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1、7-2 多元函数的概念、多元函数的概念、极限和连续极限和连续 11.柱面柱面:复复 习习柱面方程一定是柱面方程一定是柱面方程一定是柱面方程一定是二元方程二元方程二元方程二元方程，缺少哪个变量字母，缺少哪个变量字母，缺少哪个变量字母，缺少哪个变量字母，母线就平行于哪个坐标轴母线就平行于哪个坐标轴母线就平行于哪个坐标轴母线就平行于哪个坐标轴.2.椭球面椭球面3.椭圆锥面椭圆锥面 4.椭圆抛物面椭圆抛物面5.双曲抛物面双曲抛物面 2第二节多元函数的概念、极限和连续 第七七章 一、平面区域一、平面区域 二、多元函数的概念二、多元函数的概念 三、二元函数的极限三、二元函数的极限四、二元函数的连续性四、二
2、元函数的连续性 3一、平面区域一、平面区域1.1.平面点集平面点集:坐标平面上具有某种性质坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合的点的集合,称为平面点集称为平面点集.如：如：oxyoxy4242.2.邻域邻域邻域邻域设设设设是是是是xoy平面上的一个点，平面上的一个点，平面上的一个点，平面上的一个点，是某是某是某是某一正数，一正数，一正数，一正数，与点与点与点与点距离小于距离小于距离小于距离小于的点的点的点的点P P(x x,y y)的的的的全体，全体，全体，全体，称为称为称为称为点点点点的的的的邻域，邻域，邻域，邻域，记为记为记为记为中心，中心，中心，中心，半径半径半径半径.几何意义：几何意
3、义：表示表示xoy面上以面上以为中心为中心为中心为中心,为半径的圆的内部的点为半径的圆的内部的点为半径的圆的内部的点为半径的圆的内部的点 p p(x,yx,y)的全体的全体的全体的全体,不包括圆周上的点不包括圆周上的点.5的去心邻域：的去心邻域：的去心邻域：的去心邻域：注意注意:(1)如果不强调邻域的半径如果不强调邻域的半径,即即6在讨论实际问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为平面上的方邻域为。因为方邻域与圆因为方邻域与圆邻域可以互相包含邻域可以互相包含.73.内点和开集内点和开集设有点集设有点集 E 及一点及一点 P:若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U
4、(P)E,则称则称 P 为为 E 的的内点；内点；pp 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P)E=,则称则称 P 为为 E 的的外点外点;若点集若点集 E 的点都是的点都是内点，内点，则称则称 E 为为开集；开集；例如，例如，例如，例如，即为开集即为开集即为开集即为开集84.边界点与边界边界点与边界设有点集设有点集 E 及一点及一点 P:若对点若对点 P 的任一邻域的任一邻域 U(P)既含既含 E中的内点也含中的内点也含 E则称则称 P 为为 E 的的边界点边界点.的外点的外点,显然显然,E 的内点必属于的内点必属于 E,E 的外点必不属于的外点必不属于 E,E 的的边界点可能属于边
5、界点可能属于 E,也可能不属于也可能不属于 E.p E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 E 的的边界边界,记作记作 E;9D5.开区域及闭区域开区域及闭区域 若集若集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连的折线相连,开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域.则称则称 D 是是连通的连通的;连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域,简称简称区域区域;。例如，在平面上例如，在平面上开区域开区域 10闭区域闭区域 点集点集 是开集，是开集，整个平面整个平面 是最大的开区域是最大的开区域,也是最大的闭区域；也是最大的闭区域；但非开区域但
6、非开区域.o11 对区域对区域 D,若存在正数若存在正数 K,使一切点使一切点 P D 与某定与某定点点 A 的距离的距离 AP K,则称则称 D 为为有界区域有界区域,无无界区域界区域.否则称为否则称为6.有界区域及无界区域有界区域及无界区域例如：例如：是有界闭区域。是有界闭区域。是有界闭区域。是有界闭区域。是无界开区域。是无界开区域。是无界开区域。是无界开区域。127.n 维空间维空间n 元有序数组元有序数组的全体称为的全体称为 n 维空间维空间,说明：说明：说明：说明：(1)n维空间的维空间的记号记号为为n 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中的称为空间中的称为该点的第称为
7、该点的第 k 个个坐标坐标.一个一个点点,当所有坐标当所有坐标称该元素为称该元素为 中的零元中的零元,记作记作O.(2)n维空间中维空间中两点间距离公式两点间距离公式 的的距离距离记作记作规定为规定为 13(2)n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 设两点为设两点为与零元与零元 O 的距离为的距离为 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离注注:n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念也可类似定义也可类似定义14二、多元函数的概念二、多元函数的概念 1.定义定义 设设D是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，如果对于每个点如
8、果对于每个点变量变量 按照一定的对应法则总有确定的值按照一定的对应法则总有确定的值和它对应，和它对应，则称则称z是变量是变量的的二元函数，二元函数，类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数D称为定义域称为定义域.函数值记为：函数值记为：记为：记为：（或记为（或记为 ）.如如则则当当时，时，n元函数统称为多元函数元函数统称为多元函数.15解解2.2.定义域定义域二元函数的两要素二元函数的两要素二元函数的两要素二元函数的两要素:二元函数的定义域较复杂二元函数的定义域较复杂二元函数的定义域较复杂二元函数的定义域较复杂,一般来说它是平面区域一般来说它是平面区域一般来说它是平面区域一
9、般来说它是平面区域.它的求法与一元函数类似它的求法与一元函数类似它的求法与一元函数类似它的求法与一元函数类似.例例1 求求求求的定义域的定义域的定义域的定义域定义域和对应法则定义域和对应法则定义域和对应法则定义域和对应法则.xoy所求定义域为所求定义域为所求定义域为所求定义域为:16例例2 求下列的定义域求下列的定义域求下列的定义域求下列的定义域D D，并描出，并描出，并描出，并描出D D的图形的图形的图形的图形解解oyx2 y=x+2 y=x-212即定义域为即定义域为即定义域为即定义域为即定义域为平面点集：即定义域为平面点集：即定义域为平面点集：即定义域为平面点集：173.二元函数几何意义
10、二元函数几何意义 一一元元函函数数的的图图象象是是平平面面上上的的曲曲线线,二二元元函函数数的的图图形形则则是是三三维维空空间间的的曲曲面面.如如二二元元函函数数 的的图图形形就就是是抛抛物物面面,因因此此,二二元元函函数数在在几几何何上上表表示示三三维维空空间间的的一张曲面一张曲面.18例如例如例如例如,是上半圆锥面如右图是上半圆锥面如右图是上半圆锥面如右图是上半圆锥面如右图.例如例如例如例如,球面球面球面球面.单值分支单值分支单值分支单值分支:定义域为整个定义域为整个定义域为整个定义域为整个xoy平面平面平面平面xyzo19三、将平面区域表示为不等式三、将平面区域表示为不等式-平行线穿越法
11、平行线穿越法1.如果平面区域为：如果平面区域为：ooX型区域的特点型区域的特点：区域边界相交不多于区域边界相交不多于两个两个交点交点.穿过区域穿过区域且且平行于平行于y轴的直线轴的直线与与其中函数其中函数 、在区间在区间a,b上上连续连续.X型型202.如果区域为：如果区域为：ooY型型Y型区域的特点型区域的特点：区域边界相交区域边界相交不多于两个交点不多于两个交点.穿过区域穿过区域且且平行于平行于x轴的直线轴的直线与与想得到想得到X-型区域型区域时，时，就就把区域投影在把区域投影在x轴轴上；上；想得到想得到Y-型区域型区域时，时，就就把区域投影在把区域投影在y轴轴上上.一般地一般地:称这种判
12、断区域类型的方法为：称这种判断区域类型的方法为：平行线穿越法平行线穿越法21注意：注意：注意：注意：1.有的区域可以看成有的区域可以看成有的区域可以看成有的区域可以看成X-X-型型型型 区域区域区域区域,也可看成也可看成也可看成也可看成Y-Y-型型型型D:2.2.若为如图所示的复杂区域若为如图所示的复杂区域若为如图所示的复杂区域若为如图所示的复杂区域D D，则必须分割则必须分割则必须分割则必须分割.o o而而而而均为简单区域均为简单区域均为简单区域均为简单区域.区域区域区域区域.xoyDcadb如矩形区域如矩形区域如矩形区域如矩形区域22例例3.用不等式组表示平面区域用不等式组表示平面区域D，
13、其中，其中解解oxy作图，作图，1223例例4.用不等式组表示平面区域用不等式组表示平面区域D，其中，其中oxy解解作图作图反过来反过来,给出平面区域给出平面区域D,会作出图形会作出图形.24例例4.平面区域平面区域平面区域平面区域作出作出D的图形的图形.解解oxy例例5.设设设设解解25例例6.设设设设解解26小结小结1.平面点集、平面点集、n维空间相关概念维空间相关概念邻域邻域2.二元函数二元函数的概念的概念 3.会求函数的定义域及函数值会求函数的定义域及函数值.4.会用不等式组表示平面区域会用不等式组表示平面区域.5.得到得到X-型区域、型区域、Y-型区域的型区域的一般方法：一般方法：(
14、1)想得到想得到X-型区域型区域时，时，就就把区域投影在把区域投影在x轴轴上；上；(2)想得到想得到Y-型区域型区域时，时，就就把区域投影在把区域投影在y轴轴上上.276.判断区域类型的方法是：判断区域类型的方法是：将将D投影到投影到x轴上，轴上，若投影区间为若投影区间为a,b,则则用一组用一组平行于平行于y轴轴且且与与y轴同方向的直线轴同方向的直线穿越穿越D，入口入口线线方程为方程为出口线出口线方程为方程为则则X型型区域区域D:o对对Y型型同样可用同样可用平行线穿越法平行线穿越法于是有：于是有：(步骤如下步骤如下:)平行线穿越法平行线穿越法28作业：作业：P288,1(3)P288,1(3)、4(2)4(2)预习：从预习：从284284到到288288页页P354,2(2)(3)P354,2(2)(3)用不等式组表示平面区域用不等式组表示平面区域29