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1、第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法5.1 5.1 频率特性频率特性5.2 5.2 典型环节和开环系统频率特性典型环节和开环系统频率特性5.3 5.3 频率域稳定判据频率域稳定判据5.4 5.4 稳定裕度稳定裕度5.5 5.5 开环频率特性与时域指标的关系开环频率特性与时域指标的关系5.6 5.6 闭环系统的频域性能指标闭环系统的频域性能指标自动控制原理课程的任务与体系结构自动控制原理课程的任务与体系结构频域分析频域分析是在正弦输入信号作用下，考察系统稳态输是在正弦输入信号作用下，考察系统稳态输出与输入量之间的出与输入量之间的振幅比振幅比和和相位差相位差的变化规律，其基本思想
2、是的变化规律，其基本思想是把控制系统中的各个变量看成一些由不同频率正弦信号组合而把控制系统中的各个变量看成一些由不同频率正弦信号组合而成的信号，系统响应为对不同频率信号的响应的总和。成的信号，系统响应为对不同频率信号的响应的总和。控制系统及其元部件的频率特性可运用分析法和实验控制系统及其元部件的频率特性可运用分析法和实验方法获得，并可用多种形式的曲线表示，故系统分析和控制方法获得，并可用多种形式的曲线表示，故系统分析和控制器设计可应用器设计可应用图解法图解法进行，在工程上获得了广泛应用。进行，在工程上获得了广泛应用。频率特性物理意义明确。对于一阶和二阶系统，频域频率特性物理意义明确。对于一阶和
3、二阶系统，频域性能指标和时域性能指标有确定的对应关系；对于高阶系统，性能指标和时域性能指标有确定的对应关系；对于高阶系统，可建立可建立近似近似的对应关系。的对应关系。控制系统的频域设计可兼顾动态响应和噪声抑制两方控制系统的频域设计可兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。面的要求。频域分析法不仅适用于线性定常系统，还可推广应用频域分析法不仅适用于线性定常系统，还可推广应用于某些非线性控制系统。于某些非线性控制系统。特点特点例：例：RC电路如图所示，电路如图所示，ui(t)=Asinwt,求求uo(t)=?建模建模0 5.1 频率特性频率特性5555.1.1 .1.1 频率特性的基本概念频率特性的基
4、本概念RCi解：解：暂态分量暂态分量稳态分量稳态分量系统对正弦输入信号的稳态响应称系统对正弦输入信号的稳态响应称频率响应频率响应。A()称称幅频特性幅频特性，()称称相频特性相频特性。二者统称为二者统称为频率特性频率特性。幅频特性幅频特性相频特性相频特性 一个稳定的线性定常系统，一个稳定的线性定常系统，输入正弦信号时输入正弦信号时，输，输出稳定后也是同频正弦信号，并且输出信号的振幅和出稳定后也是同频正弦信号，并且输出信号的振幅和相位均为输入信号频率的函数。相位均为输入信号频率的函数。0t用用R(j)和和C(j)分别表示输入信号分别表示输入信号Asint和输出信号和输出信号cs(t)=Asin(
5、t+)，则输出稳态分量与输入正弦信号的复数比则输出稳态分量与输入正弦信号的复数比称为该系统的频率特性函数，称为该系统的频率特性函数，简称简称频率特性频率特性，记作记作幅频特性幅频特性相频特性相频特性实频特性实频特性虚频特性虚频特性0频率特性、传递函数、微分方程的关系频率特性、传递函数、微分方程的关系系统系统频率特性频率特性传递函数传递函数微分方程微分方程频率特性是传递函数的特例频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。了系统的固有特性。
6、例：例：5555.1.2 .1.2 频率特性的图示方法频率特性的图示方法 频率特性频率特性的图形表示是描述系统的输入频率的图形表示是描述系统的输入频率从从0到变变化时频率响应的幅值、化时频率响应的幅值、相位与频率之间关系的一组曲线。相位与频率之间关系的一组曲线。常用频率特性曲线及其坐标系常用频率特性曲线及其坐标系对数幅相坐标对数幅相坐标尼柯尔斯图尼柯尔斯图对数幅相频率特性曲线对数幅相频率特性曲线3半对数坐标半对数坐标伯德图伯德图对数频率特性曲线对数频率特性曲线2极坐标极坐标极坐标图极坐标图奈奎斯特图奈奎斯特图幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线1坐标系坐标系图形常用名图形常用名名称名称序号序号 对
7、于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率当频率从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是这条曲线就是幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线，简称，简称幅相曲线幅相曲线，又称，又称Nyquist图图。1.幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线例：例：RCRC电路的幅相频率特性。电路的幅相频率特性。G(j)=R()+jI()代数式代数式=|G(j)|G(j)极坐标式极
8、坐标式 =A()ej()指数式指数式G(j)=arctanT又称为又称为伯德曲线伯德曲线（伯德图伯德图），由），由对数幅频曲线对数幅频曲线和和对数相对数相频曲线频曲线组成，是工程中广泛应用的一组曲线。组成，是工程中广泛应用的一组曲线。对数幅频曲线的横坐标采用对数分度（对数幅频曲线的横坐标采用对数分度（=lg），单位为），单位为弧度弧度/秒（秒（rad/s），纵坐标按），纵坐标按线性分度，单位是分贝（线性分度，单位是分贝（dB）；对数相频曲线的纵坐标按）；对数相频曲线的纵坐标按()线性分度，单位是度（线性分度，单位是度（）。由此构成的坐标系称为）。由此构成的坐标系称为半半对数坐标系对数坐标系。2
9、.对数频率特性曲线（对数频率特性曲线（Bode图）图）和和lg的关系表的关系表 =0在对数分度的坐标系中的负无穷远处，在对数分度的坐标系中的负无穷远处，=0不可能不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定。趣的频率范围确定。从表中可以看出，从表中可以看出，的数值每变化的数值每变化10倍，倍，在对数坐标上在对数坐标上lg相应变化一个单位。相应变化一个单位。频率变化频率变化10倍的一段对数刻度称倍的一段对数刻度称为为“十倍频程十倍频程”，用用“dec”表示。表示。轴为对数分度，轴为对数分度，即采即采用相等的距离代表相等
10、的用相等的距离代表相等的频率倍增，在伯德图中横频率倍增，在伯德图中横坐标按坐标按=lg均匀分度。均匀分度。0 0.11101002040-20单位：dB0 0.1110100十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程1461020401002十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程半对数坐标纸半对数坐标纸对数坐标图的特点对数坐标图的特点(1)由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽了由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽了(低频段低频段频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有较重要的意频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有较重要的意义义)，而将高频段相对压缩了。因此采用对数坐
11、标既可以，而将高频段相对压缩了。因此采用对数坐标既可以拓宽视野，又便于研究低频段的特性。拓宽视野，又便于研究低频段的特性。(2)当系统由多个环节串联而成时，系统的频率特性为各环当系统由多个环节串联而成时，系统的频率特性为各环节频率特性的乘积，由于对数可将乘除运算变成加减运算。节频率特性的乘积，由于对数可将乘除运算变成加减运算。以上两式表明，当绘制由多个环节串联而成的系统的对数以上两式表明，当绘制由多个环节串联而成的系统的对数坐标图时，只要将各环节对数坐标图的纵坐标相加减即可，坐标图时，只要将各环节对数坐标图的纵坐标相加减即可，从而简化了画图的过程。从而简化了画图的过程。(3)在对数坐标图上，所
12、有典型环节的对数幅频特性乃至系统在对数坐标图上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系统的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。这种近似具有一的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。这种近似具有一定的精确度。若对分段直线进行修正，即可得到精确的特性定的精确度。若对分段直线进行修正，即可得到精确的特性曲线。曲线。(4)若将实验所得的频率特性数据整理并用分段直线画出对数若将实验所得的频率特性数据整理并用分段直线画出对数频率特性，则很容易写出实验对象的频率特性表达式或传递频率特性，则很容易写出实验对象的频率特性表达式或传递函数。函数。精确曲线精确曲线渐近线渐近线转折频率转折频率对数幅相图的横坐标表示对数相频特
13、性的相角，纵坐标表对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数，又称示对数幅频特性的幅值的分贝数，又称尼柯尔斯曲线尼柯尔斯曲线。3.对数幅相曲线（对数幅相曲线（Nichols）典型环节典型环节 比例环节：比例环节：K惯性环节：惯性环节：1/(Ts+1)，式中，式中T0一阶微分环节：一阶微分环节：(Ts+1)，式中，式中T0积分环节：积分环节：1/s微分环节：微分环节：s 5.2 典型环节和开环频率特性典型环节和开环频率特性振荡环节：振荡环节：1/(s/n)2+2s/n+1；式中式中n0，00，01K1比例环节的比例环节的对数频率特性曲线对数频率特性曲线5555
14、.2.2 .2.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 积分环节积分环节0jL()=-20lg()=-90o000.110120-90-180-20两重积分两重积分L()=20lg()=90o 微分环节微分环节0j000.110120901/T,L()-20lgT=-20(lg-lg1/T)G(s)=1/(Ts+1)惯性环节惯性环节 0j100 !低通低通 滤波特性滤波特性一阶微分环节一阶微分环节G(s)=Ts+11/T,L()20lgT=20(lg-lg1/T)G(s)=Ts+100 =0j 0 1！高频放大！高频放大！抑制噪声能力下降！抑制噪声能力下降10振荡环节振荡环节00-40(a)
15、(b)延迟环节延迟环节01j000.1110100v系统系统开环开环幅相曲线主要用于判断幅相曲线主要用于判断闭环闭环系统的稳定性。系统的稳定性。v通常将系统开环传递函数写成各环节串联的形式，利用通常将系统开环传递函数写成各环节串联的形式，利用“幅值相乘、幅值相乘、幅角相加幅角相加”的原则确定几个关键点的准确的原则确定几个关键点的准确位置，位置，然后绘出图形的大致形状即可。然后绘出图形的大致形状即可。v绘制步骤如下：绘制步骤如下：(1)将系统的开环频率特性函数将系统的开环频率特性函数G(j)H(j)写成指数式写成指数式A(j)ej()或代数式或代数式P()+jQ()；(2)确定极坐标图的起点确定
16、极坐标图的起点=0+和终点和终点；(3)确定极坐标图与坐标轴的交点（若奈氏图与负实轴有确定极坐标图与坐标轴的交点（若奈氏图与负实轴有交点，则必须求出）交点，则必须求出）;(4)勾画出大致曲线。勾画出大致曲线。5555.2.3 .2.3 开环幅相曲线的绘制开环幅相曲线的绘制(奈奎斯特奈奎斯特NyquistNyquist图图)对于一般线性定常系统，其频率特性为对于一般线性定常系统，其频率特性为n阶系统奈氏图的大致规律奈氏图的大致规律K1.极坐标图的起点极坐标图的起点 0开环含有开环含有开环含有开环含有v v v v个积分个积分个积分个积分环节的系统，环节的系统，环节的系统，环节的系统，Nyquis
17、tNyquistNyquistNyquist曲线起自曲线起自曲线起自曲线起自幅角为幅角为幅角为幅角为v90v90v90v90的的的的无穷远处。无穷远处。无穷远处。无穷远处。02.极坐标图的终点极坐标图的终点NyquistNyquistNyquistNyquist曲线终点幅值为曲线终点幅值为曲线终点幅值为曲线终点幅值为 0 0 0 0，而相角为而相角为而相角为而相角为(n(n(n(nm)90m)90m)90m)90。0 0型系统（型系统（v=0=0）只包含惯性环节的只包含惯性环节的0 0型系统型系统NyquistNyquist图图设设m=0 I I型系统（型系统（v=1=1）只包含惯性环节的只包
18、含惯性环节的I I型系统型系统NyquistNyquist图图设设m=0 IIII型系统（型系统（v=2=2）只包含惯性环节的只包含惯性环节的II II型系统型系统NyquistNyquist图图设设m=0开环幅相曲线与负实轴相交时的交点开环幅相曲线与负实轴相交时的交点计算方法有两种计算方法有两种例：已知系统开环传递函数例：已知系统开环传递函数，试绘试绘制制概略开环幅相曲线。概略开环幅相曲线。解：解：=0Nyquist图与实轴相交时=0u系统的开环传递函数通常可以写成系统的开环传递函数通常可以写成典型环节典型环节串联的形式，串联的形式，即：即：G(s)H(s)=G1(s)G2(s).Gn(s)
19、u系统的开环频率特性为系统的开环频率特性为幅频特性幅频特性 =组成系统的各典型环节的组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。对数幅频特性之代数和。相频特性相频特性 =组成系统的各典型环节的组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。相频特性之代数和。5555.2.4 .2.4 开环对数频率特性曲线开环对数频率特性曲线(伯德伯德BodeBode图图)系统的开环对数幅频特性和相频特性分别为系统的开环对数幅频特性和相频特性分别为开环系统开环系统Bode图的绘制方法图的绘制方法(1)将开环传递函数表示为典型环节的串联；将开环传递函数表示为典型环节的串联；(2)确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频
20、率轴上。确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上。转折频率转折频率1/Ti，若若T1T2T3.,则有则有123.。(3)计算计算20lgK，在，在1rad/s处找到纵坐标等于处找到纵坐标等于20lgK的点，的点，过该点作斜率等于过该点作斜率等于-20vdB/dec的直线，向左延长此线，的直线，向左延长此线，得到最低频段的渐近线。得到最低频段的渐近线。(4)向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率次渐近线斜率:惯性环节，惯性环节，-20dB/dec振荡环节，振荡环节，-40dB/dec一阶微分环节，一阶微分环节，+20d
21、B/dec二阶微分环节，二阶微分环节，+40dB/dec最低频段的对数幅频特性可近似为最低频段的对数幅频特性可近似为L()=20lgK-20vlg 当当1rad/s时，时，L()=20lgK；(5)渐近线的最后一段渐近线的最后一段(高频段高频段)的斜率为的斜率为20(n-m)dB/dec；其中其中n为极点数，为极点数，m为零点数。为零点数。(6)作出用分段直线表示的渐近线后，如果需要，可按作出用分段直线表示的渐近线后，如果需要，可按照照各典型环节的误差曲线对相应段的渐近线进行修正，各典型环节的误差曲线对相应段的渐近线进行修正，即可得到精确的对数幅频特性曲线。即可得到精确的对数幅频特性曲线。(7
22、)绘制相频特性曲线，逐个作出各典型环节的对数相频绘制相频特性曲线，逐个作出各典型环节的对数相频特性曲线并进行叠加就可以得到系统开环对数相频特特性曲线并进行叠加就可以得到系统开环对数相频特性曲线。性曲线。当然，当然，也可以直接计算也可以直接计算()。通常采取求通常采取求出几个特定值的办法，出几个特定值的办法，如如(0),(1),(10),()等，等，从而得到相频特性曲线的概图。从而得到相频特性曲线的概图。例：绘制开环对数幅频渐近特性曲线，设开环传递函数为例：绘制开环对数幅频渐近特性曲线，设开环传递函数为转折频率：转折频率：0.5230低频段：低频段：V=1，在在1处处20lgK=20lg40=3
23、2,20dB/dec，解：解：典型环节传递函数表示的标准形式典型环节传递函数表示的标准形式 其对应的频率特性表达式为其对应的频率特性表达式为0.10.51210301000db20db40db-20db-40dbL()-20-40-20-40转折频率转折频率：0.5230-20例：已知单位反馈系统的开环传递函数例：已知单位反馈系统的开环传递函数试绘制开环对数频率特性曲线。试绘制开环对数频率特性曲线。解：解：典型环节传递函数表示的标准形式典型环节传递函数表示的标准形式 其对应的频率特性表达式为其对应的频率特性表达式为(1)转折频率为：转折频率为：(2)在在 时：时：(3)过过的点，画一条斜率为的
24、点，画一条斜率为-20dB/dec的斜的斜线，以此作为低频渐近线。线，以此作为低频渐近线。(4)因第一个转折频率因第一个转折频率11，故低频渐近线画至，故低频渐近线画至11为止，为止，经过经过11后曲线的斜率应为后曲线的斜率应为-40dB/dec；当曲线延伸至第二个转折频率当曲线延伸至第二个转折频率22时，斜率又恢复时，斜率又恢复为为-20dB/dec；直至直至320时，曲线斜率再增加时，曲线斜率再增加-20dB/dec，变为，变为-40dB/dec的斜线。至此已绘出系统的开环对数幅频特性的斜线。至此已绘出系统的开环对数幅频特性渐近线。渐近线。直接绘制系统开环直接绘制系统开环对数幅频特性的步骤
25、对数幅频特性的步骤(5)系统开环对数相频特性表达式为系统开环对数相频特性表达式为逐点计算结果逐点计算结果系统开环相频特性数据系统开环相频特性数据20dB/dec40dB/dec20dB/dec2040dB/dec例：例：相频特性曲线相频特性曲线例：已知系统开环传递函数为例：已知系统开环传递函数为试绘出开环对数渐近幅频曲线。试绘出开环对数渐近幅频曲线。解：解：5555.2.5 .2.5 最小相位系统、非最小相位系统最小相位系统、非最小相位系统 根据零、极点在根据零、极点在s s平面上分布情况的不同，函数平面上分布情况的不同，函数G(s)G(s)可分为最小相位系统、非最小相位系统。可分为最小相位系
26、统、非最小相位系统。u最小相位（相角）系统最小相位（相角）系统：指系统的开环传递函数中：指系统的开环传递函数中没有没有右右极点、右零点的系统。极点、右零点的系统。u非最小相位（相角）系统非最小相位（相角）系统：指系统的开环传递函数中：指系统的开环传递函数中有有右右极点或右零点的系统或者系统极点或右零点的系统或者系统带有延迟环节带有延迟环节。最小相位系统特点最小相位系统特点在具有相同幅值特性的系统中，最小相位系统的相角范在具有相同幅值特性的系统中，最小相位系统的相角范围在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函围在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围都大于最小相位传递函数
27、的相角范围数的相角范围都大于最小相位传递函数的相角范围。对于最小相位系统，其对于最小相位系统，其幅频特性幅频特性和和相频特性相频特性一一对应，一一对应，某频率段的相角主要由该频率段的幅频特性斜率所决定，某频率段的相角主要由该频率段的幅频特性斜率所决定，也受相邻频段的影响。也受相邻频段的影响。20dB/dec90040dB/dec180060dB/dec2700 设系统（或环节）的传递函数分母多项式阶次位设系统（或环节）的传递函数分母多项式阶次位n，分子多项，分子多项式的阶次为式的阶次为m（nm），系统串有），系统串有v 个积分环节，则对于最小相个积分环节，则对于最小相位系统，当位系统，当时，对
28、数幅频特性渐近线的斜率为时，对数幅频特性渐近线的斜率为20(n-m)dB/dec，相频特性的相位趋于，相频特性的相位趋于90(n-m)；而当而当0时相角等时相角等于于v*90，根据上述特征可以判断系统是否为最小相位系统。，根据上述特征可以判断系统是否为最小相位系统。对于最小相位系统，对数幅频特性与相频特性之间存在唯一对于最小相位系统，对数幅频特性与相频特性之间存在唯一确定的关系，即根据系统的对数幅频特性就可以唯一地确定相应确定的关系，即根据系统的对数幅频特性就可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数，反之亦然。因此，从系统建模与分析设的相频特性和传递函数，反之亦然。因此，从系统建模与分析设计角度
29、看，只要详细绘出幅频与相频两者中的一种就足够了，由计角度看，只要详细绘出幅频与相频两者中的一种就足够了，由于对数幅频特性很容易绘出，故对于最小相位系统通常只画出它于对数幅频特性很容易绘出，故对于最小相位系统通常只画出它的对数幅频特性，而对相频特性可以只画简图，或者不画。的对数幅频特性，而对相频特性可以只画简图，或者不画。注意注意最小相位系统的判别方法最小相位系统的判别方法5555.2.6 .2.6 根据频率特性曲线确定系统传递函数根据频率特性曲线确定系统传递函数 由于系统频率特性是线性系统（环节）在正弦输入信号由于系统频率特性是线性系统（环节）在正弦输入信号下的响应特性，下的响应特性，因此由传
30、递函数可以得到系统（环节）的频因此由传递函数可以得到系统（环节）的频率特性。率特性。反之，反之，由频率特性也可以求得相应的传递函数。由频率特性也可以求得相应的传递函数。有许多系统的物理模型很难抽象得很准确，其传递函数很难有许多系统的物理模型很难抽象得很准确，其传递函数很难用纯数学分析的方法求出。对于这类系统，可以通过实验测用纯数学分析的方法求出。对于这类系统，可以通过实验测出系统的频率特性曲线，进而求出系统的传递函数。出系统的频率特性曲线，进而求出系统的传递函数。对于最小相位系统（环节）而言，一条对数幅频特性曲对于最小相位系统（环节）而言，一条对数幅频特性曲线只能有一条对数相频特性曲线与之对应
31、，线只能有一条对数相频特性曲线与之对应，因此只需用对数因此只需用对数幅频特性曲线就可以求出系统（环节）的传递函数。幅频特性曲线就可以求出系统（环节）的传递函数。1.1.对于对于对于对于 0 0型系统系统型系统系统型系统系统型系统系统1-6012.2.对于对于对于对于 I I型系统系统型系统系统型系统系统型系统系统113.3.对于对于对于对于 IIII型系统系统型系统系统型系统系统型系统系统 例：已知某最小相位系统的渐近开环幅频特性如下图所示，例：已知某最小相位系统的渐近开环幅频特性如下图所示，试确定系统的开环传递函数，并写出系统的相频特性表达式。试确定系统的开环传递函数，并写出系统的相频特性表
32、达式。(1)由于低频段有两个积分环节，故确定直线斜率为由于低频段有两个积分环节，故确定直线斜率为。(2)在在 处处，可得，可得(3)在在处，斜率由处，斜率由变为变为，故确，故确定有一阶微分环节定有一阶微分环节。(3)在在处，斜率由处，斜率由变为变为，故确，故确定有惯性环节定有惯性环节。解：解：综上所述，系统的开环传递函数确定为综上所述，系统的开环传递函数确定为故系统的相频特性表达式为故系统的相频特性表达式为 如果两个系统具有相同的幅频特性，那么对于大于如果两个系统具有相同的幅频特性，那么对于大于0的任的任何频率，最小相位系统的相角总何频率，最小相位系统的相角总小于小于非最小相角系统的相角。非最
33、小相角系统的相角。20-20 L(dB)10L(dB)50-20-40100L(dB)-40-40-201c2幅频特性相同，但对数相频曲线却不相同幅频特性相同，但对数相频曲线却不相同。最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数。例：有两个传递函数例：有两个传递函数例：有两个系统，其开环传递函数分别为例：有两个系统，其开环传递函数分别为试比较它们对数频率特性。试比较它们对数频率特性。解：解：由于开环传递函数由于开环传递函数 中含有滞后环节，表明其为非中含有滞后环节，表
34、明其为非 最小相位系统。最小相位系统。两者的幅频特性表达式相同，两者的幅频特性表达式相同，相频特性表达式分别为相频特性表达式分别为均为均为开环系统伯德图开环系统伯德图 5.3 频率域稳定判据频率域稳定判据系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件 全部闭环极点均具有负的实部全部闭环极点均具有负的实部u 由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性；由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性；u 不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性 及性能的问题。及性能的问题。代数稳定判据代数稳定判据 Ruoth判据判据u 由由开环频率特性开环频率特性直接
35、判定直接判定闭环系统闭环系统的稳定性，开环频率的稳定性，开环频率 特性可部分实验求取特性可部分实验求取，无需求出闭环极点；无需求出闭环极点；u 便于研究系统参数和结构的改变对稳定性的影响；便于研究系统参数和结构的改变对稳定性的影响；u 可以研究包含延时环节的稳定性；可以研究包含延时环节的稳定性；u 可以推广到非线性研究。可以推广到非线性研究。频域稳定判据频域稳定判据 Nyquist判据判据对数稳定判据对数稳定判据特点特点u在在s平面上除有限个孤立奇点外函数处处解析，则在平面上除有限个孤立奇点外函数处处解析，则在s平平面上任选一复数面上任选一复数s，通过复变函数，通过复变函数F(s)的映射关系在
36、的映射关系在F(s)平面上可以找到平面上可以找到s相应的象（在相应的象（在s平面中，平面中，F(s)及其导数存及其导数存在在解析的；解析的；F(s)及其导数不存在及其导数不存在奇点，显然对奇点，显然对F(s)，p1、p2pn是其有限个奇点）。是其有限个奇点）。u若在若在F(s)的零极点分布图上，选择的零极点分布图上，选择A点，使点，使s从从A点开始点开始移动，绕移动，绕F(s)的零点的零点zi顺时针顺时针依曲线依曲线 s（s不通不通过过任何零任何零极点）极点）转转一周回到一周回到A，相相应应地，地，F(s)也可从也可从B点出点出发发回到回到B，也也画画出一条封出一条封闭闭曲曲线线 F。5555
37、.3.1 .3.1 奈氏判据的数学基础奈氏判据的数学基础1.1.幅角原理（映射原理）幅角原理（映射原理）幅角原理（映射原理）幅角原理（映射原理）若若s依依 s变化时，变化时，F(s)相角的变化为相角的变化为则有则有As sB FF从图中可以看出，除从图中可以看出，除之外，其它各项均为零。之外，其它各项均为零。F(s)=-2表示表示 s的象的象 F从从B点开始再回到点开始再回到B点点绕绕着原点着原点顺时针转顺时针转了一圈了一圈。幅角定理：幅角定理：若若s平面平面闭闭合曲合曲线线 s包包围围F(s)的的Z个零点和个零点和P个极点，个极点，则则s依依 s顺时针顺时针旋旋转转一圈一圈时时，在，在F(s
38、)平面上，平面上，F(s)闭闭合曲合曲线线 F包包围围原点的圈数原点的圈数R为为P与与Z之差，即之差，即R=P-Z。同理，若同理，若 s绕绕F(s)的极点的极点顺时针转顺时针转一圈一圈时时，在，在F(s)上上 s的象的象 F绕绕原点反原点反时针转时针转一圈一圈。As sB FF其中：其中：R0，表示，表示 F逆时针逆时针包围包围F(s)平面的原点；平面的原点；R=0，表示不包围，表示不包围F(s)平面的原点。平面的原点。uF(s)零点为闭环传递函数的极点，零点为闭环传递函数的极点，F(s)极点为开环传递函数极点为开环传递函数的极点；的极点；u开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等于分子多项开
39、环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等于分子多项式的阶次，式的阶次，F(s)零极点个数相同；零极点个数相同；uF(s)和和G(s)H(s)只差常数。只差常数。设设则则定义一个辅助函数定义一个辅助函数辅辅助函数助函数F(s)有如下特点有如下特点2.2.辅助函数辅助函数辅助函数辅助函数F F(s s)的选择的选择的选择的选择F(s)函数的特点函数的特点3.s3.s平面闭合曲线平面闭合曲线平面闭合曲线平面闭合曲线 （奈氏路径）（奈氏路径）（奈氏路径）（奈氏路径）的选择的选择的选择的选择顺时针方向包围整个顺时针方向包围整个s右半面。由于不能通过右半面。由于不能通过F(s)的任何零、极点，的任何零、极点
40、，所以当所以当F(s)有若干个极有若干个极点处于点处于s平面虚轴（包平面虚轴（包括原点）上时，则以括原点）上时，则以这些点为圆心，作半这些点为圆心，作半径为无穷小的半圆，径为无穷小的半圆，按按逆时针逆时针方向方向从右侧从右侧绕过绕过这些点。这些点。设：设：闭环系统特征多项式闭环系统特征多项式显然：显然：F(s)的零点就是闭环系统的极点的零点就是闭环系统的极点5555.3.2 .3.2 奈奎斯特（奈奎斯特（NyquistNyquist）稳定判据）稳定判据 闭环系统稳定的充要条件是：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路径绕一圈沿着奈氏路径绕一圈（当当从从-+变化时）变化时），G(j)H(j)曲线
41、曲线逆时针逆时针包围包围（-1，j0）点）点P圈。圈。P为为G(s)H(s)位于位于s右半平面的极点数；右半平面的极点数；RG(j)H(j)曲线曲线逆时针逆时针绕（绕（-1，j0）点圈数；）点圈数；Z闭环系统位于闭环系统位于s右半平面的极点数。右半平面的极点数。Z=0，说明系统闭环传递函数无极点在，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开平面，系统是右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。稳定的；反之，系统则是不稳定的。若系统开环稳定，则闭环稳定的充要条件是开环幅相曲线不包若系统开环稳定，则闭环稳定的充要条件是开环幅相曲线不包围（围（-1，j0）点。）点。奈氏判据奈氏判据例：已知例：已知
42、某系统某系统G(j)H(j)轨迹如下，轨迹如下，系统开环不稳定系统开环不稳定P=1，试试分析系统稳定性。分析系统稳定性。由由=0+变化时变化时G(j)H(j)的曲线，根据镜像的曲线，根据镜像对称得对称得=-0-变化时变化时G(j)H(j)的曲线，得到一封的曲线，得到一封闭曲线。闭曲线。解：解：G(j)H(j)(从从-+)曲曲线线逆逆时时针包围（针包围（-1-1，j0 0）点一次，）点一次，即即R=1。Z=P-R=0，故，故闭环系统稳定。闭环系统稳定。例例：已已知知单单位位反反馈馈系系统统，开开环环极极点点均均在在s 平平面面的的左左半半平平面面，开环频率特性极坐标图如图所示，试判断闭环系统的稳
43、定性。开环频率特性极坐标图如图所示，试判断闭环系统的稳定性。系统开环稳定，即系统开环稳定，即P=0，从图中看到，从图中看到由由-+变化时，变化时，G(j)H(j)曲线不包围曲线不包围(-1，j0)点，即点，即N=0，Z=P-N=0，所以，所以，闭环系统是稳定的。闭环系统是稳定的。解：解：说明说明:如果开环传递函数如果开环传递函数G(s)H(s)含有含有个积分环节，奈氏曲线为个积分环节，奈氏曲线为一不封闭曲线，此时为了说明包围一不封闭曲线，此时为了说明包围（-1，j0）点的情况，可作）点的情况，可作辅助处理，即辅助处理，即由由=0+变化时变化时G(j)H(j)的曲线，根据镜像的曲线，根据镜像对称
44、得对称得=-0-变化时变化时G(j)H(j)的曲线，然后的曲线，然后从从=0-开始，开始，对应的对应的G(j)H(j)以以无穷大无穷大为半径，按为半径，按顺时针顺时针方向绕过方向绕过角角度，与度，与=0+曲线相接，成为封闭曲线，按照奈氏判据判定稳曲线相接，成为封闭曲线，按照奈氏判据判定稳定性。定性。由由=0+变化时变化时G(j)H(j)的曲线，根据镜像对称得的曲线，根据镜像对称得=-0-变化时变化时G(j)H(j)的曲线，从的曲线，从=0-到到=0+以无限大为半径顺时针转过以无限大为半径顺时针转过，得封闭曲线。，得封闭曲线。例：系统开环传递函数为例：系统开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。试
45、判断闭环系统的稳定性。解：解：当当时时，G(j)H(j)(从从-+)曲曲线线不不包包围围（-1-1，j0 0）点点，闭环系统稳定。闭环系统稳定。当当时时，G(j)H(j)(从从-+)曲曲线线穿穿越越(-1，j0)点点，系系统处于临界状态统处于临界状态。可见：当可见：当由由-+变化时，变化时，当当时，时，G(j)H(j)(从从-+)曲线顺时针包围（曲线顺时针包围（-1-1，j0 0）点两）点两圈，即圈，即N=-2=-2，而开环系统稳定，即，而开环系统稳定，即P=0 0，所以闭环系统右极点个数所以闭环系统右极点个数Z=P-N=2 2，闭，闭环系统不稳定，有两个闭环右极点。环系统不稳定，有两个闭环右
46、极点。Nyquist稳定判据穿越法稳定判据穿越法穿越穿越：指开环：指开环Nyquist曲线穿过曲线穿过 (-1,j0)点左边实轴点左边实轴时的情况。时的情况。正穿越正穿越：增大时，增大时，Nyquist曲线曲线由上而下由上而下(相角增加相角增加)穿过穿过-1-段实轴，用段实轴，用 表示。表示。G(j)H(j)曲线对称实轴。应用中只画曲线对称实轴。应用中只画部分。部分。负穿越负穿越：增大时，增大时，Nyquist曲线曲线由下而上（相角减少）由下而上（相角减少）穿过穿过 -1-段实轴，用段实轴，用 表示。表示。正穿越正穿越负穿越负穿越例：例：半次穿越半次穿越：若若G(j)H(j)轨迹起始或终止于轨
47、迹起始或终止于(-1,j0)以左的负以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有轴上，则穿越次数为半次，且同样有+1/2次穿越和次穿越和-1/2次穿次穿越。越。+1/2次穿越次穿越-1/2次穿越次穿越Nyquist稳定判据：稳定判据：当当由由0变化到变化到+时，时，Nyquist曲线在曲线在(-1,j0)点左边实轴上的正负穿越次数之差等于点左边实轴上的正负穿越次数之差等于P/2时时(P为系统开环传函为系统开环传函右极点数右极点数)，闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。，闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。若开环传递函数无极点分布在若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即右半平面，即，则，则闭环系统
48、稳定的充要条件应该是闭环系统稳定的充要条件应该是N=0。注意：注意：这里对应的这里对应的变化范围是变化范围是。P=0P=2开环稳定开环稳定闭环稳定闭环稳定开环不稳定开环不稳定闭环稳定闭环稳定注意：注意：分析分析G(j)H(j)轨迹穿越轨迹穿越(-1,j0)点以左的负实轴。点以左的负实轴。例：两系统例：两系统G(j)H(j)轨迹如下，已知其开环极点在轨迹如下，已知其开环极点在s右半平右半平面的分布情况，试判别系统的稳定性。面的分布情况，试判别系统的稳定性。解：解：例：已知例：已知某系统某系统G(j)H(j)轨迹如下，轨迹如下，系统开环不稳定系统开环不稳定P=1，试试分析系统稳定性。分析系统稳定性
49、。N=N+-N-=1/2Z=P-2N=1-1=0闭环系统稳定。闭环系统稳定。解：解：P=1 如果开环传递函数如果开环传递函数G(s)H(s)含有含有个积分环节，奈氏曲线为个积分环节，奈氏曲线为一不封闭曲线，此时为了说明包围一不封闭曲线，此时为了说明包围（-1，j0）点的情况，可作）点的情况，可作辅助处理，即从辅助处理，即从G(j0+)H(j0+)点起按点起按逆时针逆时针方向方向以以无穷大无穷大为半为半径径作圆心角为作圆心角为的圆弧，按照奈氏判据判定稳定性。的圆弧，按照奈氏判据判定稳定性。说明说明:例：两系统奈氏曲线如图，试分析系统稳定性。例：两系统奈氏曲线如图，试分析系统稳定性。(a)(b)解
50、：解：(a)N=N+-N=（0-1）=-1，P=0，故，故Z=P-2N=2，闭环系统不稳定。，闭环系统不稳定。(b)K1时，时，N=N+-N-=1-1/2=1/2，P=1，故，故Z=P-2N=0，闭环系统稳定；，闭环系统稳定；K0的部分；的部分；单位圆内部单位圆内部Bode图图L()0范围内的与范围内的与180线线的穿越点的穿越点2.Bode图上的稳定判据图上的稳定判据闭环系统稳定的充要条件是：当闭环系统稳定的充要条件是：当由由0变到变到+时，在开环时，在开环对数幅频特性对数幅频特性L()0的频段内，相频特性的频段内，相频特性()穿越穿越-线的次线的次数（正穿越与负穿越次数之差）为数（正穿越与