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1、自动控制原理 蒋大明第五章 频率法 频率法所研究的问题，仍然是控制系统的控制性能：稳定性，快速性和稳态精度。频率响应系统对正弦输入信号的稳态响应。频率特性频率响应与正弦输入信号之间的关系。频率特性是一种稳态响应特性，但它不仅反映系统的稳态性能，而且可以用来研究系统的暂态性能.自动控制原理 蒋大明第一节 频率特性输入正弦信号：e1=E1Sin wt在稳态下输出：e2=E2Sin(wt+)仍是正弦信号,频率不变,幅值和相角发生变化.变化与w有关.1/jwC 1写成矢量形式：e2=e1=e1R+1/jwC 1+jwRC e2 1-=与电路参数RC有关、与输入电压的频率有关 e1 1+jwRC G(j
2、w)=1/(1+jwRC)频率特性线性系统或环节在正弦函数作用下稳态输出与输入之比。自动控制原理 蒋大明频率特性n 幅相特性:G(jw)=A(w)ej(w)n 幅频特性：A(w)=|G(jw)|A(w)=|e2/e1|=1/1+(wRC)21/2n 相频特性：(w)=G(jw)(w)=2(w)-1(w)=-tg-1(RCw)n 实虚特性:G(jw)=P(w)+j Q(w)n 实频特性 P(w)=ReG(jw)n 虚频特性 Q(w)=ImG(jw)自动控制原理 蒋大明幅相特性与传递函数之间的关系频率特性-传递函数?b0Sm+bm C(S)=G(S)R(S)=R(S)a0Sn+an r(t)=Ar
3、sim wt，R(S)=Arw/(S2+w2)b0Sm+bm ArwC(S)=*a0Sn+an S2+w2 Ci B D=+i=1 S-Si S+jw S-jw 式中：Si 特征根.Ci，B，D待定系数自动控制原理 蒋大明幅相特性与传递函数之间的关系 C(t)=CieSit+Be-jwt+Dejwt 对于稳定的系统，特征根Si具有负实部，C(t)的第一部分瞬态分量CieSit将随时间t的延续而逐渐消失，C(t)的稳态输出为：CS(t)=Be-jwt+Dejwt 其中：B=G(S)*Arw/(S2+w2)(S+jw)|S=-jw=G(-jw)Arw/(S-jw)|S=-jw=|G(jw)|e-j
4、G(jw）Ar/(-2j)=|G(jw)|Ar e-jG(jw-/2)/2 同理：D=|G(jw)|Ar e jG(jw-/2)/2自动控制原理 蒋大明幅相特性与传递函数之间的关系CS(t)=|G(jw)|/2Are-jG(jw-/2)+|G(jw)|/2 ArejG(jw-/2)=|G(jw)|/2 Are-jG(jw-/2)+ejG(jw-/2)=|G(jw)|Arcoswt+G(jw)-/2=|G(jw)|Arsinwt+G(jw)=Acsin(wt+）系统的稳态输出CS(t)是与输入同频的正弦 振幅：Ac=|G(jw)|Ar 相位:=G(jw)自动控制原理 蒋大明幅相特性与传递函数之间
5、的关系输出输入的振幅比（幅频特性）：A(w)=Ac/Ar=|G(jw)|=G(S)|S=jw输出输入的相位差（相频特性）：(w)=-0=G(jw)=G(S)|S=jw所以：G(jw)=G(S)|S=jw频率特性 传递函数 证毕自动控制原理 蒋大明一、幅相频率特性(Nyquist曲线)G(jw)=A(w)e j(w)矢量的长度=A(w)相对于极坐标轴的转角=(w)当w由0到变化时，G(jw)矢量的终端描绘出一条曲线称为Nyquist曲线。一条曲线,同时表示幅频和相频特性-幅相频率特性.自动控制原理 蒋大明幅相频率特性绘制方法:1.G(jw)=A(w)e j(w)计算幅值,幅角相对简单,但计算幅角
6、时有时会遇到多值性的问题.2.G(jw)=P(w)+jQ(w)计算实部,虚部相对复杂.自动控制原理 蒋大明二、对数频率特性（Bode图）通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形对数频率特，也称Bode图。G(jw)=A(w)e j(w)lg G(jw)=lg A(w)+j(w)lg e=lg A(w)+j0.434(w)两张图：对数幅频特性,对数相频特性自动控制原理 蒋大明对数频率特性对数幅频特性图纵坐标：L(w)=20lg|G(jw)|=20 lg A(w)单位：分贝(db)线性分度A(w)每变化10倍，L(w)变化20db。横坐标：w单位：1/S对数分度w每变化10倍，横坐标变化一个
7、单位长度。自动控制原理 蒋大明对数频率特性对数相频特性图 纵坐标：(w)=G(jw)单位：度 线性分度 横坐标：w 单位：1/S 对数分度 w每变化10倍，横坐标变化一个单位长度对数幅频特性+对数相频特性=对数频率特性（Bode图）自动控制原理 蒋大明对数频率特性 特点：1、对串联环节，变乘为加；2、有近似画法；3、高低频特性兼顾。自动控制原理 蒋大明第二节基本环节的频率特性一、比例环节 传递函数：G(S)=K 幅相频率特性：G(jw)=K=K+j 0自动控制原理 蒋大明比例环节对数频率特性：L(w)=20 lg A(w)=20 lg K(w)=0 K1，20lgK0db K1，20lg K0
8、db自动控制原理 蒋大明惯性环节传递函数：G(S)=K/(TS+1)幅相频率特性：G(jw)=K/(jwT+1)K=1时，G(jw)=P(w)+jQ(w)=1/(1+T2w2)-jTw/(1+T2w2)W Re Im 0 1 0 1/T 1/2-1/2 0 0自动控制原理 蒋大明惯性环节对数频率特性：对数幅频（近似画法）：L(w)=20 lg A(w)=-20lg(1+T2w2)1/2 低频段:w1/T，L(w)-20lg1=0db 高频段:w1/T，L(w)-20lgTw(直线)w=1/T，L(w)=-20lgTw=0 db(w=1/T处过横轴)w1=10/T，L(w1)=-20lgTw1=
9、-20lg10=-20 db 斜率：-20db/dec（每十倍频程-20db）转折频率：1/T对数相频：(w)=G(jw)=1/(1+jTw)=-tg-1Tw W（w）0 0 1/T-45-90自动控制原理 蒋大明惯性环节1/T处误差最大：误差=实际值-近似值=-20lg(1+T2w2)1/2w=1/T-0=-20 lg 21/2-0=-3 db自动控制原理 蒋大明积分环节传递函数：G(S)=1/S幅相频率特性：G(jw)=1/(jw)=0j(1/w)W Re Im 0 0-1 0-1 0 0自动控制原理 蒋大明积分环节对数频率特性：L(w)=20lg A(w)=-20lg w 直线w=1，L
10、(w)=0，（过横轴）斜率：-20db/dec(w)=-90(W)WW-20db/dec1/T00-90自动控制原理 蒋大明振荡环节传递函数：G(S)=Wn2/(S2+2WnS+Wn2)=1/(T2S2+2TS+1)标准形式 幅相频率特性：G(jw)=1/(1-T2w2+j2Tw)A(w)=1/(1-T2w2)2+(2Tw)21/2(w)=-tg-12Tw/(1-T2w2)W A(w)(w)0 1 01/T 1/(2)-90 0-180自动控制原理 蒋大明振荡环节对数频率特性：L(w)=20 lg A(w)=-20lg(1-T2w2)2+(2Tw)21/2 低频段：w1/T，L(w)-20lg
11、 1=0db高频段：w1/T，L(w)-20lgT2w2=-40lgTw 直线 斜率：-40db/dec(每十倍频程-40db)转折频率：w=1/T(w)=-tg-12Tw/(1-T2w2)自动控制原理 蒋大明振荡环节误差=实际值-近似值=-20lg(1-T2w2)2+(2Tw)21/2w=1/T-0=-20lg(2)db 误差除与w有关,还与有关.0.5 负误差 0.5 正误差令:dA(w)=0,可得峰值频率:wm=wn(1-2)1/2 0.707,无峰值频率 0.707,wmwn,转折频率前出现峰值.=0,wm=wn,信号频率(峰值频率)=自然振荡频率-共振.自动控制原理 蒋大明微分环节理
12、想微分环节 G(S)=S 是积分环节的倒数L2(w)=-L1(w)2(w)=-1(w)自动控制原理 蒋大明微分环节一阶微分环节 G(S)=TS+1 是惯性环节的倒数二阶微分环节 G(S)=T2S2+2TS+1 是振荡环节的倒数。自动控制原理 蒋大明一阶不稳定环节具有正实部特征根（即不稳定根）的环节-不稳定环节。传递函数:G(S)=1/(TS-1)频率特性:G(j)=1/(jT-1)幅频特性:与惯性环节相同 相频特性:与惯性环节不同实频特性:与惯性环节不同 虚频特性:与惯性环节相同自动控制原理 蒋大明一阶不稳定环节 当由0变化时，惯性环节的相频由0趋向于-90；相位角的绝对值小,称为最小相位环节
13、.一阶不稳定环节的相频则由-180趋向-90。相位角的绝对值大称为非最小相位环节.推广之，传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统）称为非最小相位环节（或系统），而传递函数中没有右极点、右零点的环节（或系统）则称为最小相位环节（或系统）。自动控制原理 蒋大明一阶不稳定环节 一阶不稳定环节的对数幅频特性与惯性环节的完全一样；相频则有所不同，是在-180至-90范围内变化.自动控制原理 蒋大明时滞环节传递函数：G(S)=e-S幅相频率特性：G(jw)=e-jw A(w)=1(w)=-w自动控制原理 蒋大明时滞环节对数频率特性：L(w)=20 lg A(w)=20lg 1=0(w)=-w（横坐标对数
14、分度，曲线）自动控制原理 蒋大明第三节 系统开环频率特性一、系统开环幅相频率特性1.简单系统常用的两种方法:GK(jw)=P(w)+jQ(w)2.无tg-1的多值性问题.GK(jw)=A(w)e j(w)3.较简单，可与对数特性兼容.自动控制原理 蒋大明开环幅相频率特性举例例1:试绘制某0型单位负反馈系统的开环幅相频率特性。GK(S)=K/(1+T1S)(1+T2S)解：GK(jw)=K/(1+jT1w)(1+jT2w)A(w)=K/(1+T12w2)1/2(1+T22w2)1/2(w)=-tg-1T1w-tg-1T2wW A(w)(w)0 K 01/T a-b 0-180自动控制原理 蒋大明
15、开环幅相频率特性举例例2:试绘制某 I 型单位负反馈系 统的开环幅相频率特性。GK(S)=K/S(1+TS)解：GK(jw)=K/jw(1+jTw)A(w)=K/w(1+T2w2)1/2(w)=-90-tg-1TwW A(w)(w)0-901/T KT/21/2-135 0-180自动控制原理 蒋大明2.复杂系统开环频率特性 复杂系统是由多个环节环节组成,若逐点计算绘图十分繁琐.工程上常用概略幅相曲线绘制法.(1).将开环传递函数按典型环节分解 K(T1S+1)K l GK(S)=-=-Gi(S)SV(T2S+1)(T2S2+2TS+1)SV i=1 式中：-开环增益 V-积分(微分)环节数
16、Gi(S)-除K/SV外的其它典型环节自动控制原理 蒋大明(2).确定幅相曲线的起点和终点A.起点 0(低频段),除比例,积分(微分)环节外,其它典型环节的幅相特性均为1.K GK(j0)=lim-0(j)V 0;V0 即微分环节 GK(j0)=K;V=0 即无微分,积分环节;V0 即有积分环节 GK(j0)=-90V;K 0-90V-180;K 0自动控制原理 蒋大明(2).确定幅相曲线的起点和终点B.终点(高频段),频率特性的幅值与分子分母多项式的阶次差(n-m)有关.GK(j)=0;nm K;n=m GK(j)=-90(n m);K 0-90(n m)-180;K 0 当nm时，幅相曲线
17、趋于原点,并按-90(nm)角与实轴或虚轴相切.自动控制原理 蒋大明(3).确定幅相曲线与负实轴的交点及中频段的其他特征点A.幅相曲线与负实轴的交点 令:Im GK(j)=0 或 GK(j)=(2K+1)解出,再代入Re GK(j)中,即得幅相曲线与负 实轴的交点.B.幅相曲线与虚轴的交点 令:Re GK(j)=0 解出,再代入Im GK(j)中,即得幅相曲线与虚 轴的交点.自动控制原理 蒋大明确定幅相曲线与负实轴的交点及中频段的其他特征点例:系统的开环频率特性如下,试绘制其幅相频率特性.10 GK(j)=-j(1+j 0.2)(1+j 0.05)解:此系统:m=0 n m=3 V=1 低频段
18、:0 时,GK(j)=-90 高频段:时,GK(j)=0-270自动控制原理 蒋大明确定幅相曲线与负实轴的交点及中频段的其他特征点中频段:令 Im GK(j)=0 解出=10 取=10 代入 Re GK(j10)=-0.4 即为幅相曲线与实轴的交点.再令Re GK(j)=0 解出=0 为幅相曲线的起点.曲线与虚轴交于无穷远处.-0.4 0ReIm自动控制原理 蒋大明二、系统开环对数频率特性的绘制开环传递函数由几个基本环节串联组成：GK(S)=G1(S)G2(S)Gn(S)A(w)e j(w)=A1(w)e j1(w)An(w)e jn(w)A(w)=A1(w)An(w)L(w)=20 lg A
19、(w)=20 lg A1(w)+20 lg A2(w)+20 lg An(w)自动控制原理 蒋大明系统开环对数频率特性的绘制L(w)=L1(w)+L2(w)+Ln(w)由串联基本环节的幅频特性相加(w)=1(w)+2(w)+n(w)由串联基本环节的相频特性相加自动控制原理 蒋大明例1:绘制系统开环对数频率特性GK(S)=10/(1+T1S)(1+T2S)解：GK(S)=101/(1+T1S)1/(1+T2S)系统开环传递函数由三个典型环节串联组成比例环节：10惯性环节：1/(1+T1S)惯性环节：1/(1+T2S)L(w)=20lg10-20lg(1+T12w2)1/2-20lg(1+T22w
20、2)1/2(w)=-tg-1T1w-tg-1T2w系统开环对数频率特性的绘制举例自动控制原理 蒋大明绘制近似对数幅频特性更简便的方法1确定低频段20lgK，纯微分(纯积分)2每遇一转折频率，改变一次斜率 惯性：增加-20db/dec 振荡：增加-40db/dec 一阶微分：增加+20db/dec 二阶微分：增加+40db/dec自动控制原理 蒋大明举例例:GK(S)=10*1/(1+T1S)*1/(1+T2S)低频段:20 lg10=20db 转折频率:1/T1 惯性-20db/dec 1/T2 惯性-20db/decL(W)2001/T11/T2自动控制原理 蒋大明例2：绘制系统开环对数频率
21、特性GK(S)=10/S(1+0.1S)解：L(w)=20lg1020lgw20lg(1+0.12w2)1/2(w)=-tg-10.1w-90低频段：比例20lg10=20db积分20lgw转折频率：1/0.1=10惯性-20db/dec举例自动控制原理 蒋大明举例例3：Bode图如图，求传递函数解：低频段:斜率=-20db/dec 积分 W=1时,L(W)0 比例 20 lgK=40db K=100转折频率：2-20db/dec 惯性 5+20db/dec 一阶微分 20-20db/dec 惯性 Gk(S)=(1/S)*(100)*1/1+(1/2)S*1+(1/5)S*1/1+(1/20)
22、S=800(S+5)/S(S+2)(S+20)自动控制原理 蒋大明第四节 用频率法分析控制系统的稳定性 闭环系统的稳定性，可以用系统的开环特性来判断。因为开环模型中包含了闭环的所有元部件，包含了所有环节的动态结构和参数。由于闭环系统的稳定性取决于闭环特征根的性质，因此用开环特性研究闭环的稳定性，首先应该明确开环特性与闭环特征式的关系。自动控制原理 蒋大明一、系统开环频率特性与闭环特征式的关系以单位负反馈系统为例 GB(S)=GK(S)/1+GK(S)设：GK(S)=M(S)/N(S)则：GB(S)=M(S)/N(S)/1+M(S)/N(S)=M(S)/N(S)+M(S)其中：N(S)开环特征式
23、 N(S)+M(S)闭环特征式取辅助函数：F(S)=1+GK(S)=N(S)+M(S)/N(S)=闭环特征式/开环特征式自动控制原理 蒋大明系统开环频率特性与闭环特征式的关系F(jw)=1+GK(jw)=N(jw)+M(jw)/N(jw)其中：GK(jw)开环频率特性 N(jw)+M(jw)闭环特征式 1+GK(jw)=N(jw)+M(jw)/N(jw)1+开环频率特性=闭环特征式/开环特征式自动控制原理 蒋大明二、Nyquist稳定判据 开环幅相频率特性闭环稳定性 当W由0到变化时，辅助向量函数1+GK(jw)在其复平面中的幅角增量为p角，则闭环系统稳定。1+GK(jw)=p w:0 其中：
24、p开环特征方程N(S)=0中，右根(实部为正 的根)的个数。自动控制原理 蒋大明Nyquist稳定判据证明1+GK(jw)=N(jw)+M(jw)/N(jw)*GK(S)=M(S)/N(S)因为M(S)的阶次不高于N(S)的阶次，所以*式分子分母同阶。可写成：1+GK(jw)=K(jw-Si)/(jw-Pi)Si闭环特征根 Pi开环特征根 K闭环和开环特征式最高阶次项系数之比 上式的幅角当W由0到变化时的增量为：1+GK(jw)=(jw Si)-(jw Pi)*自动控制原理 蒋大明Nyquist稳定判据证明1+GK(jw)=(jw Si)-(jw Pi)*设i为特征根（包括Si和Pi），分四种
25、情况：1 当i为负实根 当W由0到变化时,子项(jw i)的幅角增量为(jw-i)=(jw+|i|)=/2自动控制原理 蒋大明Nyquist稳定判据证明2 当i为正实根 当W由0到变化时,子项(jw i)的幅角增量为(jw-i)=(jw-|i|)=-/2自动控制原理 蒋大明Nyquist稳定判据证明3当i为负实部的共轭复根 ijwi jw(i+jwi)+jw(ijwi)=j(wwi)+|i|+j(w+wi)+|i|=(/2+)+(/2)=2/2 每个根的平均幅角增量为/2.自动控制原理 蒋大明Nyquist稳定判据证明4当i为正实部的共轭复根 ijwi jw(i+jwi)+jw(i-jwi)=
26、j(wwi)-|i|+j(w+wi)-|i|=-(/2+)(/2)=-2/2 每个根的平均幅角增量为-/2.自动控制原理 蒋大明Nyquist稳定判据证明 综合情况1,2,3,4，特征根(包括Si和Pi)实部为负，则子因式(jw-i)的幅角增量平均为/2；实部为正，则子因式的幅角平均增量为-/2。闭环系统稳定，必须使其 n个闭环特征根Si的实部均为负。故对闭环稳定系统，*式应为：1+GK(jw)=n/2-(n-p)/2-p/2=p其中：第一项n/2表示n个闭环特征根全部为负；第二项(n-p)/2表示(n-p)个开环特征根为负；第三项p/2表示p个开环特征根为正.证毕自动控制原理 蒋大明三、稳定
27、判据的推论推论1若系统是开环稳定的(最小相位系统)，p=0 则闭环稳定的条件为：1+GK(jw)=0自动控制原理 蒋大明稳定判据的推论推论2 1+GK(jw)平面的坐标原点=GK(jw)平面的(-1+j0)点 1+GK(jw)向量对其原点的转角相当于GK(jw)曲线对(-1，j0)点的转角。因此判据可改为：当W由0到变化时，开环幅相特性GK(jw)曲线绕(-1，j0)点转p角，则闭环稳定。若开环稳定(p=0)，则当W由0到变化时，GK(jw)曲线绕(-1，j0)点转角为零或曰不包围(-1，j0)点，则闭环稳定。自动控制原理 蒋大明稳定判据举例例：单位负反馈系统的开环幅相特性曲线分别如下，试判断
28、各闭环系统 的稳定性.解:自动控制原理 蒋大明四、对特殊情况(开环零根)的处理例1：GK(S)=K/S(TS+1)，试用乃氏判据判稳。解：GK(jw)=K/jw(jwT+1)A(w)=K/w(1+T2w2)1/2(w)=-90-tg-1Tw 开环零根(开环临界稳定)，p=？怎么应用乃氏判据?W A(w)(w)0-901/T KT/21/2-135 0-180自动控制原理 蒋大明对特殊情况(开环零根)的处理解决方案：将零根视为稳定根。但稳定根的子因式(jw-i)，当W由0到变化时，其幅角增量 平均为/2；而零根的子因式(jw-0)，当W由0到变化时，其幅角增量为0。为使二者一致，假设：零根的子因
29、式(jw-0)在w=0时从正实轴开始，以无穷小的半径转至虚轴,之后再随w的增加沿虚轴趋向无穷。即补充一个/2的小圆弧.则零根即可相当于稳定根。自动控制原理 蒋大明对特殊情况(开环零根)的处理 从G（jw）曲线看，jw在个G（jw）的分母上。无穷小半径无穷大半径，正转/2-转/2。相当于在w=0处给幅相曲线补充一个半径为无穷大，负转/2的大圆弧,之后再随w的增加按原曲线变化。本例中,视为P=0,当W由0到变化时，曲线不包围（-1，j0）点。系统稳定。自动控制原理 蒋大明举例例2：GK(S)=K/S2(TS+1)，试用乃氏判据判稳。解：GK(jw)=K/(jw)2(jwT+1)A(w)=K/w2(
30、1+T2w2)1/2(w)=-180-tg-1Tw 两个零根，补充半径无穷大，负转2/2=的大圆弧。P=0 当W由0到变化时，曲线包围（-1，j0）点.系统不稳定。W A(w)(w)0-1801/T KT/21/2-225 0-270自动控制原理 蒋大明五、用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性幅相特性与对数特性之间的关系1 幅相特性中的单位圆对数特性中的0dB线 A(w)=1 L(w)=20lg A(w)=0 db自动控制原理 蒋大明用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性2幅相特性中的负实轴对数特性中的-180线(w)=-180(w)=-180自动控制原理 蒋大明用开环对数频率特性判断闭环系
31、统的稳定性闭环稳定系统（开环也稳定）(wg)=-180 wg的定义 A(wg)1 稳定条件 A(wc)=1 wc的定义(wc)-180 稳定条件自动控制原理 蒋大明用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性在对应的对数特性上：(wg)=-180 wg的定义 L(wg)0 db 稳定条件 L(wc)=0 db wc的定义(wc)-180 稳定条件（在-180线以上）自动控制原理 蒋大明用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性不稳定系统（开环是稳定的）(wg)=-180 wg的定义 A(wg)1 不稳定条件 A(wc)=1 wc的定义(wc)-180 不稳定条件自动控制原理 蒋大明用开环对数频率特性判断
32、闭环系统的稳定性在对应的对数特性上：(wg)=-180 wg的定义 L(wg)0 db 不稳定条件 L(wc)=0 db wc的定义(wc)-180 不稳定条件自动控制原理 蒋大明闭环稳定条件1对开环是稳定的系统(最小相位系统，p=0)(w)=-180时，L(w)0 db 或写成:L(wg)0 db L(w)=0 db时，(w)-180 或写成:(wc)-180自动控制原理 蒋大明闭环稳定条件2对开环是不稳定的系统(非最小相位系统，p0)在L(w)0的范围内，(w)曲线对-180线的正、负穿越次数之差为p/2.当有多个wc时，选用最大的一个。正穿越：自下而上。负穿越：自上而下。自动控制原理 蒋
33、大明举例例：系统的开环传递函数为：GK(S)=K/S(TS+1)试用Bode图判断系统在闭环时 的稳定性。解：1.画Bode图.2.p=03.(wc)-1804.系统闭环稳定。自动控制原理 蒋大明六.控制系统的相对稳定性 相对稳定性衡量稳定的程度。最小相位系统稳定与否取决于GK(jw)曲线是否包围(-1，j0)点，所以GK(jw)曲线离(-1，j0)点越远，稳定的程度越高。自动控制原理 蒋大明1、相角裕度 在|GK(jw)|=1的频率Wc上，使闭环系统达到临界状态GK(jw)曲线通过(-1,j0)点所需附加的相移量称为相角裕度。=180+GK(jwC)0 稳定=0 临界稳定 0 不稳定自动控制
34、原理 蒋大明2、幅值裕度 在GK(jw)=-180的频率Wg上，|GK(jwg)|的倒数称为幅值裕度。Kg=1/|GK(jwg)|用db表示时：20 lg Kg=-20lg|GK(jwg)|Kg1(20 lg Kg0)稳定Kg=1(20 lg Kg=0)临界稳定Kg1(20 lg Kg0)不稳定 对于复杂的系统，必须:0，Kg1都成立，系统才稳定。自动控制原理 蒋大明举例例1:系统如图 试求当 K=10 和 K=100 时的幅值裕度和相角裕度。自动控制原理 蒋大明举例解：图解法 将GK(S)化成标准形式 GK(S)=(1/5)K/S(S+1)(1/5)S+1 当 K=10 时 GK(S)=2/
35、S(S+1)(1/5)S+1 20 lg2 6 db 由图中可得：20 Kg8 db 系统稳定。自动控制原理 蒋大明举例当K=100时GK(S)=20/S(S+1)(1/5)S+1 20 lg 20 26 db由图中可得：-40 Kg-12 db系统不稳定。自动控制原理 蒋大明举例计算法 计算思路：令：|GK(jw)|=1,解得wC 相角裕度：=180+GK(jwC)令:Im GK(w)=0,解得wg 幅值裕度：Kg=-20 lg|GK(jwg)|自动控制原理 蒋大明举例当K=10时:GK(S)=K/S(S+1)(S+5)令:|GK(jw)|=10/w(1+w2)1/2(25+w2)1/2=1
36、解得:w=wC=1.23相角裕度:=180+-90-tg-11.23-tg-1(1.23/5)=25.3又:GK(jw)=10/jw(jw+1)(jw+5)=10/-6w2+j(5w-w3)令:Im GK(w)=5w-w3=0解得:w=wg=51/2幅值裕度:Kg=-20 lg|GK(j51/2)|=-20 lg 10/51/2(5+1)1/2(5+25)1/2=9.54 db系统稳定。自动控制原理 蒋大明举例 当 K=100时 wC=3.19=-23.68 wg=51/2 Kg=-10.46 db 系统不稳定。自动控制原理 蒋大明第五节 开环频率特性与系统动态性能的关系 开环传递函数包含了系
37、统中所有元部件,因此系统的开环频率特性对系统闭环后的动态性能肯定应有所表现.自动控制原理 蒋大明开环频率特性与系统动态性能的关系一.低频段 低频段-L(W)的近似线在第一个转折频率以前的区段.这一区段的特性完全取决于积分环节和开环增益.主要反映系统的稳态精度.设低频段对应的传递函数:G(S)=K/SV 对应的对数频率特性:20lgk/w=0 20lgG(jw)=20lgK V 20lgw k=w0(V=0)-20(V=1)-40(V=2)-60(V=3)0K1/3K1/2KwL(w)K自动控制原理 蒋大明开环频率特性与系统动态性能的关系20lgG(jw)=20lgK V 20lgw斜率=-20
38、V db/dec高度由K决定:将低频段对数幅频的延长线交于0 db线,即 20lg(k/wV)=0 K=wV 或曰交点处的 w=K1/V 斜率绝对值越大,对应串联的积分环节越多,稳态精度越高.位置越高,开环增益越大.0(V=0)-20(V=1)-40(V=2)-60(V=3)0K1/3K1/2KwL(w)K自动控制原理 蒋大明开环频率特性与系统动态性能的关系二.中频段 中频段-L(W)的近似线在剪切频率WC附近的区段.这一区段的特性集中反映系统动态响应的稳定性和快速性.1.中频段有较宽的-20 db/dec斜率 对应的开环传递函数:GK(S)K/S=Wc/S 对于闭环传递函数:GB(S)=GK
39、(S)/1+GK(S)=1/(1/Wc)S+1 相当于一阶系统,阶跃响应无振荡,有较好的稳定性.-20db/decwcw0L(w)近似实际自动控制原理 蒋大明开环频率特性与系统动态性能的关系2.频段有较宽的-40 db/dec斜率 对应的开环传递函数:GK(S)K/S2=Wc2/S2 对于闭环传递函数:GB(S)Wc2/(S2+Wc2)相当于零阻尼的二阶系统,输出等幅振荡.如中频段的斜率为-40 db/dec,则所占频率区间不宜过宽,否则%及ts将会显著增大.中频段的斜率在-40db/dec以上,则闭环系统将难以稳定.-40db/decwcL(w)0自动控制原理 蒋大明开环频率特性与系统动态性
40、能的关系三.高频段 高频段-L(W)在中频段以后(WWc)的区段.这一区段的特性决定了系统的抗干扰能力.远离Wc,分贝值较低,对系统动态性能影响不大.20lgG(jw)0 G(jw)1 对单位负反馈系统:GB(jw)=GK(jw)/1+GK(jw)GK(jw)即闭环幅频特性约等于开环幅频特性 系统开环对数幅频特性在高频段的幅值,直接反映了对输入高频干扰信号的抑制能力.分贝值越低,抗干扰能力越强.自动控制原理 蒋大明第六节 系统的闭环频率特性一.闭环频率特性的绘制(一).一般方法 GB(S)=GK(S)/1+G K(S)(单位负反馈)GK(jw1)=OA=OAe j 1+GK(jw1)=1+OA
41、=PA=PAe j GB(jw)=GK(jw)/1+G K(jw)=OA/PA=OA/PA e j(-)OAP(-1)(w=w1)自动控制原理 蒋大明系统的闭环频率特性GB(jw)=OA/PA e j(-)闭环频率特性的幅值等于向量OA与PA幅值之比,相角等于向量OA与PA相角之差.只要分别测出不同频率处向量的幅值和相角,就可以逐点地画出闭环频率特性曲线.自动控制原理 蒋大明(二).等M圆开环频率特性:GK(jw)=X(w)+jY(w)闭环频率特性:GK(jw)X+jY GB(jw)=-=-=M(w)e ja(w)1+GK(jw)1+X+jY 其中:X2+Y2 M2(w)=-(1+X)2+Y2
42、 可改写为:M2 M2 Y2+(X+-)2=-M2-1(M2 1)2 自动控制原理 蒋大明(二).等M圆圆的方程:圆心:X0=-M2/(M2 1)Y0=0 半径:r0=M/(M2 1)给出不同的M值,便可得到一簇圆(等M圆).自动控制原理 蒋大明(二).等M圆1.当M1时，M 圆的半径随着M 值的增大而减小，位于负实轴上的圆心不断向（-1，j0）点靠近。M=时，r0=0，x0=-1，最后收敛于(-1,j0)点。2.当 M=1时，r0=，x0=-。故 M=1的圆为一个圆心在无穷远处，半径为的圆。它实际上是一条平行于 Y轴的直线.3.当M1时，随着M 值的减小，M 圆的半径越来越小，其位于正实轴上
43、的圆心不断向坐标原点靠近。当M=0时，r0=0，x0=0，最后收敛于原点。自动控制原理 蒋大明(三).等M圆的作用 可以事先画出M 为不同值的一族等M 圆，制成等M 圆图。(不论对任何不同的系统，其等 M 圆图都是相同的)。再在等M 圆图上画出具体系统的开环幅相频率特性曲线。曲线与各圆交点，表示在这一频率下所对应的M 值，亦即为这一频率所对应的闭环频率特性的幅值。因此，根据不同的各个交点即可绘出闭环幅频特性。自动控制原理 蒋大明举例例:若系统的开环频率特性为:10GK(jw)=-j(0.2j+1)(0.05j+1)求单位反馈后的闭环幅频特性。解:将系统的开环频率特性(Nyquist曲线)画在等
44、M 圆图上。根据Gk(j)曲线与各圆的交点,求出各值所对应的M 值，即可绘出闭环幅频特性曲线。自动控制原理 蒋大明举例自动控制原理 蒋大明(四).等N圆闭环频率特性GB(j)的相角可用下式表示a()=tan-1(y/x)tan-1y/(1+x)=tan-1y/(x2+x+y)令:N=tan a(w)=y/(x2+x+y)则有:当N为常数时,上式为一个圆的方程.圆心:X0=-1/2,Y0=1/(2N)半径:自动控制原理 蒋大明等N圆 给出不同的N值,可以画出一簇等N圆.无论N的值如何变化,所有的等 N圆都通过坐标原点和(-1,j0)点.为应用方便,等N圆上标出的并不是对应的N值而是与N 值相应的
45、a值。自动控制原理 蒋大明(五).等N圆的作用 等N 圆的作用与等M 圆相同，也是事先制成标准的等N 圆图，然后在等N 圆图上画具体系统的开环Nyqist曲线，其交点就表示在这一频率下所对应的闭环频率特性的相角。最后，根据各交点的频率及a 值，即可得到闭环相频特性曲线。利用等M 圆图和等N 圆图,可以从开环幅相频率特性求得闭环频率特性。自动控制原理 蒋大明二.根据闭环频率特性分析系统的时域响应1.二阶系统 闭环传递函数:GB(S)=wn2/(S2+2wnS+wn2)闭环频率特性:GB(jw)=M e ja 闭环幅频特性:M=(1-w2/wn2)2+(2w/wn)2-1/2 闭环相频特性:a=-
46、tg-1(2w/wn)/(1-w2/wn2)自动控制原理 蒋大明根据闭环频率特性分析系统的时域响应令dM/dw=0,可求出闭环幅频特性的峰值频率为:wr=wn(1-22)1/2当=0 时,临界稳定,wr=wn,峰值频率又称谐振频率.对应于峰值频率的闭环幅频特性的最大值为:Mr=1/2(1-2)1/2 对于二阶系统:Mr,wr,wn 时域性能指标.M=0.707时对应的频率,称为截止频率wb,0 wb为系统的带宽.0.707=0.707wr/wnMrMa0-180wb/wn0.70710自动控制原理 蒋大明根据闭环频率特性分析系统的时域响应2.高阶系统 理论上:1 C(t)=-C(jw)e jw
47、t dw 但变换繁复，应用困难 2-近似方法(频域指标):.峰值(谐振峰值)Mr 闭环幅频特性的最大值.反映系统的平稳性或相对稳定性.Mr越大,说明对某一频率的信号反映强烈,即阶跃响应的超调量大,平稳性或相对稳定性不好.Mw 0 wbwr3dbMr自动控制原理 蒋大明根据闭环频率特性分析系统的时域响应.谐振频率wr 谐振峰值出现时的频率.反映系统暂态响应的速度.wr越大,对快速变化信号的反映越快,暂态响应越快.Mw 0 wbwr3dbMr自动控制原理 蒋大明根据闭环频率特性分析系统的时域响应.截止频率(带宽)wb 闭环幅频特性下降到零频幅值的0.707(或零分贝值以下3db)时,对应的频率.反
48、映响应速度和对噪声的滤波特性.wb越大,系统对快速变化信号的反映能力越强,暂态响应速度越快;但对高频噪声的抑制能力越差.Mw 0 wbwr3dbMr自动控制原理 蒋大明根据闭环频率特性分析系统的时域响应.剪切率 剪切频率Wc:开环幅频特性与 0 db 线交点处的频率.剪切率:剪切频率Wc附近开环幅频特性的斜率.反映系统的相对稳定性和抑制噪声的能力.wr自动控制原理 蒋大明本章小结1.频率特性的定义,表示方法(Nyquist曲线和Bode图).2.典型环节的频率特性(主要是对数频率特性).3.开环频率特性的绘制.开环传递函数开环频率特性4.Nyquist稳定判据.绝对稳定性,相对稳定性(相角裕度,幅值裕度的计算和图解求法).5.闭环频率特性.