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1、2008 年高考文科数学试题及参考答案（辽宁卷）参考公式：参考公式：如果事件如果事件 A A、B B 互斥，那么互斥，那么球的表面积公式球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)S S=4=4R R2 2如果事件如果事件 A A、B B 相互独立，那么相互独立，那么其中其中 R R 表示球的半径表示球的半径P(AP(A B)=P(A)B)=P(A)P(B)P(B)球的体积公式球的体积公式如果事件如果事件 A A 在一次试验中发生的概率是在一次试验中发生的概率是 P P，那么，那么V=V=43 R R3 3n n 次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件 A
2、A 恰好发生恰好发生 k k 次的概率次的概率其中其中 R R 表示球的半径表示球的半径P Pn n(k k)=)=C Ck kn nP Pk k(1-(1-p p)n-kn-k(k k=0,1,2,=0,1,2,n n)kknkP(k 01，2，n)n(k)CnP(1 p)其中R表示球的半径一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的1已知集合MA2若函数x 3 x 1，N x x3，则M N（）Bx x3Cx x1D2
3、Dx x 1y (x1)(xa)为偶函数，则 a=（）B1C1A23圆x2公共点的充要条件是（）y21与直线y kx2没有Ak(2，2)Bk(3，3)Dk(，Ck(，4 已知0 2)(2，)3)(3，)1loga5，z loga21loga3，则（）2Ax y zBz y xCy x zDz x y 2)，B(1，2)，C(31)，且BC 2AD，则顶点D的坐5已知四边形ABCD的三个顶点A(0，a 1，x loga2 loga3，y 标为（）A2，72B2，122)C(3，3)D(16设P 为曲线 C：y x22x3上的点，且曲线C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为0，则点4P 横坐标的取
4、值范围为（）A11，2B，10C，01D1，1274 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A13B12C23D348将函数Aa ay 2x1的图象按向量a a平移得到函数y 2x1的图象，则（）(1，1)Ba a (1，1)Ca a (11)，Da a (11)，y x10，9已知变量x，y满足约束条件y 3x10，则z 2x y的最大值为（）y x10，A4B2C1D410一生产过程有 4 道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人
5、中安排 1 人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排 1 人，则不同的安排方案共有（）A24 种11已知双曲线9yA112在正方体2B36 种C48 种D72 种m2x21(m 0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为C3D41，则m（）5B2ABCD A1BC11D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条第第 卷卷（非选择题共（非选择题共 9090 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分分13函数y e2x1(x
6、)的反函数是3的球的表面上有 A、B，C 三点，AB=1，BC=2，A，C 两点的球面距离为3，314在体积为4则球心到平面 ABC 的距离为_1 315(1 x)x2x6展开式中的常数项为2sin2x116设x0，则函数y 的最小值为sin2x2三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7474 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 12 分）在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c 2，C 3（）若ABC的面积等于（）若sin B3，求a，b；2sin A，求ABC的面积18（本小题满
7、分 12 分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周的统计结果如下表所示：周销售量频数220350430（）根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率；（）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求（）4 周中该种商品至少有一周的销售量为 4 吨的概率；（）该种商品 4 周的销售量总和至少为 15 吨的概率19（本小题满分 12 分）如图，在棱长为 1 的正方体ABCD 面 PQGHAD（）证明：平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直；（）证明：截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；（）若b20（本小题满
8、分 12 分）在数列|an|，|bn|是各项均为正数的等比数列，设cnABCD中，AP=BQ=b（0b1），截面 PQEFAD，截DHGCABDQBEC1，求DE与平面 PQEF 所成角的正弦值2PAFbn(nN N*)an（）数列|cn|是否为等比数列？证明你的结论；（）设数列|lnan|，|lnbn|的前n项和分别为Sn，Tn 若a1的前n项和21（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy中，点 P 到两点(0，（）写出 C 的方程；2，Snn，求数列|cn|Tn2n1设点 P 的轨迹为C3)，(0，3)的距离之和等于 4，（）设直线y kx1与 C 交于 A，B 两点k 为何值时OA
9、OB？此时AB22（本小题满分 14 分）设函数的值是多少？f(x)ax3bx23a2x1(a，bR R)在x x1，x x2处取得极值，且x1x2 2（）若a（）若a1，求b的值，并求f(x)的单调区间；0，求b的取值范围参考答案和评分参考参考答案和评分参考一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分1D2C 3B 4C 5A6A7C8A9B 10B11D12D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 4 分，满分分，满分 1616 分分13y 1(ln x1
10、)(x 0)214321535163三、解答题三、解答题17本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力满分 12 分解：（）由余弦定理得，a又因为ABC的面积等于2b2ab 4，1 4 分3，所以absinC 3，得ab 4 2a2b2ab 4，联立方程组解得a 2，b 2 6 分ab 4，（）由正弦定理，已知条件化为b 2a，8 分a2b2ab 4，2 34 3联立方程组解得a，b 33b 2a，所以ABC的面积S 12 3absinC 12 分2318本小题主要考查频率、概率等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分 12 分解：（）周销售量为 2 吨，3 吨和 4
11、 吨的频率分别为 0.2，0.5 和 0.3 4 分（）由题意知一周的销售量为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2，0.5 和 0.3，故所求的概率为（）P1（）P2 8 分10.74 0.75993 12 分C40.50.330.34 0.062119本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力满分 12 分解法一：（）证明：在正方体中，AD AD，AD AB，又由已知可得PF AD，PH AD，PQAB，所以PH PF，PH PQ，所以PH 平面PQEF所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直4 分（）证明：由（）知PF 2AP，PH
12、 2PA，又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形，且 PQ=1，所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是 8 分(2AP2PA)PQ 2，是定值（）解：设因为AD交PF于点N，连结EN，AD 平面PQEF，所以DEN为DE与平面PQEF所成的角HA1因为b，所以P，Q，E，F分别为AA，BB，BC，AD的中点2可知DNDCGBQEBC33 2，DE 243 22所以sinDEN 4322解法二：PNAFD 12 分以 D 为原点，射线 DA，DC，DD分别为 x，y，z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系 Dxyz由已知得DF 1b，故zA(1，0，0)，A(1，0，1)，D(0
13、，0，0)，D(0，0，1)，P(1，0，b)，Q(11，b)，E(1b，1，0)，F(1b，0，0)，G(b，11)，H(b，0，1)（）证明：在所建立的坐标系中，可得DHAPDAFCGBQCEBy PQ (010)，PF(b，0，b)，PH (b101，b)，x AD(101)，AD (10，1)因为ADPQ 0，ADPF 0，所以AD是平面 PQEF 的法向量 因为ADPQ 0，ADPH 0，所以AD是平面 PQGH 的法向量 因为ADAD 0，所以AD AD，所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直 4 分 EF=PQ，又PF PQ，所以 PQEF 为矩（）证明：因为EF (0，
14、10)，所以EF PQ，形，同理 PQGH 为矩形 在所建立的坐标系中可求得PH 2(1b)，PF 2b，所以PH PF 2，又PQ 1，所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和为 8 分2，是定值（）解：由（）知AD (1，01)，是平面PQEF的法向量由P为AA中点可知，Q，E，F分别为BB，BC，AD的中点 11所以E，1，0，DE，1，1，因此DE与平面PQEF所成角的正弦值等于22 2 12 分|cos AD，DE|220本小题主要考查等差数列，等比数列，对数等基础知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力满分 12 分解：（）证明：设cn是等比数列 2 分的公比为q1(q1an
15、 0)，bn的公比为q2(q2 0)，则cn1bn1anbn1anq2 0，故cncnan1bnbnan1q1（）数列为等比数列 5 分lnan和lnbn分别是公差为lnq1和lnq2的等差数列n(n1)lnq122由条件得，即n(n1)2n1nlnb1lnq22nlna12ln a1(n1)ln q1n 7 分2ln b1(n1)ln q22n1故对n 1，2，(2ln q1lnq2)n2(4ln a1lnq12ln b1lnq2)n(2ln a1lnq1)0于是2ln q1lnq2 0，4ln a1lnq12ln b1lnq2 0，2ln a lnq 0.11将a1 10 分 2代入得q1
16、 4，q216，b188 16n1 4n从而有cnn124所以数列cn的前n项和为4424n4n(4 1)12 分321本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分 12 分解：（）设 P（x，y），由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以(0，的短半轴b长半轴为 2 的椭圆 它3)，(03)为焦点，22(3)21，2y21故曲线 C 的方程为x 4 分4（）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足2y21，x 4y kx1.消去 y 并整理得(k故x124)x22kx3 0，x2 OAOB，即x1x2 y1y2
17、 0而2k3，x x 6 分12k24k24y1y2 k2x1x2k(x1 x2)1，33k22k24k212212于是x1x2 y1y2 2k 4k 4k 4k 4 1所以k 时，x1x2 y1y2 0，故OAOB 8 分21412当k 时，x1 x2，x1x2 21717 AB(x2 x1)2(y2 y1)2(1k2)(x2 x1)2，而(x2 x1)2(x2 x1)24x1x24243431324，2171717 4 65所以AB 12 分1722本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力满分 14 分解：2 分f(x)3ax22bx
18、3a2（）当a 1时，f(x)3x22bx3；由题意知x1，x2为方程3x22bx3 0的两根，所以4b236x1 x23由 4 分x1x2 2，得b 0从而f(x)x23x1，f(x)3x233(x1)(x1)f(x)0；当x(，1)(1，)时，f(x)0，时，当x(11)故f(x)在(11)，单调递减，在(，1)，(1，)单调递增 6 分2（）由式及题意知x1，x2为方程3x 2bx3a2 0的两根，所以4b236a3x1 x23a从而x1x2 2b29a2(1a)，由上式及题设知0 a1 8 分考虑g(a)9a29a3，2 10 分g(a)18a27a2 27aa3故g(a)在0，单调递增，在23 2 24的极大值为g，1单调递减，从而g(a)在01，333为又 24g(a)在01上只有一个极值，所以g，33g(a)在01，上的最大值，且最小值为g(1)0所以b22 3 2 34，14 分0，即b的取值范围为333