20lgA()与与()随随lg变变化化的的规规律律，从从而而间间接反映接反映A()与与()随随变化的规律。如惯性环节变化的规律。如惯性环节的对数幅频特性曲线如图的对数幅频特性曲线如图5-28所示，并分别绘制所示，并分别绘制出精确曲线与渐近线。出精确曲线与渐近线。波德图采用半对数坐标具有如下优点：波德图采用半对数坐标具有如下优点：1.缩缩小小了了比比例例尺尺,使使横横坐坐标标的的低低频频段段大大大大展展宽宽，而而高高频频段
6、段压压缩缩，能能够够展展示示更更宽宽的的频频率率范范围围，便便于于分分析析和和设设计计系系统统。幅幅频频特特性性采采用用分分贝贝表表示示幅幅值值后后，纵纵坐坐标标高高段段也也相相对对缩缩小小，幅幅频频特特性性曲曲线线斜斜率率下下降降，范范围围更更广广，图图示示更更清清楚。楚。2.大大大大简简化化绘绘制制系系统统频频率率特特性性的的工工作作。当当系系统统由由许许多多环环节节串串联联构构成成时时，开开环环频率特性为频率特性为G(j)=G1(j)G2(j)Gn(j)=A()ej()式中式中A()=A1()A2()An()；()=1()+2()+n()在极坐标中绘制幅相频率特性在极坐标中绘制幅相频率特
7、性,要花较多时间，而在绘制对数幅频特性时要花较多时间，而在绘制对数幅频特性时,有有L()=20lgA()=20lgA1()+20lgA2()+20lgAn()=L1()+L2()+Ln()则则复复杂杂的的乘乘除除运运算算变变成成了了简简单单的的加加减减运运算算,这这样样,如如果果先先绘绘出出各各环环节节的的对对数数幅幅频频特特性性,然然后后进进行行加加减减,就就能能得得到到串串联联各各环环节节所所组组成成系系统统的的对对数数频频率特性，作图大为简化。率特性，作图大为简化。3.容易看出各环节的单独作用，便于对系统的分析设计。容易看出各环节的单独作用，便于对系统的分析设计。4.可可以以用用分分段段
8、的的直直线线(渐渐近近线线)来来代代替替典典型型环环节节的的准准确确的的对对数幅频特性，而且稍加修正就可得到精确的曲线。数幅频特性，而且稍加修正就可得到精确的曲线。5.可可根根据据实实测测数数据据绘绘制制出出波波德德图图，再再求求出出开开环环传传递递函函数数，便于采用物理实验的方法求取系统或元件的数学模型。便于采用物理实验的方法求取系统或元件的数学模型。5.3.2典型环节的波德图典型环节的波德图一般为简化作图过程，常用分段直线一般为简化作图过程，常用分段直线近似表示对数幅频特性曲线，这种处理近似表示对数幅频特性曲线，这种处理引起的误差一般在允许范围内。当需要引起的误差一般在允许范围内。当需要精
9、确曲线时，可以对分段直线进行简单精确曲线时，可以对分段直线进行简单的修正。的修正。一、比例环节一、比例环节比例环节的频率特性表达式为比例环节的频率特性表达式为G(j)=K 幅幅频频特特性性A()=K，则则比比例例环环节节的的对对数数幅频特性为幅频特性为L()=20lg|G(j)|=20lgK在对数频率特性上表现为平行于横轴的一条直线。若在对数频率特性上表现为平行于横轴的一条直线。若K=100,则则L()=20lg100=40分贝，如图分贝，如图6.5所示。当所示。当K1时，该平行线位于时，该平行线位于0dB线之上；当线之上；当0K1时，该平行线位于时，该平行线位于0dB线之下；当线之下；当K=
10、1时，该平行时，该平行线与线与0dB线重合。线重合。比例环节的相频特性仍为比例环节的相频特性仍为()=0,与与 无关，为相频特性图的横轴无关，为相频特性图的横轴,如如图图5-29所示。所示。K的变化只影响对数幅频特性曲线的升降，不改变其形状与对数相频特的变化只影响对数幅频特性曲线的升降，不改变其形状与对数相频特性。性。二、积分环节二、积分环节积分环节的频率特性为积分环节的频率特性为幅频特性幅频特性为为A()=1/其对数幅频特性为其对数幅频特性为L()=20lgA()=20lg(1/)=-20lg 绘出对数幅频特性曲线上的几个点：绘出对数幅频特性曲线上的几个点：当当=0.1时时,L(0.1)=+
11、20dB；当当=1时时,L(1)=0dB；当当=10时时,L(10)=-20dB。频率每增加频率每增加10倍，幅频特性下降倍，幅频特性下降20dB，故积分环节的对数幅频特性是一条斜率，故积分环节的对数幅频特性是一条斜率为为-20dB/dec的斜线的斜线,并且在并且在=1这一点穿过这一点穿过0dB线。实际上由于线。实际上由于lglg相当于自变量，相当于自变量，从对数幅频特性的表达式可以直接看出从对数幅频特性的表达式可以直接看出，L L()跟随跟随lg 变化，二者之间的函数关系是均变化，二者之间的函数关系是均匀线性的，斜率为匀线性的，斜率为-20dB/dec-20dB/dec。积分环节的对数相频特
12、性为积分环节的对数相频特性为 ()=-90。它它与频率无关与频率无关,在在00 的频率范围内的频率范围内,为平行于横轴的一条直线为平行于横轴的一条直线,如图如图5-305-30所示所示。当积分环节的比例系数为当积分环节的比例系数为K时，即频率特性为时，即频率特性为则对数幅频特性为则对数幅频特性为L()=20lgA()=20lg(K/)=20lg K-20lg 相当于整体斜线高度上升相当于整体斜线高度上升20lg K，K的变化只影响的变化只影响对数幅频特性曲线的升降，不改变原有形状与对数对数幅频特性曲线的升降，不改变原有形状与对数相频特性。此时相频特性。此时L(1)=20lg K，对数频率特性曲
13、线对数频率特性曲线在在=K这一点穿过这一点穿过0dB线。线。与与积积分分环环节节类类似似，L()跟跟随随lg 变变化化，二二者者之之间间的的函函数数关关系系是是均均匀匀线线性性的的，斜斜率率为为20dB/dec。频频率率每每增增加加10倍倍，幅幅频频特特性性上上升升20dB。理理想想微微分分环环节节的的对对数数幅幅频频特性为一条斜率为特性为一条斜率为+20dB/十倍频的直线十倍频的直线,它它在在=1处处穿穿过过零零分分贝贝线线,如如图图5-31所所示示。若若K值值变变化化将将使使对对数数幅幅频频特特性性曲曲线线上上升升（K1）或下降（或下降（0K1）。）。理想微分环节的相频特性为理想微分环节的
14、相频特性为()=90 在在0 的范围内的范围内,它是平行于横轴的一条直线。它是平行于横轴的一条直线。积积分分环环节节与与理理想想微微分分环环节节的的对对数数幅幅频频特特性性相相比比较较，只只相相差差正正负负号号，二二者者以以 轴轴为为基基准，互为镜象；同理，二者的相频特性互以准，互为镜象；同理，二者的相频特性互以 轴为镜象。轴为镜象。三、微分环节三、微分环节理想微分环节的频率特性为理想微分环节的频率特性为G(j)=j 幅频特性为幅频特性为A()=，对数幅频特性为对数幅频特性为L()=20lgA()=20lg 四、惯性环节四、惯性环节惯性环节的频率特为惯性环节的频率特为幅频特性幅频特性A()=故
15、对数幅频特性为故对数幅频特性为 在在时时间间常常数数T已已知知时时，可可以以在在 从从0 0变变化化到到的的范范围围内内，逐逐点点求求出出L L()值值，从从而而绘绘制制出出精精确确的的对对数数幅幅频频特特性性曲曲线线，但但十十分分费费时时。在在工工程程中中，一一般般采采用用渐渐近近线线近近似的方法，这已经满足大多数情况下的要求。可以分段讨论如下。似的方法，这已经满足大多数情况下的要求。可以分段讨论如下。1.低频段低频段在在T 1(或或 1(或或 1/T)的区段的区段,可以近似地认为可以近似地认为L()为因变量，为因变量，lg 为自变量，因此对数频率特性曲线是一条斜线为自变量，因此对数频率特性
16、曲线是一条斜线,斜率为斜率为-20dB/dec,当频率变化当频率变化10倍频时倍频时,L()变化变化-20dB，如图，如图5-32，这称为高频渐近线。它与低频渐近线的交点为，这称为高频渐近线。它与低频渐近线的交点为 T=1/T。高。高频渐近线和低频渐近线的交点频率频渐近线和低频渐近线的交点频率 T=1/T称为转折频率，转折频率称为转折频率，转折频率是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。渐渐近近特特性性和和准准确确特特性性相相比比,存存在在误误差差:越越靠靠近近转转折折频频率率,误误差差越越大大，如如在转折频率这一点在转折频率这一点,误差最大
17、，精确值为误差最大，精确值为L(=1/T)=-20lg21/2=-3dB这这说说明明,在在转转折折频频率率处处,精精确确值值应应为为用用渐渐近近线线绘绘制制的的对对数数幅幅值值减减去去3dB。为为简简化化对对数数频频率率特特性性曲曲线线的的绘绘制制，常常常常使使用用渐渐近近对对数数幅幅频频特特性性曲曲线线（特特别别是是在在初初步步设设计计阶阶段段）。同同时时，如如需需由由渐渐近近对对数数幅幅频频特特性性曲曲线线获获取取精精确确曲曲线线，只只须须分分别别在在低低于于或或高高于于转转折折频频率率的的一一个个十十倍倍频频程程范范围围内内对对渐渐近近对对数数幅幅频频特特性性曲曲线线进进行行修修正正就足
18、够了。就足够了。对数相频特性为对数相频特性为()=-arctanT。为了近似绘制相频特性为了近似绘制相频特性,选择确定以下几个点，见表选择确定以下几个点，见表5-6。同同时时，由由于于惯惯性性环环节节的的相相位位与与频频率率呈呈反反正正切切函函数数关关系系，所所以以，对对数数相相频频特特性性曲曲线线将将对对应应于于=1/T及及()=-45这这一一点点对对称称，如如图图所所示示，可可以以清清楚楚地地看看出出在在整整个个频频率率范范围围内内，()呈呈滞滞后后持持续续增增加加的的趋势，极限为趋势，极限为-90。当当惯惯性性环环节节的的时时间间常常数数T T改改变变时时，其其转转折折频频率率1/T1/
19、T将将在在BodeBode图图的的横横轴轴上上向向左左或或向向右右移移动动。与与此此同同时时，对对数数幅幅频频特特性性及及对对数数相相频频特特性性曲曲线线也也将将随随之之向向左左或或向向右右移移动，但它们的形状保持不变。动，但它们的形状保持不变。五、一阶微分环节五、一阶微分环节一阶微分环节的频率特性为一阶微分环节的频率特性为其幅频特性为其幅频特性为对数幅频特性为对数幅频特性为对数相频特性为对数相频特性为()=arctan()按照与惯性环节相似的作图方法按照与惯性环节相似的作图方法,可以得到图可以得到图5-34所示对数频率特性。所示对数频率特性。1.低频段低频段在在T 1(或或 1(或或 1/T
20、)的的区区段段,可可以近似地认为以近似地认为高高频频渐渐近近线线是是一一条条斜斜线线,斜斜率率为为20dB/dec,当当频频率率变变化化10倍倍频频时时,L()变变化化20dB。转转折折频频率率为为 T=1/T。可知可知,一阶微分环节的对数幅频特性和相频特性与惯性环节的相应特性互以横轴一阶微分环节的对数幅频特性和相频特性与惯性环节的相应特性互以横轴为镜像。精确曲线的修正方法也与惯性环节相同。但需要注意到修正值的符号为镜像。精确曲线的修正方法也与惯性环节相同。但需要注意到修正值的符号相反。如转折频率处相反。如转折频率处 T对应的精确值是对应的精确值是L（T）=0+3=3dB。六、二阶振荡环节六、
21、二阶振荡环节振荡环节的频率特性为振荡环节的频率特性为幅频特性为幅频特性为对数幅频特性为对数幅频特性为1.低频段低频段T 1(或或 1(或或 1/T)时时,并考虑到并考虑到（0 1），有），有L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT-40lg dB这说明高频段是一条斜率为这说明高频段是一条斜率为-40dB/dec的斜线的斜线,称为高频渐近线。称为高频渐近线。T=1/T为低频渐近线与高频渐近线交点处的横坐标，称为转折频率，也就是为低频渐近线与高频渐近线交点处的横坐标，称为转折频率，也就是环节的无阻尼自然振荡频率环节的无阻尼自然振荡频率 n。振荡环节对数幅频特性渐近线见图。振荡环节对
22、数幅频特性渐近线见图5-35。在在 T=1/T附附近近,用用渐渐近近线线得得到到的的对对数数幅幅频频特特性性存存在在较较大大误误差，近似值为差，近似值为L(T)=20lg1=0而准确值为而准确值为L(T)=20lg1/(2)只在只在=0.5时时,二者相等。在二者相等。在 不同时不同时,精确曲线如图精确曲线如图5-36所示。所示。当当0.707时，可以明显地看时，可以明显地看出振荡环节出现了谐振。而且出振荡环节出现了谐振。而且越小，谐振峰值越小，谐振峰值Mr越大，谐越大，谐振角频率振角频率r越接近于转折频率越接近于转折频率 T（无阻尼自然振荡频率无阻尼自然振荡频率 n）。）。图图5-37二阶系统
23、渐近线的修正曲线二阶系统渐近线的修正曲线由由表表5-7可可见见，当当0407时时，误误差差小小于于3分分贝贝，这这时时可可以以不不对对渐渐近近线线进进行行修修正正；但但当当0.7，误误差差很很大大，必必须须对对渐渐近近线线进进行行修修正正。在在转转折折频频率率附附近近的的修修正曲线见图正曲线见图5-37。振荡环节的对数相频特性为振荡环节的对数相频特性为可知，当可知，当=0时，时，()=0；=1/T时，时，()=-90；时，时，()-180。与惯性环节相似，振荡环节的对数相频与惯性环节相似，振荡环节的对数相频特性曲线将对应于特性曲线将对应于=1/T及及()（）=-90这一点斜对称。振荡这一点斜对
24、称。振荡环节的对数相频特性既是环节的对数相频特性既是的函数，又的函数，又是是的函数。随阻尼比的函数。随阻尼比不同，对数相频不同，对数相频特性在转折频率附近的变化速度也不同。特性在转折频率附近的变化速度也不同。越小，相频特性在转折频率附近的变越小，相频特性在转折频率附近的变化速度越大，而在远离转折频率处的变化速度越大，而在远离转折频率处的变化速度越小。化速度越小。当振荡环节的时间常数当振荡环节的时间常数T改变时，其转折频率改变时，其转折频率1/T将在将在Bode图的横轴上向左或向图的横轴上向左或向右移动。与此同时，对数幅频特性及对数相频特性曲线也将随之向左或向右移动，右移动。与此同时，对数幅频特
25、性及对数相频特性曲线也将随之向左或向右移动，但它们的形状保持不变。但它们的形状保持不变。八、延迟环节八、延迟环节延迟环节的频率特性为延迟环节的频率特性为G(j)=e-j幅频特性为幅频特性为A()=1对数幅频特性为对数幅频特性为L()=20lgA()=0dB对数幅频特性对数幅频特性L()为一条与横轴重合的直线，如为一条与横轴重合的直线，如图所示。图所示。对数相频特性为对数相频特性为()=-，单位为弧度（单位为弧度（rad）。）。又有又有考虑到波德图是以考虑到波德图是以lg 为自变量，所以有为自变量，所以有因此，因此，()是呈指数规律下降的曲线，是呈指数规律下降的曲线，随随增加而滞后增加而滞后无限
26、无限增加，增加，延迟环节的对数相频特性示于图。相关相位见表延迟环节的对数相频特性示于图。相关相位见表5-8。可可见见，延延迟迟时时间间 越越大大，在在较较低低频频率率 处处所所引引起起的的相相位位滞滞后后也也越越大大。从从后后面面的的分分析析可可以以得得出出，延延迟迟环环节节导导致致的的相相位位滞滞后后对对闭闭环环系系统统的的稳定性不利。稳定性不利。5.3.3开环波德图的绘制开环波德图的绘制绘绘制制系系统统的的开开环环对对数数幅幅频频特特性性可可先先绘绘出出渐渐近近线线，再再经经过过简简单单的的修正得到精确的曲线。修正得到精确的曲线。而而求求渐渐近近线线时时可可先先绘绘出出构构成成系系统统的的
27、各各串串联联典典型型环环节节的的对对数数幅幅频频特特性性的的渐渐近近线线，再再由由各各环环节节的的对对数数幅幅频频特特性性的的纵纵坐坐标标值值相相加加而而得得到。到。绘绘制制开开环环系系统统的的对对数数相相频频特特性性可可根根据据其其表表达达式式计计算算、描描点点而而得得到，也可以由各环节的相频特性相加而得。到，也可以由各环节的相频特性相加而得。实实际际上上，与与开开环环奈奈氏氏图图的的绘绘制制相相同同，当当系系统统全全由由除除延延迟迟环环节节以以外外的的典典型型环环节节构构成成时时(开开环环传传递递函函数数全全为为左左极极点点与与左左零零点点),开开环环波波德德图的绘制也具有一定的规律，可以
28、大大简化曲线的绘制过程。图的绘制也具有一定的规律，可以大大简化曲线的绘制过程。一、基本规律一、基本规律1.由由于于系系统统开开环环幅幅频频特特性性的的渐渐近近线线是是由由各各典典型型环环节节的的对对数数幅幅频频特特性性叠叠加加而而成成，而而直直线线叠叠加加就就是是斜斜率率相相加加，所所以以L()的的渐渐近近线线必必为为由由不不同同斜斜率率的的线线段段组组成成的的折折线。线。2.低频渐近线（及其延长线）的确定低频渐近线（及其延长线）的确定由由前前面面奈奈氏氏图图的的分分析析可可知知,Gk（j）的低频段表达式为的低频段表达式为对数频率特性的低频渐近线表达式为对数频率特性的低频渐近线表达式为低频段为
29、一条斜率为低频段为一条斜率为-20vdB/dec的斜线。同时的斜线。同时，低频渐近线（及其延，低频渐近线（及其延长线）上在长线）上在=1时时,有有L(1)=20lgK，如图，如图5-40所示。所示。并有并有()=-v90，可见低频段的对数幅频特性与相频特性均与积分环，可见低频段的对数幅频特性与相频特性均与积分环节的个数节的个数v有关。有关。3.转折频率及转折后斜率变化量的确定转折频率及转折后斜率变化量的确定低低频频段段只只与与积积分分环环节节的的个个数数v及及开开环环传传递递系系K有有关关，而而其其他他典典型型环环节节的影响是在各自的转折频率处使的影响是在各自的转折频率处使L()的斜率发生相应
30、的变化。的斜率发生相应的变化。在惯性环节在惯性环节的转折频率的转折频率1/T处，斜率处，斜率20dB/dec；在一阶微分环节在一阶微分环节G(s)=(s+1)的转折频率的转折频率1/处，斜率处，斜率20dB/dec；在振荡环节在振荡环节的转折频率的转折频率1/T处，斜率处，斜率40dB/dec4.最终斜率与最终相位滞后与最终斜率与最终相位滞后与n-m的关系的关系当当 时时,由于由于nm，所以高频段的近似表达式为，所以高频段的近似表达式为对数频率特性的高频渐近线表达式为对数频率特性的高频渐近线表达式为高频段为一条斜率为高频段为一条斜率为-20（n-m）dB/dec的斜线。的斜线。并有并有()=-
31、（n-m）90，说明高频段的对数幅频特性与相，说明高频段的对数幅频特性与相频特性均与（频特性均与（n-m）有关。有关。二、绘制步骤二、绘制步骤利利用用以以上上规规律律，可可以以从从低低频频到到高高频频，将将L()整整条条曲曲线线一一次次画画出出，步骤如下：步骤如下：1开开环环传传递递函函数数写写成成标标准准的的时时间间常常数数表表达达式式，确确定定各各典典型型环环节节的的转转折频率。折频率。2选选定定Bode图图坐坐标标系系所所需需频频率率范范围围，一一般般最最低低频频率率为为系系统统最最低低转转折折频频率率的的1/10左左右右，而而最最高高频频率率为为最最高高转转折折频频率率的的10倍倍左左
32、右右。确确定坐标比例尺，由小到大标注各转折频率。定坐标比例尺，由小到大标注各转折频率。3确确定定低低频频渐渐近近线线（由由积积分分环环节节个个数数v与与开开环环传传递递系系数数K决决定定），找找到到 横横 坐坐 标标 为为=1、纵纵 坐坐 标标 为为 20lgK的的 点点，过过 该该 点点 作作 斜斜 率率 为为-20vdB/dec的斜线。的斜线。4.由由低低频频向向高高频频延延伸伸，每每到到一一个个转转折折频频率率,斜斜率率根根据据具具体体环环节节作作相相应应的改变，最终斜率为的改变，最终斜率为-20（n-m）dB/dec。5如如有有必必要要，可可对对分分段段直直线线进进行行修修正正，以以得
33、得到到精精确确的的对对数数幅幅频频特特性性，其其方方法法与与典典型型环环节节的的修修正正方方法法相相同同。通通常常只只需需修修正正各各转转折折频频率率处处以以及及转转折频率的二倍频和折频率的二倍频和1/2倍频处的幅值就可以了。倍频处的幅值就可以了。对对于于惯惯性性环环节节与与一一阶阶微微分分环环节节,在在转转折折频频率率处处的的修修正正值值为为 3dB;在在转转折折频率的二倍频和频率的二倍频和1/2倍频处的修正值为倍频处的修正值为 1dB。对对于于二二阶阶振振荡荡环环节节,其其幅幅值值示示于于图图5-37,它它们们是是阻阻尼尼比比的的函函数数,具具体体可可参参考前面的内容。考前面的内容。系统开
34、环对数幅频特性系统开环对数幅频特性L()通过通过0分贝线分贝线,即即L(c)=0或或A(c)=1时时的的频频率率 c称称为为幅幅值值穿穿越越频频率率。幅幅值值穿穿越越频频率率 c是是分分析析与与设设计计时时的的重重要要参数。参数。6在在对对数数相相频频特特性性图图上上，分分别别画画出出各各典典型型环环节节的的对对数数相相频频特特性性曲曲线线（惯惯性性环环节节、比比例例微微分分环环节节、振振荡荡环环节节和和二二阶阶微微分分环环节节的的对对数数相相频频特特性性曲曲线线用用模模型型板板画画更更方方便便），将将各各典典型型环环节节的的对对数数相相频频特特性性曲曲线线沿沿纵纵轴轴方方向向迭迭加加，便便可
35、可得得到到系系统统的的对对数数相相频频特特性性曲曲线线。也也可可求求出出()的的表表达达式式，逐逐点点描描绘绘。低低频频时时有有()=-v(90)，最终相位为最终相位为()=-(n-m)90。7.若系统串联有延迟环节，不影响系统的开环对数幅频特性，若系统串联有延迟环节，不影响系统的开环对数幅频特性，只影响系统的对数相频特性，则可以求出相频特性的表达式，直只影响系统的对数相频特性，则可以求出相频特性的表达式，直接描点绘制对数相频特性曲线。接描点绘制对数相频特性曲线。例例5-2：设某系统的开环频率特性如下，绘制开环波德图：设某系统的开环频率特性如下，绘制开环波德图已知，系统由放大、比例微分、积分、
36、两个惯性环节和一个振荡环节组成。已知，系统由放大、比例微分、积分、两个惯性环节和一个振荡环节组成。1)画低频段。画低频段。由系统的开环频率特性知由系统的开环频率特性知k=10，v=1。一般将放大和积分环节统一考虑，因为一般将放大和积分环节统一考虑，因为v=1，所以起始段的斜率为，所以起始段的斜率为-20dB/dec。在。在=1处，起始段的高度为处，起始段的高度为2)系统各环节的转折频率由小到大为：系统各环节的转折频率由小到大为：经过各个转折频率斜率变化情况：经过各个转折频率斜率变化情况：惯性环节惯性环节一阶微分一阶微分惯性环节惯性环节振荡环节振荡环节分分析析对对数数幅幅频频特特性性可可见见，系
37、系统统L()由由5段段折折线线构构成成，而而且且在在 2与与 3之之间间穿过穿过0dB线。线。曲曲线线穿穿过过0dB线线时时所所对对应应的的频频率率称称为为幅幅值值穿穿越越频频率率。幅幅值值穿穿越越频频率率 c可可以以通通过过坐坐标标系系直直接接读读出出，也可根据简单的计算求出。也可根据简单的计算求出。1.由低频渐近线可求得由低频渐近线可求得L（1）=L（1.25）=20lgK-20lg1.25=18.1（dB）2.由于由于 1点与点与 2点点位于同一条斜线，斜率为位于同一条斜线，斜率为-40dB/dec，则，则L（2）可如下求得可如下求得求出求出L（2.5）=6.1（dB）3.同理，同理，c
38、可如下求取可如下求取求出求出 c=5rad/s=5rad/s 由于振荡环节的阻尼比为由于振荡环节的阻尼比为=0.1，因此，渐近线在振荡环节的转折频率处有较大的误差，应该加以修正。因此，渐近线在振荡环节的转折频率处有较大的误差，应该加以修正。4)根据开环系统对数相频特性的表达式进行计算。（rad/s）00.51.01.524681020()（）-90-105-116-122-126-137-146-154-162-315-360对于相频特性曲线，主要对于相频特性曲线，主要了解其大致趋向。了解其大致趋向。幅值穿越频率幅值穿越频率 c处的相位十处的相位十分重要，本例中分重要，本例中=c=5时的相时的
39、相位为位为(c)=-141（）1.如图所示，在低频如图所示，在低频区的渐近线斜率为区的渐近线斜率为-20dB/dec,相位起点约为相位起点约为-90。2.在频率在频率 1附近，附近，L()斜率减小到斜率减小到-40dB/dec，则相位呈减，则相位呈减小的趋势；而在频率小的趋势；而在频率 2附附近，微分环节的作用使近，微分环节的作用使()相位减小的趋势比较相位减小的趋势比较平缓。平缓。3.在频率在频率 4附近，附近，L()从从-40dB/dec斜率斜率减小到减小到-80dB/dec；而；而()相位也急剧下降，最相位也急剧下降，最大滞后为大滞后为-360。5.3.4最小相位系统最小相位系统一、基本
40、概念一、基本概念控控制制系系统统的的开开环环传传递递函函数数一一般般是是关关于于s的的有有理理真真分分式式，系系统统的的性性质质是是由由开开环环传传递递函函数数的的零零点点与与极极点点的的性性质质决决定定的的。根根据据零零极极点点的的不不同同，一般分为以下两种系统一般分为以下两种系统1)最最小小相相位位系系统统：系系统统的的传传递递函函数数的的所所有有极极点点、零零点点均均位位于于s左左半平面。半平面。2)非非最最小小相相位位系系统统：系系统统传传递递函函数数有有开开环环零零点点或或极极点点位位于于s右右半半平面。平面。“最最小小相相位位”这这一一概概念念来来源源于于网网络络理理论论。它它是是
41、指指具具有有相相同同幅幅频频特特性性的的一一些些环环节节,其其中中相相角角位位移移有有最最小小可可能能值值的的,称称为为最最小小相相位位环环节节;反反之之,其其中中相相角角位位移移大大于于最最小小可可能能值值的的环环节节称称为为非非最最小小相相位位环环节节。下面以一个简单例子来说明最小相位系统的慨念。下面以一个简单例子来说明最小相位系统的慨念。有两个系统有两个系统,其开环传递函数分别为其开环传递函数分别为两者的对数幅频特性是相同的，两者的对数幅频特性是相同的，而相频特性则有而相频特性则有 1()=arctan -arctanT 2()=-arctan -arctanT 根据绘制规律绘出两者的波
42、德图如图根据绘制规律绘出两者的波德图如图5-42所示。所示。从传递函数看从传递函数看,这二者均有相同的储能元件数这二者均有相同的储能元件数,但是由于但是由于G2(s)的零点在右半的零点在右半s平面平面,它产生了附加的相位滞后位移它产生了附加的相位滞后位移,因而因而 G1(s)具有较小的相位变化范围（具有较小的相位变化范围（0，-90）,为最小相位环节；而为最小相位环节；而G2(s)为非最小相位环节，相位变化范围较大（为非最小相位环节，相位变化范围较大（0，-180）。）。从从波波德德图图上上看看,最最小小相相位位系系统统为为具具有有相相同同幅幅频频特特性性的的许许多多系系统统中其相移范围为最小
43、可能值的系统。中其相移范围为最小可能值的系统。可可以以推推出出如如下下结结论论：若若系系统统只只包包含含除除延延迟迟环环节节之之外外的的典典型型环环节节，并并且且无无局局部部正正反反馈馈回回路路时时，开开环环传传递递函函数数的的分分子子、分分母母必必无无正实根，该系统必定为最小相位系统。原因为：正实根，该系统必定为最小相位系统。原因为：由于延迟环节按幂级数分解之后，其各项系数有正负，由于延迟环节按幂级数分解之后，其各项系数有正负，因而必定有具有正实部的零点，所以延迟环节属于非最小相位系因而必定有具有正实部的零点，所以延迟环节属于非最小相位系统。统。同样，若系统有局部正反馈回路，则必有具有正实部
44、的开环极同样，若系统有局部正反馈回路，则必有具有正实部的开环极点。点。二、性质二、性质1.最最小小相相位位系系统统（或或环环节节）有有一一个个重重要要特特征征,这这就就是是:最最小小相相位位系系统统的的对对数数相相频频特特性性和和对对数数幅幅频频特特性性是是一一一一对对应应的的。也也就就是是说说，对对于于最最小小相相位位系系统统，一一条条对对数数幅幅频频特特性性只只有有一一条条对对数数相相频频特特性性与与之之对对应应，知知道道其其对对数数幅幅频频特特性性，也也就就知知道道其其对对数数相相频频特特性性。因因此此，利利用用Bode图图对对最最小小相相位位系系统统进进行行分分析析时时，往往往往只只分
45、分析析其其对对数幅频特性数幅频特性L()。2.最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势相同，即若相同，即若L()的斜率减小（或增大），则的斜率减小（或增大），则()的相位也相应地的相位也相应地减小（或增大）；如果在某一频率范围内减小（或增大）；如果在某一频率范围内,对数幅频特性对数幅频特性L()的的斜率保持不变斜率保持不变,则在这些范围内则在这些范围内,相位也几乎保持不变。相位也几乎保持不变。由前面的分析可知：由前面的分析可知：1）对数频率特性的低频渐近线为斜率为）对数频率特性的低频渐近线为斜率为-20vdB/dec的斜线。的斜线。(
46、)=-90v，低低频频段段的的对对数数幅幅频频特特性性与与相相频频特特性性均均与与积积分分环环节节的的个个数数v有关。有关。2）在在 时时,由由于于nm，所所以以高高频频渐渐近近线线为为斜斜率率为为-20（n-m）dB/dec的斜线。的斜线。()=-90（n-m），高频段的对数幅频特性与相频特性均与（，高频段的对数幅频特性与相频特性均与（n-m）有关。有关。最小相位系统的性质给出了一个重要的结论：最小相位系统的性质给出了一个重要的结论：对对于于最最小小相相位位系系统统，可可以以通通过过实实验验的的方方法法测测量量并并绘绘制制出出开开环环对对数数幅幅频频特特性性曲曲线线L()，就就可可以以唯唯一
47、一确确定定此此系系统统，推推出出相相应应的的()，写写出出其其开开环环传递函数。传递函数。5.3.5由实测波德图求传递函数由实测波德图求传递函数由由实实测测开开环环波波德德图图求求开开环环传传递递函函数数是是由由已已知知的的开开环环传传递递函函数数求求开开环环波德图的逆过程，方法有共同之处。步骤如下：波德图的逆过程，方法有共同之处。步骤如下：1.在在需需要要的的频频率率范范围围内内，给给被被测测系系统统输输入入不不同同频频率率的的正正弦弦信信号号，测测量量相相应应输输出出的的稳稳态态幅幅值值与与相相位位，作作出出对对数数幅幅频频特特性性与与相相频频特特性性曲曲线；线；2.若若幅幅频频特特性性曲
48、曲线线与与相相频频特特性性曲曲线线的的变变化化趋趋势势一一致致，则则该该系系统统为为最最小相位系统，可直接由幅频特性曲线求出传递函数；小相位系统，可直接由幅频特性曲线求出传递函数；3.根根据据对对数数幅幅频频特特性性曲曲线线，由由0、20、40dB/dec斜斜率率的的线线段段近近似，求出其渐近线；似，求出其渐近线；4.由低频段确定系统积分环节的个数由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数与开环传递系数K低低频频渐渐近近线线的的表表达达式式为为L()=20lgK-20vlg。可可首首先先由由低低频频段段的的斜斜率率确确定定v，再再由由低低频频段段上上的的一一个个具具体体点点的的坐坐标标确确
49、定定K，如如可可代代L(1)=20lgK；5.由由渐渐近近线线的的每每个个转转折折点点确确定定各各典典型型环环节节的的转转折折频频率率；并并由由渐渐近近线线在在转折点斜率的变化量确定串联的各典型环节。如转折点斜率的变化量确定串联的各典型环节。如若在转折频率处，斜率减小若在转折频率处，斜率减小20dB/dec，则必有惯性环节；，则必有惯性环节；若在转折频率处，斜率增加若在转折频率处，斜率增加20dB/dec，则必有一阶微分环节，则必有一阶微分环节G(s)=(s+1)；若在转折频率处，斜率减去若在转折频率处，斜率减去40dB/dec，则有振荡环节；，则有振荡环节；二阶系统的阻尼比二阶系统的阻尼比可
50、由谐振峰值的大小查表求取。可由谐振峰值的大小查表求取。例例5-6某某最最小小相相位位系系统统开开环环对对数数幅幅频频特特性性曲曲线线的的渐渐近近线线如如图图5-43所所示示，求此系统的开环传递函数。求此系统的开环传递函数。L()/)/（dBdB）/(rads-1)图图5-43最小相位系统开环对数幅频特性曲线的渐近线最小相位系统开环对数幅频特性曲线的渐近线解解：1.由由低低频频段段确确定定系系统统积积分分环环节节的的个个数数v与与开开环环传传递递系系数数K由由 于于 低低 频频 段段 的的 斜斜 率率 为为-20dB/dec，所所以以此此系系统统为为型型系系统统，v=1；将将低低频频段段上上的的