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1、大题规范练(四)“17 题19 题”“二选一”46 分练(时间：45 分钟 分值：46 分)解答题(本大题共 4 小题，共 46 分，第 2223 题为选考题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17已知等比数列an的各项都为正数，其前 n 项和为 Sn，且 S342,16a2a6a3a7.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn1log2anlog2an1，数列bn的前 n 项和为 Tn，求证：13Tn12.解：(1)设数列an的公比为 q.由 16a2a6a3a7，得 16a24a25，所以 q216.因为数列an各项都为正数，所以 q4，所以 S3a1(1qq2)21a1，又 S34
2、2，所以 a12，所以数列an的通项公式是 an24n122n1.(2)证明：由(1)得 bn1log222n1log222n1 12n12n11212n112n1，所 以 Tn b1 b2 bn12113131512n112n112112n1，因为14n20，所以 Tn1214n212.又 Tn1Tn1214n61214n2 14n214n60，所以 TnT113.综上所述：13Tn12.18在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评某校高一年级有 500 名男生，400 名女生，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样的方法从高一年级抽取了
3、 45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表 1 男生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 x 5 表 2 女生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 3 y(1)从表 2 的非优秀学生中随机选取 2 名进行交谈，求所选 2 名学生中恰有1 名的测评等级为合格的概率；(2)由表中统计数据填写下面的 22 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“测评结果是否优秀与性别有关”男生 女生 总计 优秀 非优秀 总计 解：(1)设从高一年级男生中抽出 m 名，则m50045500400，得 m25，所以 x25205，y20182.表 2 中非优秀学生共有5 名，记测评等级为合格的3 名学生分
4、别为 a，b，c，记尚待改进的 2 名学生分别为 A，B，则从这 5 名学生中任选 2 名的所有可能结果为(a，b)，(a，c)，(b，c)，(A，B)，(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共 10 种 设事件 C 表示“从表 2 的非优秀学生中随机选取2 名学生，恰有 1 名的测评等级为合格”，则 C 包含的结果为(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共 6种，所以 P(C)61035.(2)22 列联表如下：男生 女生 总计 优秀 15 15 30 非优秀 10 5 15 总计 25 20 45 则 k245155151
5、02301525201.1252.706，所以没有 90%的把握认为“测评结果是否优秀与性别有关”19如图 1 所示，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，BAD60，ABBD，BCCD.图 1(1)求证：平面 ACC1A1平面 A1BD；(2)若 BCCD，ABAA12，求三棱锥 B1-A1BD 的体积.解：(1)证明：因为 ABBD，BAD60，所以ABD 为正三角形，所以 ABAD.又因为 CBCD，AC 为公共边，所以ABCADC，所以CABCAD，所以 ACBD.因为四棱柱 ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，所以 AA1平面 ABCD，所以 AA1BD.因为 ACAA1A，所
6、以 BD平面 ACC1A1.因为 BD平面 A1BD，所以平面 A1BD平面 ACC1A1.(2)连接 AB1(图略)，因为 AA1BB1，所以 VB1-A1BDVA1-BB1DVA-BB1D.由(1)知 ACBD.因为四棱柱 ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，所以 BB1平面 ABCD，所以 BB1AC.因为 BDBB1B，所以 AC平面 BB1D.记 ACBDO，所以 VA-BB1D13SBB1DAO131222 32 33，所以三棱锥 B1-A1BD 的体积为2 33.(请在第 22、23 题中选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分)22【选修 44：坐标系与参数方程】在平面直角坐
7、标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 x1cos，ysin(为参数)，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的极坐标方程是 2sin33 3，射线 OM：3与圆 C 的交点为 O，P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长.解：(1)由圆 C 的参数方程 x1cos，ysin(为参数)可知 x1cos，ysin，而 cos2sin21，所以消去参数化为普通方程为(x1)2y21，所以圆的极坐标方程为 22cos 0，即 2cos.(2)设(1，1)为点 P 的极坐标，由 12cos 1，13，解得 11，13.设(2，2)为点
8、Q 的极坐标，由 2sin 2 3cos 23 3，23，解得 23，23.所以|PQ|12|2.23【选修 45：不等式选讲】设函数 f(x)|3x1|ax3.(1)若 a1，解不等式 f(x)4；(2)若函数 f(x)有最小值，求 a 的取值范围.解：(1)当 a1 时，f(x)|3x1|x3.当 x13时，由 f(x)4，得 3x1x34，解得13x12；当 x13时，由 f(x)4，得3x1x34，解得 0 x13.综上所述，原不等式的解集为0，12.(2)f(x)3ax2，x13，a3x4，x13，所以函数 f(x)有最小值的充要条件为 a30，a30，得3a3.所以 a 的取值范围是3,3