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1、大题规范练(十)“20 题、21 题”24 分练(时间：30 分钟 分值：24 分)解答题(本大题共 2 小题，共 24 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 xy 20 相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A，B，且|OAOB|2 53，求直线斜率的取值范围.解：(1)由题意知 eca22，所以 e2c2a2a2b2a212，即 a22b2.又因为 b2111，所以 a22，b21.故椭圆 C 的方程为x22y21.(2)由题意知直
2、线 AB 的斜率存在 设 AB：yk(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 ykx2，x22y21，得(12k2)x28k2x8k220，则 64k44(2k21)(8k22)0，得 k212，x1x28k212k2，x1x28k2212k2.因为|OAOB|2 53，所以 1k2|x1x2|2 53，所以(1k2)(x1x2)24x1x2209，所以(1k2)64k412k2248k2212k2209，所以(4k21)(14k213)0，所以 k214.所以14k212，所以12k22或22k12，所以直线斜率的取值范围为22，1212，22.21已知函数 f(x)exax(xR)
3、(1)当 a1 时，求证：f(x)1；(2)若函数 f(x)有两个零点 x1，x2，其中 x1x2，求 a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，求证：x1x22.解：(1)证明：当 a1 时，f(x)exx，f(x)ex1exe0.当 x0 时，有 f(x)0；当 x0 时，有 f(x)0.当 a0 时，f(x)exaexeln a，当 xln a 时，有 f(x)0；当 xln a 时，有 f(x)0.所以 f(x)在(，ln a)上为减函数，在(ln a，)上为增函数，所以 f(x)minf(ln a)eln aaln aaaln a，因为函数 f(x)有两个零点 x1和 x2(x1e,0 x11 时，h(t)h(1)0，即 ln t2t1t10，所以t1ln tt12，所以 x1x22.