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1、一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称 记作数量积(点积).引例.设一物体在常力 F 作用下,位移为 s,则力F 所做的功为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共27页记作故2.性质为两个非零向量,则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共27页3.运算运算律律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共27页例例1.证明三角形余弦定证明三角形余弦定理理证:则如图.设机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共27页4.数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则当为非零向
2、量时,由于两向量的夹角公式,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共27页例例2.已知三点已知三点 AMB.解:则求故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共27页体的质量P(流体密度为 ).求单位时间内流过该平面域的流例例3.设均匀流速设均匀流速为为的流体流过一个面积为A 的平面域,与该平面域的单位垂直向量解:单位时间内流过的体积的夹角为且为单位向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共27页二、两向量的向量二、两向量的向量积积引例.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆符合右手规则作用在杠杆上的力矩是一个向量 M:的力 F 作用在杠杆的 P点上,则力 F机动 目录 上页
3、 下页 返回 结束 夹角为第8页/共27页1.定定义义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考:右图三角形面积S机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共27页2.性质性质为非零向量,则3.运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共27页4.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共27页向量积的行列式计算向量积的行列式计算法法(行列式计算见 P339P342)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共27页例例4.已知三点已知三点角形 ABC 的面积 解:
4、如图所示,求三机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共27页刚体上一点 M 的线速度例例5.设刚体以等角速度设刚体以等角速度 绕绕 l 轴轴旋转旋转,导出的表示式.解:在轴 l 上引进一个角速度向量使其在 l 上任取一点 O,作它与则点 M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共27页*三、三、向量的混合向量的混合积积1.定义已知三向量称数量混合积.记作几何意义 为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共27页2.混合积的坐标表混合积的坐标表示示设机动 目
5、录 上页 下页 返回 结束 第16页/共27页3.性质性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共27页例例6.已知一四面体的顶已知一四面体的顶点点4),求该四面体体积.解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共27页例例7.证明四点证明四点共面.解:因故 A,B,C,D 四点共面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共27页内容小结内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共27页混合积混合积
6、:2.向量关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共27页思考与练习思考与练习1.设计算并求夹角 的正弦与余弦.答案:2.用向量方法证明正弦定理:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共27页证证:由三角形面积公式由三角形面积公式所以因机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共27页P310 3,4,6,7,9(1);(2),10,12第三节 目录 上页 下页 返回 结束 作业 第24页/共27页备用题备用题1.已知向量的夹角且解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共27页在顶点为的三角形中,求 AC 边上的高 BD.解：三角形 ABC 的面积为 2.而故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共27页感谢您的观看！第27页/共27页