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1、多元函数的极限与连续第1页，共22页，编辑于2022年，星期六n维空间中两点（向量又称为点）维空间中两点（向量又称为点）之间的之间的距离距离定义为定义为向量向量x的长度定义为：的长度定义为：与与第2页，共22页，编辑于2022年，星期六为以为以a为中心，为中心，为半径的为半径的开球开球或点或点a的的 邻域。邻域。称：称：为点为点a去心去心 邻域。邻域。可分别简记为可分别简记为N(a),(a)设设a Rn,0,0,称称第3页，共22页，编辑于2022年，星期六 设设A Rn,a Rn.（3）若若A中的点全是中的点全是A的的 内点，则称内点，则称A 为开为开集集.第4页，共22页，编辑于2022年
2、，星期六(5)若若 M 0,使得使得 x A,都有都有|x|M,则称集合则称集合A为为的的有界集有界集.否则否则,称之为称之为无界集无界集.第5页，共22页，编辑于2022年，星期六A为区域为区域:A为连通开集为连通开集.如如A为闭区域为闭区域:区域连同它的边界区域连同它的边界.如如A为连通集为连通集:对任意的对任意的都可用一条包含在都可用一条包含在A内的折线把内的折线把x,y连起来连起来.区域区域 A 的直径：的直径：第6页，共22页，编辑于2022年，星期六2 2 多元函数的概念多元函数的概念定义定义2.1 设设A Rn是一个点集，称映射是一个点集，称映射f:AR是定义在是定义在A上的上的
3、n元数量值函数。元数量值函数。简称为简称为n元函数。元函数。记为记为y=f(x)=f(x1,xn),其中其中x=(x1,xn)A称称为为自变量自变量,y称为称为因变量。因变量。D(f)=A称为称为f的的定义域定义域，R(f)=y|y=f(x),x D(f)称为称为f的的值域。值域。第7页，共22页，编辑于2022年，星期六除非特别说明除非特别说明,或有实际意义或有实际意义,凡用算式表达的凡用算式表达的多元函数多元函数,其定义域都是指自然定义域其定义域都是指自然定义域,即全体即全体使得算式有意义的自变量所成的点集使得算式有意义的自变量所成的点集.(x,y)R2|x|1,|y|1;例如例如:的定义
4、域为的定义域为而而z=ln(x+y)的定义域为的定义域为(x,y)R2|x+y0.第8页，共22页，编辑于2022年，星期六定义定义2.2 设设A Rn是一个点集，称映射是一个点集，称映射 f:ARm(m 2)是定义在是定义在A上的上的n元向量值函数。元向量值函数。也可记为也可记为y=f(x)=f(x1,xn),其中其中x=(x1,xn)A称称为为自变量自变量,y=(y1,ym)Rm 称为称为因变量。因变量。f=(f1,fn)其中其中x=(x1,xn)A为自变量为自变量,y=(y1,xm)B为因变量为因变量.一个一个n元元m维向量值函数维向量值函数y=f(x)对应于对应于m个个n元元数量值函数
5、数量值函数第9页，共22页，编辑于2022年，星期六若用列向量表示若用列向量表示,即即例例1 空间空间R3中曲线的参数方程为：中曲线的参数方程为：x=x(t),y=y(t),z=z(t)t ,R,为一元向量值函数，为一元向量值函数，可写成：可写成：r=r(t)第10页，共22页，编辑于2022年，星期六第二节第二节 多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性 定义定义 2.3(二重极限）设二重极限）设 函数函数z=f(x,y)=f(M)在在点集点集E上有定义上有定义,点点 M0(x0,y0)是是E的聚点的聚点,a R是一个常数是一个常数.若若 0,0,使得使得恒有恒有|f(M)a|0,取取
6、=,则当则当时时,恒有恒有|f(x,y)0|2)元元数量值函数与向量值函数。数量值函数与向量值函数。第20页，共22页，编辑于2022年，星期六定理定理2.1 设设f(x,y)是有界闭集是有界闭集E上的连续函数，则上的连续函数，则 (1)(1)（有界性）（有界性）f在在E上有界，即存在上有界，即存在M 0,使得使得 x E,有有|f(x)|M.(2)（最值）最值）:f 在在E上必能取到最大值与最小值上必能取到最大值与最小值。（介值性）（介值性）若函数若函数f(x)在有界连通闭集在有界连通闭集E上连续上连续,m与与M分别是分别是 f 在在E上的最小值与最大值，上的最小值与最大值，则对则对 ,m M,必必 x0 E,使使f(x0)=.定理定理2.2第21页，共22页，编辑于2022年，星期六 作作 业业习题习题5.2(P1011)2.(2)(4)(5)3.(2)4.(2)7.(4)(6)8.(1)(3)10第22页，共22页，编辑于2022年，星期六