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1、2022-2023 学年苏科版九年级数学下册 6.7 用相似三角形解决问题 同步练习题（附答案）一选择题 1如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为 20cm，到屏幕的距离为 60cm，且幻灯片中的图形的高度为 6cm，则屏幕上图形的高度为（）A6cm B12cm C18cm D24cm 2如图，小颖为测量学校旗杆 AB 的高度，她想到了物理学中平面镜成像的原理，她在与旗杆底部 A 同一水平线上的 E 处放置一块镜子，然后退到 C 处站立，使得刚好可以从镜子 E 看到旗杆的顶部 B已知小颖的眼睛 D 离地面的高度 CD1.6m，她离镜子的水平距离 CE1
2、.2m，镜子 E 离旗杆的底部 A 处的距离 AE3.6m，且 A、C、E 三点在同一水平直线上，则旗杆 AB 的高度为（）A2.7m B3.6m C4.8m D6.4m 3 小兵身高 1.4m，他的影长是 2.1m，若此时学校旗杆的影长是 12m，那么旗杆的高度（）A4.5m B6m C7.2m D8m 4路边有一根电线杆 AB 和一块正方形广告牌，有一天，小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端 A 的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点 G 处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上 E 点（如图），已知 BC5 米，正方形边长为 3 米，DE4 米，则此时电线杆的高度约是（）A8 米 B7 米
3、 C6 米 D7.9 米 5如图，有一块三角形土地，它的底边 BC100 米，高 AH80 米，某单位要沿着底边 BC修一座底面是矩形 DEFG 的大楼，则这座大楼的地基面积最大值是（）A1000 米2 B2000 米2 C3000 米2 D4000 米2 6如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图等腰直角三角板的斜边 BD 与地面 AF 平行，当小明的视线恰好沿 BC 经过旗杆顶部点 E 时，测量出此时他所在的位置点 A 与旗杆底部点 F 的距离为 10 米如果小明的眼睛距离地面 1.7 米，那么旗杆 EF 的高度为（）A10 米 B11.7 米 C米 D米 7已知ABC 的三边长分
4、别为 20cm，50cm，60cm，现要利用长为 40cm 和 60cm 的两根铁丝绘制作与ABC 相似的三角形框架，如果以其中一根铁丝为一边，从另一根铁丝上截取两段（允许有余料）作为另外两边，可以作成不同的三角形框架有（）A1 种 B2 种 C3 种 D4 种 8一个三角形框架模型的三边长分别为 20 厘米、30 厘米、40 厘米，木工要以一根长为 60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（）A30 厘米、45 厘米 B40 厘米、80 厘米 C80 厘米、120 厘米 D90 厘米、120 厘米 二填空题 9为了估算河的宽度，我们可以在河对
5、岸的岸边选定一个目标记为点 A，再在河的这一边选点 B 和点 C，使得 ABBC，然后再在河岸上选点 E，使得 ECBC，设 BC 与 AE 交于点 D，如图所示，测得 BD120 米，DC60 米，EC50 米，那么这条河的大致宽度是 10如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量的卡钳上 A、D 两端的距离为 4cm，则容器的内径 BC 11如图，一块直角三角形木板，一条直角边 AC 的长 1.5m，面积为 1.5m2按图中要求加工成一个正方形桌面，则桌面的边长为 m 12 九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短
6、直角边）长为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步 13如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC 上，AB 的长为 10 毫米，AC 被分为 60 等份，如果小管口中 DE 正好对着量具上 20 份处（DEAB），那么小管口径 DE 的长是 毫米 14我国魏晋时期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作海岛算经中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合问岛高几何？译文：今要测量海岛上一座山峰 AH
7、的高度，在 B 处和 D 处竖立标杆 BC 和 DE，标杆的高都是 3 丈，B 和 D 两处相隔 1000 步（1 丈10 尺，1 步6 尺），并且 AH，CB 和 DE在同一平面内从标杆 BC 后退 123 步的 F 处可以看到顶峰 A 和标杆顶端 C 在同一直线上；从标杆 ED 后退 127 步的 G 处可以看到顶峰 A 和标杆顶端 E 在同一直线上则山峰AH 的高度是 三解答题 15在 RtABC 中，C90，AC16cm，BC12cm现有动点 P 从点 A 出发，沿线段 AC 向点 C 方向运动，动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CB 向点 B 方向运动如果点 P 的速度是 4cm/s
8、，点 Q 的速度是 3cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为 ts 求：（1）用含 t 的代数式表示 RtCPQ 的面积 S；（2）当 t2s 时，P、Q 两点之间的距离是多少？（3）当 t 为多少秒时，以 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似？16（1）如图，已知 DEBC，ADEC，BDAD，AC6，求 AB 的长（2）将图 1 中的ADE 绕点 A 旋转一定的角度，使 B、D、E 在一条直线上，且直线 BE交 AC 于点 F，连接 CE（如图）求证：AFFCBFEF（3）若将图中的ADE 绕点旋转，使 B、D、E 不在一条直线上（如图）若 A
9、BBC，ACBD连接 CE求证：AC2BCEC 17在OAB 中，O 为坐标原点，横、纵轴的单位长度相同，A、B 的坐标分别为（8，6），（16，0），点 P 沿 OA 边从点 O 开始向终点 A 运动，速度每秒 1 个单位，点 Q 沿 BO 边从 B 点开始向终点 O 运动，速度每秒 2 个单位，如果 P、Q 同时出发，用 t（秒）表示移动时间，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动 求：（1）当 t 秒时 PQAB；（2）若OPQ 的面积为，试求 t 的值；（3）OPQ 与OAB 能否相似？若能，求出点 P 的坐标；若不能，试说明理由 18等腰 RtPAB 中，PAB90，点
10、C 是 AB 上一点（与 A、B 不重合），连接 PC，将线段 PC 绕点 C 顺时针旋转 90，得到线段 DC连接 PD，BD探究PBD 的度数，以及线段 AB 与 BD、BC 的数量关系（1）尝试探究：如图（1），点 C 在线段 AB 上，PCD 为等腰直角三角形，且PCD90，CPD45APB，CPDBPCAPBBPC，即BPDAPC，又，PACPBD，相似比为，PBD ；ABBC+AC （2）类比探索：如图（2），点 C 在直线 AB 上，且在点 B 右侧，还能得出与（1）中同样的结论么？请写出你得到的结论并证明（3）拓展迁移：如图（3），点 C 在直线 AB 上，且在点 A 左侧，请
11、补充完成图形，并直接写出你得到的结论（不需要证明）19锐角ABC 中，BC6，BC 边上的高 AD4，两动点 M，N 分别在边 AB，AC 上滑动（M 不与 A、B 重合），且 MNBC，以 MN 为边向下作正方形 MPQN，设其边长为 x，正方形 MPQN 与ABC 公共部分的面积为 y（y0）（1）因为 ，所以AMNABC；（2）当 X 为何值时，PQ 恰好落在边 BC 上（如图 1）；（3）当 PQ 在ABC 外部时（如图 2），求 y 关于 x 的函数关系式（注明 x 的取值范围）并求出 x 为何值时 y 最大，最大值是多少？20有一块锐角三角形卡纸余料 ABC，它的边 BC120cm
12、，高 AD80cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2：5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在 BC 上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边 EH 上，其余顶点均分别在 AB，AC 上，具体裁剪方式如图所示（1）求矩形纸片较长边 EH 的长；（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料AEH 中与边 EH 平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边 EH 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确 参考答案 一选择题 1解：DEBC，AEDACB，设屏幕上的小树高是 x，则，解得 x18cm 故选：C 2解：
13、由题意可得：AE3.6m，CE1.2m，DC1.6m，ABECDE，即，解得：AB4.8m，故选：C 3解：设旗杆的高度为 xm，根据题意得：，解得：x8，即旗杆的高度为 8m，故选：D 4解：过点 G 作 GQBE 于点 Q，GPAB 于点 P，根据题意，四边形 BQGP 是矩形，BPGQ3 米，APGFDE，AP4.875，AB4.875+37.8757.9（米），故选：D 5解：DGBC ADGABC 它们的对应高线比等于对应线段的比，即，设 AMx，那么 DEMHAHAM80 x，DGx S四边形DEFGDGDE（80 x）x（x2+80 x1600）（x40）2+2000 当 x40
14、 时，S 取最大值，最大值为 2000，故选：B 6解：延长 BD 交 EF 于 H，如图，BDAF，EFAF，BHEF，易得四边形 ABHF 为矩形，AFBH10，HFAB1.7，BCD 为等腰直角三角形，CBD45，BHE 为等腰直角三角形，EHBH10，EFEH+HF10+1.711.7 答：旗杆 EF 的高度为 11.7m 故选：B 7解：有三种不同的截法：（1）以 40cm 长的铁丝为最长边，设中边为 y，短边长为 x，则有，解得 x，y，所以从 60cm 长的铁丝上分别截取cm、cm 的两段；（2）以 40cm 长的铁丝为中边，设长边为 x，短边长为 y，解得 x，y，x+y60，
15、不符合题意，（3）以 40cm 长的铁丝为最短边，设长边为 x，中边长为 y，解得 x120，y100，不合题意，故选：A 8解：设 20 厘米、30 厘米、40 厘米的对应边分别为 60 厘米、x 厘米、y 厘米，根据题意得：解得 x90，y120；设 20 厘米、30 厘米、40 厘米的对应边分别为 x 厘米、60 厘米、y 厘米，根据题意得：，解得 x40，y80 设 20 厘米、30 厘米、40 厘米的对应边分别为 x 厘米、y 厘米、60 厘米，根据题意得：，解得 x30，y45 故选：C 二填空题 9解：ABBC，ECBC，BC90 又ADBEDC，ADBEDC，即 解得：AB10
16、0 米 故答案为：100 米 10解：如图，连接 AD，BC，AODBOC，AODBOC，又 AD4cm，BC2AD8cm 故答案是：8cm 11解：一块直角三角形木板，一条直角边 AC 的长 1.5m，面积为 1.5m2，另一直角边长为：2（m），则斜边长为：2.5，设点 C 到 AB 的距离为 h，则 SABC2.5h1.5，解得：h1.2，正方形 GFDE 的边 DEGF，ACBDCE，即，解得：x，故答案为：12解：如图 1，四边形 CDEF 是正方形，CDED，DECF，设 EDx，则 CDx，AD12x，DECF，ADEC，AEDB，ADEACB，x，如图 2，四边形 DGFE 是
17、正方形，过 C 作 CPAB 于 P，交 DG 于 Q，设 EDx，SABCACBCABCP，12513CP，CP，同理得：CDGCAB，x，该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），故答案为：13解：DEAB CDECAB CD：CADE：AB 20：60DE：10 DE毫米 小管口径 DE 的长是毫米 故答案为：14解：由题意，得，AHHG，CBHG，AHF90，CBF90，AHFCBF，AFBCFB，CBFAHF，同理可得，BF123，BD1000，DG127，HFHB+123，HGHB+1000+127HB+1127，解得 HB30750，HA753 丈1255 步，故答案为：125
18、5 步 三解答题 15解：（1）由题意得 AP4t，CQ3t，则 CP164t，因此 RtCPQ 的面积为 SCPCQ（164t）3t6t2+24t（0t4）；（2）由题意得 AP4t，CQ3t，则 CP164t，当 t2 秒时，CP164t8cm，CQ3t6cm，在 RtCPQ 中，由勾股定理得 PQ；（3）由题意得 AP4t，CQ3t，则 CP164t，AC16cm，BC12cm 当 RtCPQRtCAB 时，即，解得 t2 秒；当 RtCPQRtCBA 时，即，解得 t秒 因此 t2 秒或 t秒时，以点 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似 16解：（1）设 ADxEC，BDx，AB
19、AD+BDx+xx，DEBC，ADEABC，AEx，AC6，ACAE+ECx+x6，x2.4，ABAD+BD2.4+2.44；（2）由（1）知，ADEABC，AEDACB，AFEBFC，AFEBFC，AFFCBFEF；（3）由（1）知，ADEABC，BACDAE，BADCAE，ABDACE，BDACABCE，BDAC，ABBC，AC2BCEC 17解：（1）A（8，6），OA10，当 PQAB 时，OPQOAB，则：，得：t，故答案为；（2）如图，过 P 作 PCOB 于 C，过 A 作 ADOB 于 D，则 PCAD，OPCOAD，PCt，OPQ 的面积为，OPQ 的面积OQPC（162t）
20、tt2+t 解得 t2 或 t6；（3）能相似，理由：如图，OPQOAB，OABOPQ，PQAB，由（1）知，t，OP，OPQOAB，AD6，OA10，OD8，OC，PC，P 点坐标是（，），同时，当OPQOBA 时，OPt，OQ162t，OPt，OPQOAB，AD6，OA10，OD8，OC，PC P（，），P 点的坐标是（，）或（，）18解：（1）由题意得：PCD 为等腰直角三角形，且PCD90，CPD45APB，CPD+BPCAPB+BPC，即BPDAPC，又，PACPBD，相似比为，PBDPAC90，ACBD，ABBC+ACBC+BD；故答案为：90，BC+BD；（2）PBD90；AB；
21、理由如下：由题意，PCD 为等腰直角三角形，且PCD90，CPD45APB，CPD+BPCAPB+BPC，即BPDAPC 又，PACPBD，相似比为，PBDPAC90，ACBD，；（3）PBD90；AB；理由如下：如图所示：同（2）得：PACPBD，相似比为，PBDPAC90，ACBD，ABBCACBCBD 19解：（1）MNBC，AMNABC；（2）当 PQ 恰好落在边 BC 上时，MNBC，AMNABC，即，x；（3）设 BC 分别交 MP，NQ 于 E，F，则四边形 MEFN 为矩形 设 MENFh，AD 交 MN 于 G（如图 2）GDNFh，AG4h MNBC，AMNABC，即，hx+4 yMNNFx（x+4）x2+4x（2.4x6），配方得：y（x3）2+6 当 x3 时，y 有最大值，最大值是 6 20解：（1）设 EF2x，EH5x，矩形对边 EHBC，AEHABC，即，解得 x15，EH5x15575cm，所以，矩形纸片较长边 EH 的长为 75cm；（2）小聪的剪法不正确 理由如下：设正方形的边长为 a，ARADRD8021550cm，AK50a，由题意知，APQAEH，即，解得 a30，与边 EH 平行的中位线7537.5cm，37.530，小聪的剪法不正确