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1、关于多元函数的极限关于多元函数的极限与连续与连续现在学习的是第1页，共43页10.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续 10.1.1 多元函数的概念多元函数的概念 内容小结与作业内容小结与作业10.1.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续现在学习的是第2页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件1.点集的基本知识点集的基本知识10.1.1 多元函数的概念多元函数的概念
2、定义定义10.1.1 设 x0 是空间 n 中的一点,0,称 n 中的点集为点 x0 的 邻域邻域.其中点 x0 称为邻域的中心邻域的中心,为半径.即点 x0 的 邻域是n 中距离x0 不超过 的点的集合.点 x0 的去心去心 邻域邻域记为说明：说明：若不需要强调邻域半径,则用 和表示点 x0 的邻域和去心邻域.现在学习的是第3页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例如例如,在平
3、面上,(圆邻域圆邻域)在空间中,(球邻域球邻域)经常用点 P0 表示点 x0,点 P 表示点 x.(方邻域方邻域)。方邻域与圆邻域可以互相包含.现在学习的是第4页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点内点
4、；则称 P 为 E 的外点外点;则称 P 为 E的 边界点边界点.的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.现在学习的是第5页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件D 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集开集；若点集 E E,则称 E 为闭集闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的
5、边界一起称为闭区域闭区域.则称 D 是连通连通的;连通的开集称为开区域,简称区域区域;。E 的边界点的全体称为 E 的边界边界,记作E;。现在学习的是第6页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例如，例如，在平面上开区域开区域闭区域闭区域现在学习的是第7页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室
6、应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件 整个平面是最大的开区域,点集 是开集，也是最大的闭区域；但非区域.o 对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域有界域,否则称为无界域无界域.例如例如是有界闭区域;是无界开区域.现在学习的是第8页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件
7、班教学课件班教学课件班教学课件引例引例:圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式2.多元函数多元函数现在学习的是第9页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件火箭在空中飞行的速度与其在空间中的位置、时间及发动机的运行情况等多种因素有关卫星发射卫星发射现在学习的是第10页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应
8、用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件定义定义10.1.2 设非空点集点集 D 称为函数的定义域定义域;数集称为函数的值域值域.特别地,当 n=2 时,有二元函数当 n=3 时,有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数元函数,记作二元和二元以上的函数都称为多元函数现在学习的是第11页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数
9、学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件平面点集到实数集的对应关系平面点集到实数集的对应关系二元函数二元函数现在学习的是第12页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例1 写出下列函数的定义域解解(1):(2):由所求函数的定义域为现在学习的是第13页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研
10、室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例2 设求解法解法1 令现在学习的是第14页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例2 设求解法解法2 令即现在学习的是第15页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教
11、研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例如,二元函数一般地,二元函数 z=f(x,y),(x,y)D空间的一张曲面 .图形如图所示.图形为上半球面,的图形一般为3.二元函数的几何意义二元函数的几何意义现在学习的是第16页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件截痕 方程为用截痕法
12、研究曲面的形状：用平面 去截割曲面 ，或曲线 在xoy面上的投影曲线 的方程是曲线 称为已知函数 的等值线或等高线现在学习的是第17页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件现在学习的是第18页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高
13、等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件对于三元函数也有等值面或等位面等概念.图形为空间中的超曲面.三元函数 定义域为单位闭球现在学习的是第19页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件10.1.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续定义定义10.1.3 设 n 元函数 f(x)在 x0 的某去心邻域内有定义,如果当自变量 x 无限趋于 x0 时,函数 f
14、(x)的值无限接近于某个常数 a,则称 a 为当x x0 时函数 f(x)的极限,记作当时,恒有即称上述极限为 n 重极限.现在学习的是第20页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件当 n=2 时,极限定义可叙述为当 n=1 时,上述定义与一元函数极限定义一致.设函数 f(x,y)在点(x0,y0)的某去心邻域内有定义,当时,恒有则称 a 为当(x,y)(x0,y0)时函数 f(x
15、,y)的极限,记作或现在学习的是第21页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例3 设求证：证证故总有要证要证 现在学习的是第22页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学
16、课件例例4 设求证：证证故总有要证要证现在学习的是第23页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解解 设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例例5 讨论函数函数现在学习的是第24页，共43页Dept.Mat
17、h.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例6.讨论是否存在？解：解：所以极限不存在.现在学习的是第25页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解解 设 P(x
18、,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例例5 讨论函数函数现在学习的是第26页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例6.讨论是否存在？解：解：所以极限不存在.现在学习的是第27页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&
19、Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件求多元函数极限的常用方法：求多元函数极限的常用方法：1.利用函数极限的运算性质；2.利用不等式缩放或使用夹逼定理；3.利用变量替换化简或化为已知极限，对含有三角函数或幂指函数的二重极限可考虑它是否能通过变形或变量代换化为一元函数中的重要极限；4.利用初等变形，如分母有理化、对指数函数取对数等.现在学习的是第28页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应
20、用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例7.计算解：解：例例8.求解：解：现在学习的是第29页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例9.计算解：解：所以故现在学习的是第30页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用
21、数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例10.求解：解：由于故现在学习的是第31页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例11 求解解 因而此函数定义域不包括 x,y 轴则故现在学习的是第32页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.M
22、ath.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件定义定义10.1.4 设 n 元函数 f(x)在 x0 的某邻域内有定义,如果则称 f(x)在 x0 处连续.否则称为不连续,此时称 x0 为间断点.当 n=2 时,二元函数连续的定义可叙述为设函数 f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义,如果或则称二元函数 f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上连续.现在学习的是第37页，共43页Dept.M
23、ath.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例如例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.现在学习的是第38页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A
24、2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件 例例12.证明在全平面连续.证证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得现在学习的是第39页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件定理定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意(有界性定理有界性定理)(最值定理最值定理)(介值定理介值定理)闭区域上多元连续函数有与一元
25、函数类似的如下性质:现在学习的是第40页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件解解 原式例例13.求例例14.求函数的连续域.解解现在学习的是第41页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件内容小结与作业内容小结与作业1.区域v 邻域v 区域连通的开集v 2.多元函数概念n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数有3.多元函数的极限现在学习的是第42页，共43页Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第43页，共43页