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1、或记为1、数量积定义第1页/共37页第2页/共37页(i);(ii);(iii);(iv)0,且 =0 当且仅当=0.交换律分配律非负性2、性质第3页/共37页第4页/共37页数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若 为数若 、为数：证明（1）、（3）由定义可证余下证明（2）第5页/共37页第6页/共37页设数量积的坐标表达式3.数量积得坐标表示第7页/共37页特例1：向量的长度 =(x1,y1,z1)R3,|=x1 x1 y1 y1 z1 z1，第8页/共37页特例特例2 2：向量的垂直关系向量的垂直关系:两向量垂直的充要条件是它们的数量积等于零。两向量垂直的充要条件是它
2、们的数量积等于零。=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2)R3，垂直于 的充要条件为cos=0.也即 =x1 x2 y1 y2 z1 z2=0.第9页/共37页特例特例3 3：向量的平行关系向量的平行关系:两非零向量平行的充要条件是它们的夹角余弦等于两非零向量平行的充要条件是它们的夹角余弦等于 1 1 或或 1 1。若 /,则有 0，使 =.=()()=2 ()=()=2|2.=1 0,1 0.=|2.第10页/共37页第11页/共37页解：第12页/共37页 定理(Chauchy-Schwarz不等式）向量的数量积满足其中等号成立当且仅当向量 和 线性相关.第13页/共37页第14页/
3、共37页二、两个向量的向量积向量积向量积在前面介绍的向量加法与减法时我们知道，两向量之和或差仍然是一个向量，但在介绍向量的数量积时却发现，不再是一个向量而是一个数了，因此，我们仍希望引入向量的某种“积”运算，使之结果仍为一个向量，构造的准则之一:有实际应用.第15页/共37页MBl|=,称为角速度向量.=|r|sin =|r|sin考察一个刚体绕一轴 l 作旋转，刚体上任意一点就产生线速度 v，它的大小等于点 M 到旋转轴的距离乘旋转角速度.方向垂直于过 l 及 M 的平面.vrv 的方向与,r 都垂直.=|r|sin(,r)./l 轴，满足A|v|=|MB|则第16页/共37页定义定义1：设
4、 ,R3，定义 =R3 满足ii)的指向按右手法则从 转到 确定且与,所在平面垂直.由此知上例中称 为向量 和 的向量积.v =r.i)|=|sin(,)，第17页/共37页性质性质i)ij=k,j k=i,k i=j,ii)=0,特别有ii=j j=k k=0,iii),R3 为非零向量，则 /=0.运算规律运算规律，设,R3,则i)=;ii)(+)=+;iii)()=()=().第18页/共37页向量积的坐标表示：设 =(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2)=(x1i+y1j+z1k)(x2i+y2 j+z2 k)=x1y2 ij+x1z2 ik+y1x2 j i+y1z2 j k+
5、z1x2 ki+z1y2 kj=x1y2 k+x1z2(j)+y1x2(k)+y1z2 i+z1x2 j+z1y2(i)第19页/共37页=(y1z2 z1y2)i+(z1x2 x1z2)j+(x1y2 y1x2)k第20页/共37页例例1求以 =(2,1,1),=(1,1,2)为两边的平行四边形的面积.解：解：S=|.S=|sin(,)第21页/共37页而S=|=i5j 3k=(1,5,3),第22页/共37页两非零向量 与 线性相关(共线)的充要条件是存在不为零的实数 ，使=.设=(ax,ay,az),=(ax,ay,az),则 与 共线的充要条件是 有了向量积概念后，我们又得：两非零向量
6、共线的充要条件是 0.第23页/共37页例例 已知向量(2,3,1),(3,9,6,),求 ，2。解第24页/共37页例例 求同时垂直于向量(2,3,1);=(1,2,3,)且模等于 的向量。解解设(cx,cy,cz),由向量积的定义知所求向量 与 共线，因此有又因得得第25页/共37页三、混合积定定义义 设有三个向量,称 与 的向量积 再与向量 的数量积(内积)为向量,的混合积，记作(,),(,)()(3.1)即第26页/共37页设向量(ax,ay,az),则有=(cx,cy,cz),(bx,by,bz),第27页/共37页由行列式的性质有(3.2)式(3.2)称为混合积(,)的坐标表示。第
7、28页/共37页给定三个向量、，它们的混合积有不同的组合形式，如(),(),(),()等等，除了它们都是实数这一特点外，还有其它联系吗？下面我们从几何上寻找它们的另一共性。第29页/共37页不妨设,不在同一平面上.令 ，由矢量积的几何意义|表示以,为相邻两条边的平行四边形的面积，由数量积定义有其中是 在上的投影.第30页/共37页以空间一点O为始点，作三个向量、始于O点，以这三个向量为棱作一平行六面体，如图33所示。o=图图3-3第31页/共37页当即,成右手系时，就是，所在底面上的高。即为平行六面体的体积。因此第32页/共37页若,共面，则由 垂直 所在的平面，得 垂直于，故()=0;反之，若()=0;则 垂直于，而 垂直于 和，故,共面，因此有第33页/共37页定定理理 三向量,共面的充要条件是()=0。运算性质：运算性质：第34页/共37页例例3 求由不在一个平面上的空间四点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4),为顶点的四面体的体积。由立体几何知，四面体ABCD的体积等于以AB，AC，AD 为棱的平行六面体体积的1/6，解即第35页/共37页故故第36页/共37页谢谢您的观看！第37页/共37页