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1、2023年数列1 数列 一.知识理解 数列:一些数(可以是有限个,这种数列叫有穷数列;也可是无限多个,这种数列叫无穷数列)按照一定的顺序(如数列1,2,3与数列3,2,1为两个不同的数列)排成一行(或一列),称为一个数列(数列的灵魂是其有序性)。其中的每一个数叫这个数列的项(即第某一项的数值),其各项依次为第1项(首项,每一个数列都是从第1项开始的),第2项,第n项.数列的一般形式写成a1,a2,an,。简记为an(an为一个整体,但不是集合。an为数列中的第n项,是一个个体)。数列也可看成是一个定义域为N*(或其有限子集1,2,n)的函数（由（），（），f（），这些函数值依次排列）。数列的表
2、示法有三:一般形式,公式法(通项公式与递推公式),图象法。 数列的通项公式:数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫这个数列的通项公式(是一个能代表这个数列中的每一项的公式,通项公式即一个函数式,只是定义域为N*或其子集1,2,n。通项公式也可是一个分段函数式。并不是每个数列都有通项公式的, 如)。 数列的图象为坐标平面上的一串孤立的点(课本上111页说，在画图时，为方便起见，x轴、y轴上的单位可以不统一)，横坐标分别为1，2，n；纵坐标分别为a1，a2，an.（此即数列的意义） 递推公式:知数列的an的首项(或前几项),后项an(第2项起的任一项)用它的前一项an1
3、（或前几项）来表示的一个公式称为这个数列的递推公式（这是一种给出数列的一种方法,根据数列的递推关系可写出该数列）如已知an+1an，a1，写出该数列又如：已知a1=2，a2=3，an+2=5an+1-4an，写出该数列。近年来高考在递推方面出题情况较多.5.递增数列:数列an满足an+1an对nN+或n 1,2,n均成立,称此数列递增数列.(这里含不等式恒成立问题) 6.递减数列:数列an满足an+1 7等差数列定义：一个数列从第项起，满足a21a32=nn1=（常数）(对指定的正整数都成立),这个数列称为等差数列（可简化为n+1n 对*或n，均成立。证明一个数列为等差数列，就是要证明an+1
4、-an=d对给定的n均成立，需知道通项公式）。这个常数d叫做等差数列的公差（d0时,为递增数列;d=0时为常数列;d 8等差数列的通项公式：an=a1+（n-1）d，这是一个以n为自变量，an为函数的一次函数型(可写为an=An+B,A、B为常数)，定义域为N*或1，2，n；其图象为直线上的孤立点。 9.等差中项:如果a,A,b三数成等差数列,A叫做a与b的等差中项(A为a,b的平均值),A=（a+b）2.证明等差数列的另一种方法:证2an=an-1+an+1对给定的所有n值均成立(找任意连续三项之间的关系).等差数列an中,m,an,ap满足m+p=2n时,m为n与 1p的等差中项.三个数成
5、等差数列,通常设这三数为a-d,a,a+d; 四个数成等差数列时,通常设为a-3d,a-d,a+d,a+3d(此时公差为2d). 10.等差数列前n项的和公式:Sn= (1/2)(a1n)n知首项,末项;Sn=na1+（1/2）n(n-1)d知首项,公差.此公式的推导方法:倒序相加法(两个Sn的式子相加，其顺序相反). 11n(a1+an)可化为 = (ap+aq)n,其中1+n=p+q.2 21Sn=na1+n(n-1)d为关于n的二次函数型（也可写为Sn=An2+Bn，其中A，B为常2Sn= 数）。d=0时,其图象为直线上的孤立点;d0时,其图象为抛物线上的孤立点,可从函数方面进行研究最值
6、等问题,注意n N*. 11.等差数列通项公式和前n项和公式中共有五个量:a 1、an、n、d、Sn,任意知道三个,通过解方程组可求得另外两个量(知三求二). 12.等差数列的性质:(d为公差,Sn为前n项和) 如果m+n=p+q,则a m+a n=a p+aq反之亦成立(下标和性质).an=am+(n-m)d(通项公式推论),d=（an-am）/（n-m）=（an-a1）/（n-1）. （a1+an）/2=Sn/n=（a1+a2+an）/n=a1+（n-1）d/2 ；an= S2n-1/（2n-1）。 数列ak,ak+m,ak+2m, ak+3m，也成等差数列,公差为md. 数列akn也成等
7、差数列,公差为kd. Sk,S2k-Sk,S3kS2k,S4kS3k也成等差数列(连续等长片断和成等差),公差为kd. 通项公式an=An+B是一次函数的形式，前n项和公式Sn=an2+bn(a0);A=0时,Sn=bn.若a10,d 若a10,Sn有最小值时,可由不等式组an0且an+10来确定n值. 13.等比数列的定义:一个数列从第2项起满足:a2/a1=3/a2=n/an-1=q（q为常数）(对指定的正整数都成立),这个数列称为等比数列(可简化为an+1/an=q对nN*或n1,2,n均成立.证明数列成等比数列就是用此式子,需知通项公式). a10,q1;与a10,01时为递减数列.
8、14.等比数列的通项公式:an=a1qn-1.其图象为指数函数的图象进行伸缩变换后的图象中的孤立点(定义域为N*或1,2,n).（其中1，） 15.等比中项:a,G,b三数成等比数列时,G叫做a与b的等比中项.G2=ab,G=ab.等比数列中a2是a1与a 3、a3是 a2与 a 4、a4是 a3与 a 5、an是 an-1与 an+ 1、的等比中项.证明数列an成等比数列的另一种方法:证an2=an1an+1，对给定的所有n值均成立,且这些项均不为0。等比数列an中,如果am,an,ap满足m+p=2n时,an为am与ap的等比中项.三个数成等比数列时,这三数设为a/q,a,aq;四数成等比
9、时,设为a/q3,a/q,aq,aq3 . 15.等比数列的前n项和公式:Sn=na1(q=1) a1(1-qn-1)a1-anq(q0,q1)=1-q1-q (推导此公式的方法为q倍减) 16.最特殊的数列:数值不为零的常数列,既是等差数列,又是等比数列. 17.等比数列的性质(q为公比,Sn为前n项和) 如果m+n=p+r,则aman= apar反之亦成立(下标和性质)；当m+n=2p时,aman=ap2.an=amqn-m (通项公式推论 ),q=n.数列ak,a k+m,ak+2m, ak+3m，也成等比数列,公比为qm. Sk,S2k-Sk,S3kS2k,S4kS3k也成等比数列,公
10、比为qk.（等比数列中连续等长片段和成等比,且Sk不等于0） 16.数列通项an与Sn的关系:an= S1，n= 1nn-1， 二.思想方法 (一).思想 1.函数思想:用函数观点来研究数列问题.如求最值,讨论递增、递减,图象,周期. 2.方程思想:解方程,解方程组.3.分类讨论思想:对各种情况进行讨论(通项公式为分段函数,等比数列前n项和公式,an与Sn间关系,单调性中讨论d或q等). 4转化思想:数列问题转化为函数问题进行研究.实际问题转化为数学问题.需引入数列an,说明其含义,体现其有序性.将题中条件用数学语言进行表示,判断、推导为何种数列(最好是等差或等比),结合已知与所求进行运算,得
11、到结论,回到实际问题中去(数学语言回归到文字语言。 (二).方法 1定义法:证明数列成等差或等比.2消元法:解方程组,化简式子,求通项an等. 3观察、猜想法:由几项归纳数列的通项公式问题. 4数列求和方法:（1）公式法(等差或等比数列的前n项和公式);（2）裂项法(也叫拆项相消法,将an化为bn -bn-1,则Sn=bn-b1);（3）q倍减法(也叫错项相减法,形如an=bncn,其中bn成等差,cn成等比, cn 的公比为q.先写出sn的和式(1式),在这个和式的两边乘上公比q(2式),1式-2式,所得式子中的右式可得一个等比数列(至少有一项不在那个等比数列中,最多两项),右式可求和,左式
12、Sn 前的系数1-q(q=1为简单问题,不需此法)除到右式，即得Sn.（4）并项法:在和式sn中相邻的两项或多项可化简合并使其简单,将两项或多项看成一组合并后(看成一项),再求和.如an=(-1)n-1(4n-3),求前100项的和.5累加法:如果anan-1=f(n)f(n)能求和,求an.如:已知数列an 满足a1=1, an=3n-1+ an-1(n2).求a2,a3;求证an=(3n -1)/2. an=(anan-1)+(an-1an-2)+(a2a1)+a1=f(n)+f(n-1)+f(2)+a1 . 6累乘法:如果an/an-1=f(n)f(n)相乘可化简单,求an. an(an
13、/an-1)（an-1/an-2）（a2/a1）a1=f（n）f（n-1）f（2）a 1如: a1=1, an= an-12n-3，求an 2n+1 三常规问题 由数列的前几项归纳出通项公式问题：从数值与序号之间的对应中发现规律（）仔细观察哪些因素（符号，数字，字母及运算符号）与序号无关，哪些因素随序号变化而改变（）分析变化的因素与序号的联系（）写出通项公式，并进行验证 给通项公式，判断某数是否是此数列的项或为第几项(相当于存在性问题) 给数列的递推式，写出此数列中的某一项或几项：由第一项及关系式就能求出第二项，依此类推，任意项均可求关键在于从前几项的书写中看出上标、下标间的关系.如果项数较大
14、,又不存在着技巧性,那么它一定有规律性（有周期） 给通项公式，判断数列的单调性或知数列为递增（减）数列，研究某参数：依据于递增（减）的定义，或与不等式恒成立结合进行研究 证明数列为（或不为）等差或等比数列问题 为：依据定义或等差（比）中项性质证明不为：通常由特殊三项关系不满足即可 6等差、等比数列中的计算问题：依据于通项公式、前n项和公式(五个量a 1、d或q、n、an、Sn中知三求另二),或等差、等比数列的性质,通过化简及解方程组进行.7.数列的求和问题:从题设或和式Sn中找出通项公式(检验是否能代表此数列中的每一项),对通项进行辩认或拆分,选择方法求和.(1)如果通项能拆为几个等差或等比数
15、列的和,由各自的前n项和公式求和.(2)如果数列的相邻几项并成一组可以化简,用并项法求和.(3)如果通项是由一个等差和一个等比数列相乘构成,用q倍减法求和.(4)不属于上述三种类型的通项,用裂项法求和. 8.an与Sn间 的关系问题:运用其关系,消去an或Sn(依据所求或消去某一量后易计算的程度选择究竟消哪一个量).消去一量后,一般能出现一个等差或等比数列,或由得到的式子,依据题目的要求进行变形、运算后能达到题目要求. 9.求数列的最值问题:依据数列对应的函数的单调性或数列的递增(减),结合图象及nN+解决.以及一.中12.之(7)(8)进行. 10.数列应用问题:参看二.(一).4:转化思想
16、.先引入数列及记号，将文字转化为式子或得到等关数列或等比数列或关系式，转化为数学问题进行求解并作答。 11.分期付款的计算问题. 弄清该问题中的有关情况的规定:在分期付款中,每月的利息均按复利计算.分期付款中,规定每期所付款额相同;分期付款时,商品售价和每期所付款额全部付清前会随时间推移而不断增值.各期所付款额连同到最后一次付款时所生的利息之和,等于商品售价及从最后一次付款时的利息之和.(参看课本) x(1+r)-1A(1+r)n=x(1+r)n-1+x+(1+r)n-2+x(1+r)+x即A(1+r)n = rn 数列1 数列极限1 数列试卷1 .5.17 习题课1数列极限 1.等差数列 等比数列1（全文） 4月1日错题集数列 全国高考数学1卷数列部分 已知数列an是等差数列,设bn=a2n 1a2n证明：数列bn是等差数列 2.2等差数列1教案