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1、2023年数列知识梳理 数列 一、数列 1、定义：按照一定顺序排列起来的一列数。 2、通项公式： （1） 定义：an=f(n) （2） 求法：观察法（注意观察项与项数、项与项、不变项与变项之间 的关系） 如：根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式： 10-1,7,-13,19,L 208,88,888,8888,L 30-1,0,-1,0,L 累加法：如等差数列通项公式的推导 累乘法：如等比数列通项公式的推导。 利用Sn与an的关系进行求解 如：已知数列an的前n项和为Sn，求an的通项公式 10Sn=2n2-3n；20Sn=3n+b 取倒数 如：数列an中，an+1=an，a1=2，
2、求a4（提示：通过取倒数构造新数1+3an 列，判断新数列是特殊数列进而求解） 迭代法 已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nN*)，求an 法10通过添加项构造新数列：an+1+1=2(an+1)，得an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列。 20an+1=2an+1=2(2an-1+1)+1=22an-1+2+1=22(2an-2+1)+2+1=23an-2+22+2+1=L=2na1+2n-1+2n-2+L+2+1= 2+2nn-1+2n-21-2n+ 1+L+2+1=2n+1-1，an=2n-1 1- 2 设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的n
3、N+，都 有8Sn=(an+2)2，求数列an的通项公式。 分析：当n2时8Sn-1=(an-1+2)2，有8 （Sn-Sn-1)=8an=(an+2)2-(an-1+2)2，（a(n+an-1)(an-an-1-4)=0又an是正数组成的数列，an-an-1-4=0，an-an-1=4， an是以2为首项，4为公差的等差数列，所以an=4n-2 一、等差数列 1、定义：从第二项起，每一项与其前一项的差是同一个常数。 符号语言：an+1-an=d(nN+) ；an-an-1=d(n2,nN+)； an+1-an=an-an-1(n2,nN+) 2、证明一数列是等差数列的方法：如证明数列3n+2
4、是等差数列。 3、通项公式：an=a1+(n-1)d an=dn+(a1-d)，d0时表示n是 自变量an是函数值的一次函数，点(n,an)(nn+)在以d为斜率，a1-d为y轴上的截距的直线上，该数列的图象是一群孤立的点组成。 (n,an),(m,am)(nm)共线，所以d=an-am，从而有an=am+(n-m)d n-m 等差中项：如果三个数x,A,y成等差数列，则三个数的关系是。 4、前n项和 推导方法：倒序相加法 举例： （1） 设f(x)= 为。 12+2x，则f(-5)+f(-4)+L+f(0)+Lf(5)+f(6)的值 （2）若函数f(x)对任意xR，都有f(x)+f(1-x)
5、= 212n-1)+f(1)，数列an是等差数列吗？试证10an=f(0)+f()+f()+L+f(nnn 明你的结论。 20若1的前n项和为Tn，Tn6)，则n=.Sn=na1+n(a1+an)n(n-1)d= 22 121dn+(a1-d)n 22变形：10Sn= d0时点(n,Sn)都在一个二次函数的图象上。 20Sndd=n+(a1-) n22 Sn)(nN+)共线 n点(n, 思考：等差数列an的前m项和为20，前2m项和为100，求它的前3m项和。（用三种方法求解） 5、性质： 如果m,n,s,tN+且满足m+n=s+t，则am,an,as,at之间的关是。 如果m,n,tN+且满
6、足m+n=2t，则am,an,at之间的关是 若an是等差数列，ak,a2k,a3k,L, 是否是等差数列？若是，公差是多少？ an是等差数列，若去掉前面几项，剩余的项组成的数列是否为等差数列？ Sn是等差数列an的前n项和，Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,L是否成等差数列？ 前n项和公式Sn=An2+Bn（A、B为常数）an为等差数列 三个数成等差数列该如何设最简单（前提知道该三数的和）？四个数成等差数列呢？ 若等差数列的项数为2n，则有：10S偶-S奇=S奇S偶=。 若项数为2n+1，则有S奇-S偶=S奇S偶=。 如：项数为奇数的等差数列an中，奇数项之和为80，偶数项之和为85，求此
7、数列的中间项与项数。 另外常见题型： 1、在等差数列an中，已知a1=20，前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值。 2、数列an的数列an的前n项和为Sn=100n-n2， （1） 判断an是否是等差数列，若是，求其首项、公差； （2） 设bn=|an|，求数列bn的前n项和。 （3） 已知等差若m1,mN，且am-1+am+1-am=0,S2m-1=38，则m等 于。 （4） 已知数列数列an的前n项和为Sn，且满足 an+2SnSn-1=0(n2),a1= 10求证：21 21是等差数列； Sn 20求an的表达式。 等比数列 一、等比数列 1、
8、定义：从第二项起，每一项与其前一项的比是同一个常数。 符号语言：an+1a=q(nN+) ；n=q(n2,nN+)； anan- 1an+1a=n(n2,nN+)anan-1 2、证明一数列是等比数列的方法： 3、通项公式：an=a1qn- 1an=amqn-m 等比中项：如果三个数x,A,y成等比数列，则三个数的关系是。 思考：是否是任意三个数都有等比中项？ 是否是所有的常数数列都是等比数列？ 4前n项和公式 推导方法：乘公比错位相减法（思考：该方法适用的范围） 123n举例：求和Sn=+2+3+L+n aaaa (q=1)na1Sn=a1(1-qn) (q1)1-q 3、性质： 如果m,n
9、,s,tN+且满足m+n=s+t，则am,an,as,at之间的关是。 如果m,n,tN+且满足m+n=2t，则am,an,at之间的关是 若an是等比数列，ak,a2k,a3k,L, 是否是等比数列？若是，公比是多少？ an是等比数列，若去掉前面几项，剩余的项组成的数列是否为等比数列？ Sn是等比数列an的前n项和，Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,L是否成等比数列？ 三个数成等比数列该如何设最简单（前提知道该三数的积）？四个数成等比数列呢？ 另外常见题型： 练习：（1）等比数列an中，q=2,S99=77，求a1+a6+L+a99 （2）已知数列an是由正数组成的等比数列，且a2a4+2
10、a3a5+a4a6=25,则a3+a5= （3）设等比数列an的公比为q(q0)，它的前n项和为40，前2n项为3280，且前n项和中数值最大项为27，求数列的第2n项。 数列求和 1、公式法 求和：Sn=1+11+111+1111+L+11L1(n个1) 2、错位相减法： （09山东文）等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN+，点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0,b1,b,r均为常数）的图象上； （1） 求r的值； （2） 当b=2时，记bn= 3、倒序相加法 4、裂项相消法 如：在数列an中，an= 前n项和Tn 5、分组法 111如：Sn=(x+)2+(x2+2)2+L+(xn+n)2 xxx 6、并项法 12n2+L+，又bn=，求数列bn的n+1n+1n+1anan+1n+1(nn+)，求数列bn的前n项和Tn 4an 如Sn=1-5+9-13+L+(-1)n+1(4n-3) 注意各种方法适用的范围。 数列知识梳理 等差数列、等比数列知识点梳理 知识梳理词语 专项知识梳理 知识梳理（推荐） 美术鉴赏知识梳理 必修五知识梳理 招投标知识梳理 数列知识点总结 数列知识点总结