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1、 5.5 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 在在工工程程实实际际中中,首首先先要要求求控控制制系系统统必必须须是是稳稳定定的的，即即系系统统具具有有绝绝对对稳稳定定性性；同同时时还还存存在在有有稳稳定定程程度度的的问问题题。当当系系统统处处于于稳稳定定状状态态，且且接接近近临临界界稳稳定定状状态态时时，虽虽然然从从理理论论上上讲讲，系系统统是是稳稳定定的的,但但实实际际上上，系系统统可可能能已已处处于于不不稳稳定定状状态态。其其原原因因可可能能是是在在建建立立系系统统数数学学模模型型时时，采采用用了了线线性性化化等等近近似似处处理理方方法法；或或系系统统参参数数测测量量不不准确；或系统
2、参数在工作中发生变化等。准确；或系统参数在工作中发生变化等。因因此此要要求求系系统统保保有有一一定定的的相相对对稳稳定定性性（稳稳定定裕裕度度），这这样样才才可可以以保保证证不不致致于于分分析析设设计计过过程程中中的的简简化化处处理理，或或系系统统的的参参数数变变化化等因素而导致系统在实际运行中出现不稳定的现象。等因素而导致系统在实际运行中出现不稳定的现象。稳稳定定裕裕度度是是衡衡量量闭闭环环系系统统的的相相对对稳稳定定程程度度的的指指标标，也也是是系系统统的的频频域域指指标标，与与闭闭环环系系统统的的瞬瞬态态响响应应有有关关。对对于于最最小小相相位位系系统统（条条件件稳稳定定系系统统除除外外
3、），开开环环系系统统传传递递函函数数没没有有极极点点位位于于右右半半s平平面面,那那么么闭闭环环系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件是是:开开环环系系统统幅幅相相频频率率特特性性不不包包围围(-1,j0)这这一一点点,系系统统开开环环奈奈氏氏曲曲线线与与负负实实轴轴的的交交点点应应该该在在(-1,j0)点点以以右右。由由上上一一节节的的内内容容可可知知，开开环环奈奈氏氏曲曲线线与与负负实实轴轴的的交交点点越越靠靠近近(-1,j0)点，系统的阶跃响应的振荡就越强，相对稳定性也越差。点，系统的阶跃响应的振荡就越强，相对稳定性也越差。在在讨讨论论一一个个系系统统的的稳稳定定裕裕度度时时，是是根根据据
4、系系统统在在稳稳定定状状态态下下，接接近近临临界界状状态态的的程程度度来来反反映映的的。在在频频率率分分析析方方法法中中，对对于于开开环环稳稳定定的的系统，就是根据开环频率特性曲线接近（系统，就是根据开环频率特性曲线接近（-1，j0）点的程度来表征。点的程度来表征。在在控控制制系系统统的的实实际际应应用用中中，要要求求系系统统具具备备相相当当的的稳稳定定裕裕度度，通通常用相位裕度、幅值裕度两个指标来衡量系统的相对稳定性。常用相位裕度、幅值裕度两个指标来衡量系统的相对稳定性。5.5.1系统相对稳定性的表述系统相对稳定性的表述 从从对对比比中中不不难难看看出出：两两个个具具有有不不同同闭闭环环主主
5、导导极极点点的的系系统统A和和系系统统B，从从时时域域分分析析的的角角度度来来看看，系系统统A的的闭闭环环主主导导极极点点较较系系统统B更更远远离离虚虚轴轴，系系统统A较较系系统统B具具有有更更好好的的稳稳定定性性；从从两两个个系系统统对对应应的的频频率率特特性性曲曲线线来来看看，系系统统B的的频频率率特特性性曲曲线线较较系系统统A更更靠靠近近（-1，j0）点点，系系统统B的的稳稳定定程程度度就稍低。就稍低。5.5.2幅值穿越频率幅值穿越频率 c与相位穿越频率与相位穿越频率 g1.幅幅值值穿穿越越频频率率 c：在在波波德德图图上上穿穿越越0分分贝贝线线时时所所对对应应的的频频率率，有有L（c）
6、=20lgA（c）=0；在在开开环环奈奈氏氏图图上上对对应应于于与与单单位位圆圆相相交交的的 那那 一一 点点，有有 A（c）=|G(j c)|=1。2.相相位位穿穿越越频频率率 g：在在波波德德图图上上穿穿越越-180相相位位时时所所对对应应的的频频率率，有有（g）=-180；在在开开环环奈奈氏氏图图上上对对应应于于与与负负实实轴轴相相交交的的那那一一点，仍有点，仍有（g）=-180。从奈氏图上衡量系统的相对稳定性5.5.3相位裕度相位裕度 在在系系统统幅幅值值穿穿越越频频率率 c处处，使使系系统统达达到到临临界界稳稳定定状状态态所所需需的的附附加加相相位位滞滞后后角角称称为为相相位位裕裕度
7、，用表示：度，用表示：=（c）-（-180）=（c）+180 从从奈奈氏氏图图上上看看，是是A（c）向向量量与与负负实实轴轴之之间间的的夹夹角角。实实际际上上，从从奈奈氏氏图图或或波波德德图图上上都都是是相相位位移移(c)距距离离-180 的的角角度值。度值。从奈氏图上衡量系统的相对稳定性 如如果果 0,相相位位裕裕度度为为正正值值，闭闭环环系系统统稳稳定定。反反之之,如如果果 0,则则相相位位裕裕度度为为负负值值，闭环系统不稳定。闭环系统不稳定。相相角角稳稳定定裕裕度度的的物物理理意意义义在在于于：对对于于闭闭环环稳稳定定的的最最小小相相位位系系统统，在在=c处处，系系统统的的相相角角如如果
8、果再再减减小小 角角度度，系系统统将将处处于于临临界界稳稳定定状状态态；减减小小的的角角度度大大于于 后后，系系统统将将不不稳稳定定。为为了了使使最最小小相相位位系统是稳定的系统是稳定的,必须为正值。必须为正值。相相位位裕裕度度是是设设计计控控制制系系统统时时的的一一个个重重要要依依据据，描描述述系系统统的的阻阻尼尼程程度度。后后面面将将会会分分析析，二二阶阶系系统统的的相相位位裕裕度度 与与阻阻尼尼比比之之间间有有一一对应的关系。一一对应的关系。通通常常，一一个个性性能能良良好好的的控控制制系系统统，其其相相位位裕裕度度应应具具有有45 左左右右的的数数值值。过过低低，系系统统的的动动态态性
9、性能能较较差差，对对参参数数变变化化的的适适应应能能力力弱弱；过过高高，则则对对系系统统及及其其组组成成元元件件要要求求较较高高，造造成成实实现现上上的的困困难难，或或者者经经济济性性较较差差；或或由由于于稳稳定定程程度度过过好好，造造成成系系统统的的过过渡渡过过程程较较为缓慢。为缓慢。5.5.4幅值裕度幅值裕度 当当频频率率为为相相角角穿穿越越频频率率 g 时时，对对应应的的开开环环幅幅频频特特性性A（g）的的倒倒数数称称为幅值裕度，用为幅值裕度，用hg表示：表示：在在对对数数坐坐标标图图上上，采采用用Lh表表示示hg的分贝值的分贝值 Lh=20lghg=-20lgA(g)当当hg1时时,幅
10、幅值值裕裕度度的的分分贝贝数数为为负负值值;当当hg1时时,幅幅值值裕裕度度的的分分贝贝数数为为正正值值。对对于于最最小小相相位位系系统统,幅幅值值裕裕度度的的分分贝贝数数为为正正,表表示示闭闭环环系系统统是是稳稳定定的的;分分贝贝数数为为负负,表表示示闭闭环环系系统统是是不稳定的不稳定的。从奈氏图上衡量系统的相对稳定性 幅幅值值稳稳定定裕裕度度的的物物理理意意义义为为：对对于于闭闭环环稳稳定定的的最最小小相相位位系系统统，若若系系统统在在相相角角穿穿越越频频率率 g处处幅幅值值增增大大hg倍倍（或或对对数数幅幅值值上上升升Lh分分贝贝），则则系系统统将将处处于于临临界界稳稳定定状状态态。若若
11、幅幅值值增增大大倍倍数数大大于于hg，系系统统将将变变成成不不稳稳定定；而而不不稳稳定定系系统统，若若开开环环放放大大系系数数缩缩小小hg倍倍，系统将处于临界稳定。系统将处于临界稳定。由由图图可可见见，对对一一结结构构、参参数数给给定定的的最最小小相相位位系系统统，当当开开环环传传递递系系数数增增加加 时时，由由 于于L(c)曲曲线线上上升升，导导致致幅幅值值穿穿越越频频率率 c右右移移，从从而而使使得得相相位位裕裕度度与与幅幅值值裕裕度度都都下下降降，甚甚至至使使系系统统不不稳稳定。定。5.5.5系统的稳定裕度系统的稳定裕度 仅仅用用相相位位裕裕度度或或幅幅值值裕裕度度都都不不足足以以充充分
12、分说说明明系系统统的的稳稳定定性性。对对于于最最小小相相位位系系统统，只只有有当当、Lh均均为为正正时时，系系统统才才是是稳稳定定的的。为为了了确确保保系系统统的的相相对对稳稳定定性性，使使系系统统有有满满意的性能，意的性能，、Lh都应该具有合适的取值。都应该具有合适的取值。例：某系统的开环传递函数如下，当例：某系统的开环传递函数如下，当K=1时，分析该系统的稳定裕度。时，分析该系统的稳定裕度。1.求相角穿越频率求相角穿越频率 g 由由（g）=-180，求得求得 g=10最后求出最后求出Lh 28dB2.求相角穿越频率求相角穿越频率 c 由由A A（c）=1，求得求得 c=1最后求出最后求出=
13、（c）+180 76 从从控控制制工工程程实实践践得得出出，系系统统应应具具有有30 60 的的相相位位裕裕量量，幅幅值值裕裕量量Lh大大于于6dB（即即hg2）。对对于于最最小小相相位位系系统统,开开环环对对数数幅幅频频特特性性和和相相频频特特性性之之间间有有确确定定的的对对应应关关系系。要要求求相相位位裕裕量量应应在在30 60 之之间间,意意味味着着开开环环对对数数幅幅频频特特性性在在穿穿越越频频率率 c上上的的斜斜率率必必须须小小于于-40dB/十十倍倍频频,通通常常取取-20dB/dec，且且具具有有一一定定的的宽宽度度。适适当当的的相相位位裕裕量量和和幅幅值值裕裕量量,可可以以防防止止系系统统中中元元件件的的参参数数和和特特性性在在工工作作过过程程中中的的变变化化对对系系统统稳稳定定性性产产生生不良的影响，并可以提高系统抗高频干扰的能力。不良的影响，并可以提高系统抗高频干扰的能力。