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1、大题规范练(八)“20 题、21 题”24 分练(时间：30 分钟 分值：24 分)解答题(本大题共 2 小题，共 24 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20已知函数 f(x)ln(mx)x1，g(x)(x1)exmx，m0.(1)若 f(x)的最大值为 0，求 m 的值；(2)求证：g(x)有且仅有一个极值点 x0，且12ln(m1)x0m.解：(1)由 m0，得 f(x)的定义域为(0，)f(x)1x11xx.当 x1 时，f(x)0；当 0 x0，f(x)单调递增；当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减 故当 x1 时，f(x)取得极大值，也是最大值 0，则 f(1)0，即
2、 ln m0，故 m1.(2)证明：g(x)xexm，令 h(x)xexm，则 h(x)(x1)ex.当 x1 时，h(x)0；当 x1 时，h(x)1 时，h(x)0，h(x)单调递增 故当 x1 时，h(x)取得最小值 h(1)e1m0.当 x1 时，h(x)0，所以 h(x)有且仅有一个零点 x0，且 x0(1，m)由(1)知 ln xx1，又 m0，所以12ln(m1)0，12m.而 h12lnm1 h(ln m1)m1ln m1m m1(m11)m 1 m10，则 x012ln(m1)，故 h(x)有且仅有一个零点 x0，且12ln(m1)x0m，即 g(x)有且仅有一个极值点 x0
3、，且12ln(m1)x0m.21已知圆 C：(x1)2y220，点 B(1,0)，点 A 是圆 C 上的动点，线段 AB 的垂直平分线与线段 AC 交于点 P.(1)求动点 P 的轨迹 C1的方程；(2)设 M0，15，N 为抛物线 C2：yx2上的一动点，过点 N 作抛物线 C2的切线交曲线 C1于 P，Q 两点，求MPQ 面积的最大值.解：(1)由已知可得，点 P 满足|PB|PC|AC|2 52|BC|，动点 P 的轨迹 C1是一个焦点在 x 轴上的椭圆，其中 2a2 5，2c2，动点 P 的轨迹 C1的方程为x25y241.(2)设 N(t，t2)，则直线 PQ 的方程为 yt22t(xt)，整理，得 y2txt2.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)联立 y2txt2，x25y241，消去 y 整理得，(420t2)x220t3x5t4200，有 80420t2t40，x1x220t3420t2，x1x25t420420t2，|PQ|14t2|x1x2|14t280420t2t4420t2，又点 M 到直线 PQ 的距离 d15t214t2，SMPQ12|PQ|d510t2102104510 1041305，当 t210 时，MPQ 的面积的最大值为1305.