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1、1第二章 力系的简化 21 汇交力系的合成 22 力偶系合成 23 平行力系的简化 24 重心 25 空间一般力系的简化第1页/共81页221 汇交力系的合成汇交力系：各力作用线汇交于一点的力系 汇交力系平面汇交力系空间汇交力系作用在刚体上的力为滑移矢量汇交力系共点力系沿作用线移动第2页/共81页321 汇交力系的合成一、合成的几何法AF2F1F4F3F2F1FF3F4BCDEAF2AF1F4F3第3页/共81页421 汇交力系的合成由力的三角形法则，得分力矢和合力矢构成了封闭四边形称为力多边形，由力多边形求合力的方法称为力多边形法则。F2F1FF3F4BCDAF2F1FF3F4BCDA力多边
2、形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，其方向为第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。第4页/共81页5可推广到一般，求 个力组成的汇交力系的合力。21 汇交力系的合成空间汇交力系是否可以用力的多边形法则求合力？结论：汇交力系合成的结果是一个合力作用线：作用线通过汇交点大小方向：由力多边形封闭边确定用矢量式表示：图第5页/共81页621 汇交力系的合成二、合成的解析法（汇交力系合力矢为各分力矢的矢量和）设合力解析表示为：第6页/共81页721 汇交力系的合成得：合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。合力的大小：合力的方向：合力的作用
3、线过汇交点第7页/共81页821 汇交力系的合成三、汇交力系的合力矩定理汇交力系合力为合力对点的力矩矢为：由于得：其中：所以得：第8页/共81页921 汇交力系的合成汇交力系的合力矩定理：汇交力系的合力对任一点的力矩矢等于各分力对同一点之力矩矢的矢量和；合力对任一轴之矩等于各个分力对同一轴之矩的代数和。平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各个分力对同一点矩的代数和。平面汇交力系的合力矩定理：第9页/共81页1021 汇交力系的合成例1：力F作用于支架上的点C如图所示，设F=100N,试求力F分别对点A,B之矩。解：mNFFFMFMFMyAxAA=-=+=2360cos360sin2)()(
4、)(oorrrmNFFMFMFMyBxBB-=-=+=15060cos30)()()(orrr第10页/共81页1122 力偶系的合成力偶系的合成1、空间力偶系的合成空间力偶系：空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。图第11页/共81页1222 力偶理论合力偶大小：合力偶方向：2、平面力偶系的合成第12页/共81页1323 空间一般力系的简化一、力的平移定理力的平移定理：作用于刚体上的力均可从原来的作用点平移至同一刚体内任意一点，为不改变原力对刚体的作用效应，必须附加一力偶，该附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的矩。第13页/共81页14工程实例23 空间一般力系
5、的简化书P28解释 图第14页/共81页15二、空间一般力系向一点简化23 空间一般力系的简化空间一般力系：各力的作用线不在同一平面内，且 既不汇交一点又不相互平行的力系。O刚体内任选一点O，力系向O点简化O点称为简化中心图第15页/共81页1623 空间一般力系的简化图第16页/共81页1723 空间一般力系的简化1）根据力的平移定理，将各力平行移到O点，1、简化的一般结果2）空间一般力系空间汇交力系空间力偶系其中：3）空间汇交力系简化结果：合力过汇交点空间力偶系简化结果：合力偶第17页/共81页1823 空间一般力系的简化主矢量：力系中各力的矢量和。主矩：力系中各力对简化中心矩的矢量和。主
6、矢和简化中心的选择无关，主矩和简化中心的选择有关。思考：主矢和合力是否相同？结论：空间一般力系向任一点简化，一般可得到一个力 和一个力偶，该力通过简化中心，其大小和方向 等于力系的主矢，该力偶的力偶矩矢等于力系对 简化中心的主矩。第18页/共81页1923 空间一般力系的简化空间一般力系简化实例图第19页/共81页2023 空间一般力系的简化2、主矢和主矩的计算1）主矢的计算2）主矩的计算第20页/共81页2123 空间一般力系的简化三、空间一般力系简化的最后结果1、若 ,则该力系平衡（下章专门讨论）。2、若 ,则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩 。此时简化结果与简化中心
7、的位置无关。（简化中心的位置变，但力都为0，主矢与简化中心无关，但主矩大小变）第21页/共81页2223 23 空间一般力系的简化空间一般力系的简化3、若 ，则力系可合成为一个合力，合力通过简化中心O点，合力大小和方向由力系的主矢确定。此时与简化中心有关（换个简化中心，主矩不为零。）第22页/共81页2323 空间一般力系的简化4、若 1）力系可合成为一个合力，合力大小方向由主矢确定，作用线不过简化中心O,偏离的距离图第23页/共81页2423 空间一般力系的简化空间一般力系的合力矩定理：空间力系向O点简化后得主矢 和主矩 ,若 ，即垂直，可进一步合成为一个作用在新简化中心O点的合力 （书P3
8、0图）又由于第24页/共81页2523 空间一般力系的简化合力矩定理的一般形式(1).力系如有合力，则合力对任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的矢量和。(2).力系如有合力，则合力对任一轴的矩等于力系中各力对同一轴的矩的代数和。第25页/共81页2623 空间一般力系的简化2）力螺旋：由一力和在该力垂直的平面内的一力偶组成的力系。力、力偶和力螺旋是力学的基本量。右旋力螺旋：（力与力偶矩矢同向）图a。左旋力螺旋：（力与力偶矩矢反向）图bFMO（a）MO（b）F力系合成为一力螺旋第26页/共81页2723 空间一般力系的简化3）图第27页/共81页28分解为23 空间一般力系的简化1）力系可合成
9、为一个合力，情况如4,1）2）力螺旋，情况如4，2）第28页/共81页2923 空间一般力系的简化力系合成为一力螺旋。力螺旋中力的大小方向由主矢确定，力偶矩矢大小为 。垂直时中心轴不过简化中心，平移的距离为中图为垂直情况，右图为平行情况。中心轴：与力作用线相重合的直线第29页/共81页3023 空间一般力系的简化力螺旋工程实例图第30页/共81页3123 空间一般力系的简化力螺旋工程实例图第31页/共81页3223 空间一般力系的简化第32页/共81页3323 空间一般力系的简化四、平面力系简化的最后结果则力系平衡。1、若 则力系可合成为一合力偶。力偶的力偶矩由主矩确定。2、若 则力系可合成为
10、一合力。合力过简化中心，合力大小方向由主矢确定。3、若简化结果和简化中心无关。简化结果和简化中心有关。第33页/共81页3423 空间一般力系的简化 ，力系可合成为一合力。合力不过简化中心，平移的距离为d=Mo/F,合力的大小和方向由主矢确定。4、若=MOOO AO A合力作用线方程由平面内力对点之矩的解析表达式：其中：O是合力作用线上任意一点第34页/共81页3523 空间一般力系的简化五、力系简化的应用1、固定端约束物体的一部分固嵌于另一物体中所构成的约束。按照作用在物体上的主动力的不同可分为：平面固定端约束和空间固定端约束。第35页/共81页3623 空间一般力系的简化1）平面固定端约束
11、图第36页/共81页3723 空间一般力系的简化 当主动力为一平面力系时，物体在固嵌部分所受的力系也应是一个平面力系。同理根据平面力系的简化结果向某一点简化，得到一个力和一个力偶，大小方向都未知的力用一对正交力表示，力偶由平面力偶表示。FAxFAy第37页/共81页3823 空间一般力系的简化2）空间固定端约束 当主动力为一空间力系时，物体在固嵌部分所受的力系也应是一个空间力系。但可根据空间力系的简化结果向某一点简化，得到一个力和一个力偶，由于力和力偶矩矢的大小和方向都未知，可投影到三个坐标轴上，用分量来表示。第38页/共81页3923 空间一般力系的简化图第39页/共81页4023 空间一般
12、力系的简化图第40页/共81页4123 空间一般力系的简化图第41页/共81页4223 空间一般力系的简化2、分布平行力系的简化dF=q(x)dx取O点为简化中心，将力系向O点简化。主矢量：主 矩：F MO，力系可进一步简化为一合力，其作用线距O点的距离为：第42页/共81页4323 空间一般力系的简化1）均布载荷2）三角形载荷第43页/共81页4423 空间一般力系的简化例2 在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。F F1 1F F2 2F F3 3
13、F F4 4O OA AB BC Cx xy y2m2m3m3m30306060第44页/共81页4523 空间一般力系的简化F F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC Cx xy y2m2m3m3m30306060解：解：1.求主矢 建立如图坐标系Oxy主矢的大小第45页/共81页4623 空间一般力系的简化2.求主矩MO最后合成结果最后合成结果由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。如右图所示。主矢的方向：合力FR到O点的距离O OA AB BC Cx xy yF F2 26060F F3 3F F4 43030F F1 1F FR Rd dMMO
14、O第46页/共81页4723 空间一般力系的简化例3已知立方体边长为a，F1=F2=F3=P，F4=F5=,求该力系的简化结果。第47页/共81页4823 空间一般力系的简化解：1.求主矢：2.求主矩：第48页/共81页49 空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是此空间平行力系的中心。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。一、空间平行力系的中心、物体的重心24 平行力系的中心 物体的重心第49页/共81页501 1、平行力系的中心由合力矩定理可得：24 平行力系的中心 物体的重心第50页/共81页51 如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问
15、题。由合力矩定理：二、重心坐标公式：24 平行力系的中心 物体的重心第51页/共81页52 根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与y轴平行，再应用合力矩定理对x 轴取矩得：综合上述得重心坐标公式为：24 平行力系的中心 物体的重心第52页/共81页53 物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，(n-)，常用积分法求物体的重心位置。24 平行力系的中心 物体的重心第53页/共81页54 设 i 表示第i个小部分每单位体积的重量，Vi第i个小体积，则代入上式并取极限，可得：上式为重心C 坐标的精确公式。式中，24 平行力系的中心 物体的重心
16、对于均质物体，=恒量，上式成为：同理对于薄平面和细长杆均可写出相应的公式。第54页/共81页55若以Pi=mig ,P=Mg 代入上式可得质心公式24 平行力系的中心 物体的重心第55页/共81页56 同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心）坐标分别为：24 平行力系的中心 物体的重心第56页/共81页57在极限情况下，当时 重心坐标 的一般公式为：对于均质物体，=恒量，上式成为：24 平行力系的中心 物体的重心第57页/共81页581.1.积分法积分法-简单几何形状物体的重心简单几何形状物体的重心 如均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则该如均质物体有对称面，或对称轴，或对称
17、中心，则该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中心上。心上。24 平行力系的中心 物体的重心重心的求法：第58页/共81页5924 平行力系的中心 物体的重心例 1：求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。O第59页/共81页6024 平行力系的中心 物体的重心2.2.用组合法求重心用组合法求重心 （1 1）分割法）分割法 若一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些若一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心即可用下式求物体的重心是已知的，那么整个物体的重心即可用下式求出。出。第60页/共
18、81页6124 平行力系的中心 物体的重心例例2 2：试求试求形截面重心的位置，其尺寸如图所示。形截面重心的位置，其尺寸如图所示。解：解：取图示坐标，将该图形分割取图示坐标，将该图形分割为三个矩形。为三个矩形。重心坐标为重心坐标为 第61页/共81页62解：求：该组合体的重心？已知：24 平行力系的中心 物体的重心第62页/共81页6324 平行力系的中心 物体的重心例：例：试求试求形截面重心的位置，其尺寸如图所示。形截面重心的位置，其尺寸如图所示。解：解：取图示坐标，将该图形分割取图示坐标，将该图形分割为三个矩形。为三个矩形。重心坐标为重心坐标为 第63页/共81页64（2 2）负面积法（负
19、体积法）负面积法（负体积法）若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物体），则这类物体的重心，仍可应用与分割法相同的公式体），则这类物体的重心，仍可应用与分割法相同的公式来求得，只是切去部分的体积或面积应取负值。来求得，只是切去部分的体积或面积应取负值。24 平行力系的中心 物体的重心例例:偏心块偏心块,已知已知:100mm,r=17mm,b=13mm。求重心。求重心。解：解：取图示坐标。将偏心取图示坐标。将偏心块看成由三部分组成。块看成由三部分组成。第64页/共81页6524 平行力系的中心 物体的重心于是，偏心块重心的坐标为于是，偏心块重心
20、的坐标为 第65页/共81页6624 平行力系的中心 物体的重心3.3.用实验方法测定重心的位置用实验方法测定重心的位置 （1 1）悬挂法）悬挂法 第66页/共81页6724 平行力系的中心 物体的重心（2 2）称重法）称重法 设汽车是左右对称的，则重心必在对称面内，只需设汽车是左右对称的，则重心必在对称面内，只需测定重心测定重心C 距地面的高度距地面的高度zC和距后轮的距离和距后轮的距离xC。测定测定xC，将汽车后轮放在地面上，前轮放在磅秤上，将汽车后轮放在地面上，前轮放在磅秤上，车身保持水平。这时磅秤上的读数为车身保持水平。这时磅秤上的读数为F1。于是得于是得第67页/共81页68测定测定
21、zC,将汽车的后轮抬到任意高度将汽车的后轮抬到任意高度H,这时磅秤的读数为这时磅秤的读数为F2 由几何关系知由几何关系知 整理后得整理后得 同理得同理得其中其中24 平行力系的中心 物体的重心第68页/共81页6925 平行力系的合成平行力系：作用线互相平行的力系 平行力系平面平行力系空间平行力系首先研究由两个力构成的平行力系第69页/共81页7025 平行力系的合成一、两平行力的合成1、两同向平行力的合成 CKFFBFABAFAFBEDF1F2ABF1F2即合力的大小等于原有两力之和。1）大小第70页/共81页7125 平行力系的合成CKFFBFABAFAFBEDF1F2ABF1F22）作用
22、线位置由三角形的相似，ACKADA和BCKBEB，可得:第71页/共81页7225 平行力系的合成CKFFBFABAFAFBEDF1F2ABF1F2因为 第72页/共81页7325 平行力系的合成结论：两同向平行力的合成结果是一个力，这个力的大小等于原两力大小之和，作用线与原两力平行，并内分原两力的作用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比，合力的指向与原两力相同。第73页/共81页74思考：1、如果反向不等值，分析力系简化。为反向平行力，合力为：2、如果，则合力大小为？由上知：没有合力，平行力系25 平行力系的合成第74页/共81页75结论：大小不同的两个反向平行力的合成结果是一个力，
23、这合力的大小等于原两力大小之差，作用线与原两力平行，且在原两力中较大一个的外侧，并且外分原两力的作用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比。合力的指向与较大的外力相同。2、不等值的两反向平行力的合成 25 平行力系的合成第75页/共81页7625 平行力系的合成二、平行力系的中心如果 转过一定的角度，则合力大小方向如何变化？ABCFv1Fv2Fvbbb变为合力变为但点位置不变，点称为两平行力的中心。两平行力若保持大小和作用点不变，只改变作用线方向，第76页/共81页7725 平行力系的合成推广到一般，由 个力组成的平行力系如果有合力，可依次由以上方法求的合力同样可得到平行力系的中心。（计
24、算太繁琐）1、平行力系中心定义：平面力系各力的大小和作用点保持不变，作用线向同一方向转动任意角度后得到的新平行力系的合力作用线与原力系作用线的交点，就是平行力系的中心。第77页/共81页7825 平行力系的合成FvxyzOiAiFvnAnFv1AFv1C2A2Fv二、平行力系中心的计算方法：建立直角坐标系，令坐标系 轴与力系作用线平行。各分力作用点为 ，利用合力矩定理得：求ZC时力系绕x轴转过第78页/共81页7925 平行力系的合成可得到平行力系的中心：第79页/共81页8023 空间一般力系的简化例1已知已知:结构受力如图所示,图中M,r均为已知,且l=2r。求求:画出AB和BDC杆的受力图解：受力分析:1.AB杆为二力杆；2.BDC杆的C、B二 处分别受有一个 力构成力偶和力 偶M平衡。第80页/共81页81感谢您的观看！第81页/共81页