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1、高等院校非数学类本科数学课程 多元微积分学 大 学 数 学（三三）第二讲第二讲第二讲第二讲 多元函数的极限、连续性多元函数的极限、连续性多元函数的极限、连续性多元函数的极限、连续性第一章 多元函数微分学第二第二节节 多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性正确理解多元函数的重极限和累次极限的概念。正确理解多元函数的重极限和累次极限的概念。了解多元函数的重极限和累次极限的区别和联系。了解多元函数的重极限和累次极限的区别和联系。掌握极限的运算法则。掌握极限的运算法则。正确理解多元函数连续性的概念。正确理解多元函数连续性的概念。掌握多元连续函数的运算法则。掌握多元连续函数的运算法则。掌握有界闭区
2、域上连续函数的性质。掌握有界闭区域上连续函数的性质。本节教学要求：本节教学要求：重极限重极限 累次极限累次极限 连续性连续性 极限的运算法则极限的运算法则本节关键概念和理论本节关键概念和理论本节关键概念和理论本节关键概念和理论 有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质第二节 多元函数的极限与连续性一.多元函数的极限及极限的运算请点击请点击二.多元函数的连续性三.多元函数的间断点1.回忆与推广请点击请点击一、多元函数的极限及其运算2.二元函数极限的定义3.多元函数极限的性质、定理4.累次极限回忆一元函数的情形回忆一元函数的情形推广到多元函数中推广到多元函数中验证可行性验证可行性形式上
3、形式上形式上形式上1.1.回忆与推广回忆与推广x0 xy().()a.xO.x0 xy().()a.xO.x0 xy().()a.xO.回忆一元函数极限的概念的回忆一元函数极限的概念的回忆一元函数极限的概念的回忆一元函数极限的概念的现在进行形式上的推广现在进行形式上的推广回忆一元函数极限的概念的回忆一元函数极限的概念的回忆一元函数极限的概念的回忆一元函数极限的概念的现在进行形式上的推广现在进行形式上的推广 进行整理我们完成了极限概念的推广工作我们完成了极限概念的推广工作我们完成了极限概念的推广工作我们完成了极限概念的推广工作我们完成了极限概念的推广工作我们完成了极限概念的推广工作.时的极限时的
4、极限(二重极限二重极限),),记为记为2.2.二元函数极限的定义二元函数极限的定义几点注意 多元函数的极限如果存在多元函数的极限如果存在,则必唯一则必唯一.应应用用这这个个性性质质,可可将将一一元元函函数数的的极极限限运运算算法法则则和和性性质质推推广广到到多多元元函数中来函数中来.3.3.多元函数极限的性质、定理多元函数极限的性质、定理例(夹逼定理)由于由于怎么办怎么办怎么办怎么办?怎么办怎么办怎么办怎么办?而而故由夹逼定理故由夹逼定理,得得夹逼定理夹逼定理 例例解解例(无穷小性质)又又(有界量有界量)(无穷小量无穷小量)无穷小量的性质无穷小量的性质由于由于 例例解解例(有理化)有理化有理化
5、 (平方差公式平方差公式)例例解解例(等价无穷小)等价无穷小替代等价无穷小替代 例例解解利用重要极限利用重要极限此题另一解法此题另一解法此题另一解法此题另一解法似曾相识似曾相识例(重要极限)例例解解利用重要极限利用重要极限例(极限不存在)例例解解由于极限存在应与的方式和方向无关,而上述结果与 k 值有关,故原极限不存在.该例还说明一个问题该例还说明一个问题 对此你有什么想法?多元函数的极限不存在.“无穷多个方向”不等于“任意方向”.可利用方向性来判别 累次极限是指的下列极限 一般说来,这两个极限不一定相等.在高等数学中,运算顺序不能随便交换.4.累次极限若两个累次极限存在,但不相等：定理例由于
6、两个累次极限不相等,故 例例解解例 二重极限存在不一定能推出累次极限存在.但 例例即算两个累次极限存在且相等,也不一定能推出二重极限存在.请同学们课后讨论函数时的两类极限.当证明二元函数极限不存在的常用方法有：证明二元函数极限不存在的常用方法有：1.证明沿某特殊路径的极限不存在.2.验证沿某两个特殊路径的极限存在但不相等.对一元函数的极限,只需讨论它的两个单侧极限,但二元函数的极限要求讨论“所有”路径.二.多元函数的连续性1.二元函数连续性的定义请点击请点击2.二元连续函数的运算3.多元初等函数4.有界闭区域上连续函数的性质1.1.二元函数连续性的定义二元函数连续性的定义若若函数函数在区域在区
7、域 上的每一点上的每一点都连续都连续,则称函数则称函数在区域在区域 上连续上连续,记为记为数中讨论区间端点处连续性的情形数中讨论区间端点处连续性的情形.如果点如果点为区域为区域 的边界点的边界点,则只需讨论则只需讨论点点的邻域中属于的邻域中属于 的那一部分的那一部分,类似于一元函类似于一元函与一元函数类似：与一元函数类似：与一元函数类似：与一元函数类似：连续的多元函数的连续的多元函数的和、差、积、和、差、积、商商(分母不能为零分母不能为零)仍是仍是连续函数；连续函数；可以参考以下两本书连续的多元函数的复合函数仍连续连续的多元函数的复合函数仍连续.在一定的条件下在一定的条件下,2.二元连续函数的
8、运算1.分析中的反例 美 B.R.盖尔鲍姆,J.M.H.奥姆斯特德,上海科学出版社,1980.参考书：2.高等数学是非300例分析 计幕然等,北京航空学院出版社,1985.与一元函数类似与一元函数类似 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成的多元函数,称为多元初等函数.由基本初等函数的连续性及连续函数的运算法则可知:多元初等函数在其有定义的区域内是连续的.3.多元初等函数 一元连续函数在闭区间上的性质,推广到多元函数中应是连续函数在有界闭区域上的性质.在空间中,闭区域不一定有界.在一维空间中,闭区间一定是有界的.4.有界闭区域上连续函数的性质性质1(最大、最小值定理)推 论设为有界闭
9、区域.任意一个值,至少存在一点使得且在上取两个若函数值与则对于与间的性质2(介值定理)从定理可看出：则至少存在一点使得若取 由连续性根存在定理能否由介值定理得出?设为有界闭区域.存在一点使得两个函数值与,且,则至少又在上取若 该定理实际上是介值定理的推论.性质3(根存在定理)通常说：通常说：如果函数如果函数在点在点处处不连续不连续,则称函数在点则称函数在点处间断处间断点点称为函数的间断点称为函数的间断点.三.多元函数的间断点 寻找间断点的方法寻找间断点的方法与一元函数的情况类似与一元函数的情况类似函数无定义的点;极限存在但不等于函数例如：极限不存在的点;在该点的函数值的点等等.例由分母不能为零由分母不能为零,的一切点均为函的一切点均为函数的间断点数的间断点.Oxy 例例解解直线直线上上多元函数间断点多元函数间断点多元函数的间断点可以构成直线、曲线、曲面等,也可以是某些点的集合.情形比较复杂情形比较复杂例由分母不能为零由分母不能为零,例例解解故点故点为函数的间断点为函数的间断点.例由三角函数知识可知由三角函数知识可知,所求间断点为所求间断点为Oxy同心圆同心圆 例例解解例(极坐标)根据函数连续的定义根据函数连续的定义,只需证明只需证明 想想,应该怎么做?例例解解运用夹逼定理运用夹逼定理:故函数在点故函数在点(0,0)处连续处连续.运用极坐标运用极坐标