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1、文科数学 南通市 高三第一次调研考试 文科数学 考试时间：_分钟 题型 填空题 简答题 总分 得分 填空题（本大题共 14 小题，每小题_分，共_分。）1已知集合 A，则 2若复数为虚数单位，），满足，则的值为 3从 1，2，3，4 这四个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为偶数的概率是 4根据下图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 5 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了 10000 户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间上，其频率分布直方图如下图所示，则被调查的 10000 户家庭中，有_户月消费额在 1000 元以下 6设等比数列的前项的和为，若，则
2、的值为 7在平面直角坐标系中，已知双曲线过点,其一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为 8已知正方体的棱长为 1，点是棱的中点，则三棱锥 的体积为 9若函数为奇函数，则的值为 10已知，则的值是 11在平面直角坐标系中，点.若直线上存在点，使得,则实数的取值范围是 12已知边长为 6 的正三角形,与交点,则的值为 13在平面直角坐标系中，直线与曲线和均相切，切点分别为和,则的值是 14已知函数.若对于任意，都有成立，则的最大值是 简答题（综合题）（本大题共 6 小题，每小题_分，共_分。）15在中，角所对的边分别为，。（1）求角的大小；（2）若，求 ABC 的面积。16如图，在直四棱柱中，底面是
3、菱形，点是的中点.求证：（1）;（2）平面.17如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆的方程;（2）若直线与椭圆相交于两点(异于点),线段被轴平分，且,求直线的方程。18如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以为圆心，半径为的半圆面。公路经过点,且与直径垂直。现计划修建一条与半圆相切的公路(点在直径的延长线，点在公路上),为切点.（1）按下列要求建立函数关系：设，将的面积表示为的函数；设，将的面积表示为的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求的面积的最小值。19已知函数（1）求函数的单调区间；（2）试求函数的零点个数，并证明你的结论。20若数列中存在三项
4、，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”。（1）已知数列中，。求数列的通项公式；试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论。（2）已知数列为等差数列，且.求证：为“等比源数列”答案 填空题 1.2.3.4.21 5.750 6.63 7.8.9.10.11.12.3 13.14.简答题 15.（1）；（2）16.（1）略；（2）略 17.（1）；（2）18.（1）；（2）19.（1）函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）当时，的零点个数为 0；当时，或时，的零点个数为 1；当时，的零点个数为 2 20.（1）；略；（2）略 解析 填空题 1.，根据交集定义可得 2.由题意得，即
5、，解得 3.随机地抽取 2 个数总可能数为 6 种，两个数之积为偶数的为：1，2；1，4；2，3；2，4；3，4，共有 5 种，那么所取的 2 个数之为偶数的概率为 4.【解析】模拟执行程序，开始有 I=1，S=0，此时满足条件 S10；接下来有 I=2，S=1，此时满足条件 S10；接下来有 I=3，S=1+4=5，此时满足条件 S10；接下来有 I=4，S=5+16=21，此时不满足条件 S10，退出循环，输出 S=21 5.由题意得，被调查的 10000 户家庭中，消费额在 1000 元以下的户数有：（0.0001+0.00015）50010000=750 户 6.由等比数列前 n 项和
6、的性质 成等比数列，则成等比数列，解得 设等比数列an的首项为a1，公比为q显然q1，由题意得 解之得：所以，7.由题意可得，解得故双曲线的方程为 8.根据等体积法可得 9.因为函数f(x)为奇函数，所以 f(1)f(1)，f(2)f(2)，即，解得a1，b2经验证a1，b2 满足题设条件 f(a+b)f(1)1 10.所以 11.设满足条件PA2PB的P点坐标为(x，y)，则(x4)2+y24(x1)2+4y2，化简得 x2+y24要使直线xy+m0 有交点，则2即2m2 12.则设，又BPE三点共线，所以 解之得：，13.由题设函数yx2在A(x1，y1)处的切线方程为：y2x1 xx12
7、，函数yx3在B(x2，y2)处的切线方程为y3 x22 x2x23 所以，解之得：，所以 14.由|f(x)|1，得|2a+3b|1，所以，6ab|2a3b|2a+3b3b|3b|且当时，取得等号所以ab的最大值为 简答题 15.试题分析：本题属于解三角形中的基本问题，难度不大。（1）此类问题主要应用正（余）弦定理和三角形面积公式；（2）注意边和角的统一。解析：（1）在ABC中，由(a+bc)(a+b+c)ab，得，即 cosC 因为 0C，所以C（2）因为c2acosB，由正弦定理，得 sinC2sinAcosB，因为A+B+C，所以 sinCsin(A+B)，所以 sin(A+B)2si
8、nAcosB，即 sinAcos BcosAsinB0，即 sin(AB)0 又AB，所以AB0，即AB，所以ab 所以ABC的面积为 16.试题分析：此题属于立体几何中的线面关系的位置关系的证明题，难度不大，只要熟悉了线面关系中平行与垂直的判定和性质定理，即可完成。（1）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，连结BD交AC于点F，连结B1D1交A1C1于点E 因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC 因为ABCDA1B1C1D1为直棱柱，所以BB1平面ABCD，又AC平面ABCD，所以，BB1AC 又BDBB1B，BD平面B1BDD1，BB1平面B1BDD1，所以AC平面B1BDD1 而BE平
9、面B1BDD1，所以BEAC（2）连结D1F，因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直棱柱，所以四边形B1BDD1为矩形 又E，F分别是B1D1，BD的中点，所以BFD1E，且BFD1E 所以四边形BED1F是平行四边形 所以BED1F 又D1F平面ACD1，BE平面ACD1，所以 BE平面ACD1 17.试题分析:此题是直线与圆锥曲线的常见题型，运算量较大。此类问题往往要用到韦达定理，设而不求等方法技巧，把几何关系转化为代数运算。（1）由条件知椭圆离心率为，所以 又点A(2，1)在椭圆上，所以，解得 所以，所求椭圆的方程为（2）将代入椭圆方程，得，整理，得 由线段BC被y轴平分，得，因为，所以
10、 因为当时，关于原点对称，设，由方程，得，又因为，A(2，1)，所以，所以 由于时，直线过点A(2，1)，故不符合题设 所以，此时直线l的方程为 18.试题分析:此类问题是典型的函数建模问题，难度较大。解决的关键是把实际问题转化为函数问题进行求解。（1）由题设知，在 RtO1PT中，OPT=，O1T=1，所以O1P 又OO1=1，所以OP 在 RtOPQ中，所以，RtOPQ的面积为 由题设知，OQ=QT=t，O1T=1，且 RtPOQRtPT O1，所以，即，化简，得 所以，RtOPQ的面积为 （2）选用（1）中的函数关系 由，得 列表 所以，当时，OPQ的面积S的最小值为（km216 分（2
11、）选用（1）中的函数关系 由，得 列表 所以，当时，OPQ的面积S的最小值为（km2）19.试题分析:此题属于导数的常规问题，难度较大。函数的单调性，最值，零点的个数等等，都可利用导数加以解决。（1）由函数f(x)a+lnx(aR)，得f(x)令f(x)0，得 xe-2列表如下：因此，函数f(x)的单调增区间为(e-2，+)，单调减区间为(0，e-2)（2）由（1）可知，fmin(x)f(e-2)a2e-1（i）当a2e-1时，由f(x)f(e-2)a2e-10，得函数f(x)的零点个数为 0（ii）当a2e-1时，因f(x)在(e-2，+)上是单调增，在(0，e-2)上单调减，故x(0，e-
12、2)(e-2，+)时，f(x)f(e-2)0 此时，函数f(x)的零点个数为 1（iii）当a2e-1时，fmin(x)f(e-2)a2e-10 a0 时，因为当x(0，e-2时，f(x)alnxa0，所以，函数f(x)在区间(0，e-2上无零点；另一方面，因为f(x)在e-2，+)单调递增，且f(e-2)a2e-10，又 e-2a(e-2，+)，且f(e-2a)a(12e-a)0，此时，函数f(x)在(e-2，+)上有且只有一个零点 所以，当a0 时，函数f(x)零点个数为 1 0a2e-1时，因为f(x)在e-2，+)上单调递增，且f(1)a0，f(e-2)a2e-10，所以，函数f(x)
13、在区间(e-2，+)有且只有 1 个零点；另一方面，因为f(x)在(0，e-2上是单调递减，且f(e-2)a2e-10 又(0，e-2)，且f()aa0，（当时，成立）此时，函数f(x)在(0，e-2)上有且只有 1 个零点 所以，当 0a2e-1时，函数f(x)零点个数为 2 综上所述，当a2e-1时，f(x)的零点个数为 0；当a2e-1，或a0 时，f(x)的零点个数为1；当 0a2e-1时，f(x)的零点个数为 2 20.试题分析：此题是结合等差（比）数列，给出新定义的创新试题，难度较大。在解题中要充分利用新定义的性质，合理推理，得出结论。（1）由an+12an1，得an+112(an
14、1)，且a111，所以数列an1是首项为 1，公比为 2 的等比数列 所以an1=2n-1 所以，数列an的通项公式为a n2n-1+1 数列an不是“等比源数列”用反证法证明如下：假设数列an是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak(mnk)按一定次序排列构成等比数列 因为an2n-1+1，所以amanak 所以an2amak，得(2n-1+1)2(2m-1+1)(2k-1+1)，即 22n-m-1+2n-m+12k-12k-m1 又mnk，m，n，kN*，所以 2nm11，nm+11，k11，km1 所以 22n-m-1+2n-m+12k-12k-m为偶数，与 22n-m-1+2n-m+12k-12k-m1 矛盾 所以，数列an中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列 综上可得，数列an不是“等比源数列”（2）不妨设等差数列an的公差d0 当d0 时，等差数列an为非零常数数列，数列an为“等比源数列”当d0 时，因为anZ，则d1，且dZ，所以数列an中必有一项am0 为了使得an为“等比源数列”，只需要an中存在第n项，第k项(mnk)，使得an2amak成立，即am+(nm)d2amam+(km)d，即(nm)2am+(nm)dam(km)成立 当nam+m，k2am+amd+m时，上式成立所以an中存在am，an，ak成等比数列 所以，数列an为“等比源数列”