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1、第8章 多元函数微分法,及其应用,2,第8章 多元函数微分法及其应用,上册已经讨论了一元函数微积分.,但在自然科,学、工程技术和经济生活的众多领域中,往往涉及,到多个因素之间关系的问题.,这在数学上就表现为,一个变量依赖于多个变量的情形,因而导出了多元,函数的概念及其研究与应用.,本章在一元函数微分学的基础上,数的微分方法及其应用.,讨论多元函,以二元函数为主,但所得到,的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以,上的多元函数.,同时, 还须特别注意一些与一元函数,微分学显著不同的性质和特点.,3,8.1 多元函数的极限与连续,平面点集,多元函数的概念,多元函数的极限,多元函数的连续性,小结
2、 思考题 作业,function of many variables,4,一、平面点集,实数组(x, y)的全体,即,建立了坐标系的平面称为坐标面.,xOy坐标面,坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为,平面点集,记作,二元有序,5,邻域 (Neighborhood),设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点,. P0,令,有时简记为,(“开”意味着, 将邻域去掉中心,称之为,去心邻域.,它是以P0为中心、,为半径的开圆,也称为,不包括边界), 也可将以P0为中心的某个矩形内(不算周界),的全体点称之为点P0邻域.,6,(1) 内点,显然, E的内点属于E.,(2) 外点,如果存在点
3、P的某个邻域,则称P为E的,外点.,(3) 边界点,如点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.,任意一点,与任意一点集,之间,必有以下四种关系中的一种:,设E为一平面点集,若存在,称P为E的,内点.,E的边界点的全体称为E的,边界,记作,使U(P)E = ,下面利用邻域来描述点和点集之间的关系.,7,(4) 聚点,如果对于任意给定的,P的去心邻域,内总有E中的点,则称P是E的,聚点.,(P本身可属于E, 也可不属,于E ),聚点从直观上讲:,这点附近有无穷多个E的点.,例如,若,则P为E的边界点,E的边界,则P为E的内点;,也是E的聚点;,若,或,也是E的聚点;,或
4、,设点集,8,开集,若点集E的任意一点都是E的内点,例,称E为,E1为开集.,下面再定义一些重要,闭集,若点集E的边界,称E为闭集.,例,E2为闭集.,例,E3既非开集,也非闭集.,根据点集所属点的特征,的平面点集的概念.,开集.,9,区域(或开区域),连通的开集称为,连通集.,如果点集E内任何两点,都可用折线连,且该折线上的点都属于E,称E是,区域或开区域.,连通集,结起来,闭区域,开区域连同其边界一起所构成的点集,称为闭区域.,都是闭区域.,如,10,是区域吗?,不是区域.,因为不连通.,连结两点的任何折线都与,相交点不属于E.,y轴相交,练习,连通的开集称为区域或开区域.,是区域.,11
5、,有界集,否则称为,总可以被包围在一个以原点为中心、,大的圆内的区域,称此区域为,半径适当,(可伸展到无限远处的区域 ).,有界集.,集,例,无界,是有界闭区域;,是无界开区域;,是无界闭区域.,12,有界开区域,有界半开半闭区域,有界闭区域,无界闭区域,13,二、多元函数的概念,1. 二元函数的定义,例,有如下的关系,为正的常数).,在西方经济学中称此函数关系为 Cobb-Douglas,在生产中, 产量Y与投入资金K和劳动力L,之间,生产函数.,当投入资金K和劳动力L的值分别给定时,产量Y就有一个确定的值与它们对应.,上述关系式,按照,14,例,它们之间具有如下的关系,设R是电阻R1, R
6、2并联后的总电阻.,由电学,当电阻R1, R2取定后,知识知道,R的值就唯一确定了.,15,点集D称为该函数的,定义8.1,称映射,为定义在D上的二元(点)函数,设D是R2的一个非空子集,记为,称x, y为,数集,称z为,自变量,因变量.,定义域,的值域,称为该函数,记为,或,16,二元及二元以上的函数统称为,多元函数定义域:,定义域为符合实际意义,的自变量取值的全体.,记为f (x0, y0),函数 z = f (x, y) 在点P0(x0, y0)处的函数值,或f (P0).,类似,可定义n元函数.,多元函数.,实际问题中的函数:,的自变量取值的全体.,纯数学问题的函数:,定义域为使运算有
7、意义,多元函数的自然定义域.,17,例1 求下面函数的定义域,解,无界闭区域,即定义域为,18,解,定义域是,有界半开半闭区域,练习,19,2. 二元函数的几何意义,研究单值函数,二元函数的图形通常是一张,曲面.,20,如,由空间解析几何知,函数,的图形是以原点为中心,R为半径的上,它在xOy平面上的投影是圆域:,D就是函数,的定义域.,半球面.,21,的图形是双曲抛物面(马鞍面).,又如,它在xOy平面上的投影是全平面.,22,从一元函数到二元函数,在内容和方法,上都会出现一些实质性的差别,而多元函数,之间差异不大.,因此研究多元函数时,将以二,元函数为主.,23,三、多元函数的极限,讨论二
8、元函数z = f (x, y),怎样描述呢?,(1) P (x, y)趋向于P0(x0, y0)的,回忆: 一元函数的极限,路径又是多种多样的.,方向有任意,多个,24,(2) 变点P (x, y),这样, 可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义.,总可以用,来表示极限过程:,与定点P0(x0, y0)之间的距离,不论P(x, y)趋向于P0(x0, y0),的过程多复杂,记为,25,记作,定义8.2,有,成立.,的极限.,设二元函数 f (P ) = f (x, y)的,P0(x0, y0)是D的聚点.,定义域为D,如果存在常数 A,也记作,26,说明,(1) 定义中,(2) 二元
9、函数的极限也叫,(double limit),的方式是任意的;,二重极限.,关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去.,27,相同点,多元函数的极限与一元函数的极限的,一元函数在某点的极限存在的,?,定义相同.,差异,数必需是点 P 在定义域内以任何方式和途径,而多元函,趋于P0时,相同点和差异是什么,充要条件是左右极限都存在且相等;,f (P)都有极限,且相等.,28,多元函数的极限的基本问题有三类:,(1) 研究二元函数极限的存在性.,常研究,若其依赖于k ,则,欲证明极限存在,*,特别对于,*,不存在.,常用定义或夹逼定理.,欲证明极限不存在,(通过观察、猜测).,常选择两条不同
10、路径,求出不同的极限值.,找一条特殊路径,使函数沿此路径的极限不存在.,29,多元函数的极限的基本问题有三类:,(2) 求极限值.,常按一元函数极限的求法求之.,(3) 研究二重极限与累次极限(二次极限)间的,(洛必达法则除外),关系.,如极限的保号性、,无穷小与有界量的乘积仍,极限的四则运算、,夹逼定理、,等价无穷小替换乘除因子定理.,两个重要,是无穷小、,极限、,30,则当,例2,证,取,有,证毕.,用定义.,用P与O分别表示点(x, y)与(0,0),因为,31,则当,例3,证,取,有,证毕.,用P与O分别表示点(x, y)与(0,0),因为,用定义.,32,例4 求极限,解,其中,用夹
11、逼定理.,所以,33,解,故,原式 =,练习,34,设函数,证明:,当P(x, y)沿x轴的方向,当P(x, y)沿y轴的方向,也有,证,函数的极限不存在.,无限接近点(0,0)时,同样,无限接近点(0,0)时,例4,35,函数的极限存在且相等.,当P (x, y) 沿直线 y = kx 的方向,其值随 k 的不同而变化.,所以, 极限不存在.,说明函数取上面两个,无限接近于,点(0,0)时,另一方面,无限接近点(0,0)时,设函数,证明:,函数的极限不存在.,特殊方向,36,练习,取,解,当P(x, y)沿x轴的方向无限接近点(0,0)时,当P(x, y)沿y轴的方向无限接近点(0,0)时,
12、错!,所以,37,极限不存在.,取,此时可断言 f (x, y)在点P0(x0, y0),找两种不同趋近方式,但两者不相等,处极限不存在.,当P(x, y)沿y轴的方向无限接近点(0,0)时,思考:,还有别的方法?,38,求极限,解,将分母有理化, 得,练习,39,求,答: 0,答:不存在.,答:不存在.,二次极限都不存在时,练习,存在.,二次极限与二重极限有本质的区别,但二重极限也可能,二次极限,与二重极限是两个不同的概念.,40,四、多元函数的连续性,设二元函数 f (P ) = f (x, y)的定义域为D,则称函数f (x, y)在点P0(x0, y0)连续.,定义8.3,如果,如果函
13、数 f (x, y)在D的每一点处都连续,连续函数.,P0 (x0, y0)是D的聚点,例如,函数,在(x, y)平面上,处处连续.,则称,函数 f (x, y)在D上连续,或者称函数 f (x, y)是D上的,41,例 5,证,令,证明: f ( x, y)在点(0,0)连续.,显然有,于是,所以f ( x, y)在点(0,0)连续.,42,设函数 f (x, y)的定义域为D,则称点P0(x0, y0)为函数f (x, y)的间断点.,定义8.4,是D的聚点,P0 (x0, y0),如果函数 f (x, y)在点P0 (x0, y0)不连续,的间断线.,(0,0)是函数,的(0,0)点是该
14、函数的间断点.,函数,函数的极限不存在,前面已证),例如,的间断点;,是函数,例如,43,在空间直角坐标系下,平面区域E上的二元连,续函数 z = f (x, y)的图形是在E上的一张“无孔无缝”,的连续曲面.,(分母不为零)及复合仍是连续的.,同一元函数一样,多元函数的和、差、积、商,每个自变量的基本,式子表达的函数称为,初等函数经有限次四则运算和有限次复合,由一个,指包含在定义域内的区域或闭区域.,一切多元初等函数在其定义区域内是,结论,连续的.,多元初等函数.,44,例6 求极限,解,是初等函数,而(1,0)在其定义域内,故 f (x, y)在(1,0)点处连续,所以,由多元初等函数的连
15、续性,代入法,如果要求它在点P0,处的极限,而该点又在此函数的定义区域内,则极限,值就是函数在该点的函数值, 即,45,想一想,如何证明 f (x, y)在,?,证,xOy面上处处连续 ?,是初等函数,f (x, y)处处连续.,下面证明,也连续.,46,又,于是,即证明了f (x, y)在,由于,xOy面上处处连续.,证明 f ( x, y)在,xOy面上处处连续?,从而 f (x, y),也连续,夹逼准则,47,有界闭区域上连续的多元函数的性质:,最大值和最小值.,性质8.1(有界性与最大值最小值存在性),性质8.2(介值存在性),在有界闭区域上连续的多元函数必有界,且有,在有界闭区域上连续的多元函数必能取到介,于最大值与最小值之间的任何值.,48,五、小结,多元函数的极限,多元函数连续性,有界闭区域上连续多元函数的性质,(与一元函数的极限加以比较: 注意相同点与差异),多元函数的概念,内点, 边界点, 聚点, 开集, 连通, 区域,平面点集,49,思考题,必定不存在.,是非题,50,思考题 (是非题),必定不存在.,是,因为对不同的k值,不同,不存在.,51,作业,习题8.1(第313页),