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1、第二章多元函数微分学 第一节多元函数的概念、极限与连续一、一、多元函数的概念多元函数的概念二、二、多元函数的极限多元函数的极限 三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性（1）邻域）邻域一、多元函数的概念一、多元函数的概念（2）区域）区域例如，例如，即为开集即为开集连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如，例如，例如，例如，有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，（3）聚点）聚点 内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：说明：说明：边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，
2、也可以不属于，也可以不属于E例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合（4）n维空间维空间 n维空间的记号为维空间的记号为说明：说明：说明：说明：n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为（5）二元函数的定义）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定
3、义三元及三元以上函数例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为（6）二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,下图球面下图球面.单值分支单值分支:二、多元函数的极限二、多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例2 2 求证求证 证证1当当 时，时，原结论成立原结论成立证证例例3 3 求
4、极限求极限 解解其中其中例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在不存在不存在.观察观察播放播放确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：类似地可以定义类似地可以定义三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性定义定义3 3(1).若函数若函数 f(x,y)在区域在区域D内每一点都连续内每一点都连续,则称则称 f(x,y)在在D内连续或内连续或 f(x,y)是是D内的连续内的连续函数函数.(2).二元连续函数具有与一元连续函数类似二元连续函数具有与一元连续函数类似的性质的性质.例如例如:和和,差差,积积,商及复合性质商及复合性质
5、.注注:例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.当当 时时例例6 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次（）最大值和最小值定理（）最大值和最小值定理（1）有界性定理）有界性定理 在有界闭区域在有界闭区域D
6、D上的多元连续函数一定有上的多元连续函数一定有界界多元初等函数：多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（2）介值定理）介值定理例例解解例例解解则则例例.讨论连续性讨论连续性:除除 外处处连续外处处连续.初等函数初等函数间断线间断线除除(0,0)外处处连续外处处连续.(0,0)点极限不存在点极限不存在思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取练练 习习 题题练习题答案练习题答案