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1、2022-2023 学年苏科版九年级数学下册7.6 用锐角三角函数解决问题 同步练习题（附答案）一选择题 1如图，某数学兴趣小组测量一棵树 CD 的高度，在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 45，在点 B 处测得树顶 C 的仰角为 60，且 A，B，D 三点在同一直线上，若 AB16m，则这棵树 CD 的高度是（）A8（3）m B8（3+）m C6（3）m D6（3+）m 2数学活动小组到某广场测量标志性建筑 AB 的高度如图，他们在地面上 C 点测得最高点 A 的仰角为 22，再向前 70m 至 D 点，又测得最高点 A 的仰角为 58，点 C，D，B在同一直线上，则该建筑物 AB 的高度约
2、为（）（精确到 1m 参考数据：sin220.37，tan220.40，sin580.85，tan581.60）A28m B34m C37m D46m 3如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，其中 ADBC，迎水坡 AB 的坡角ABC45，背水坡 CD 的坡比为 1：，斜坡 AB 长 8m，则背水坡 CD 的长为（）Am Bm Cm Dm 4某村计划挖一条引水渠，渠道的横断面 ABCD 是一个轴对称图形（如图所示）若渠底宽 BC 为 2m，渠道深 BH 为 3m，渠壁 CD 的倾角为，则渠口宽 AD 为（）A（2+3tan）m B（2+6tan）m C（2+）m D（2+）m 5 同学甲为了测
3、量教学楼 ABCD 的高度 CD，在水平地面点 F 处，观察点 D 的仰角为 32，再向点 C 处前行了 15 米到达点 E，即 EF15 米，在点 E 处看点 D 的仰角为 64，则教学楼的高 CD 用三角函数表示为（）A15sin32 B15tan64 C15sin64 D15tan32 6如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角为 36，看这栋楼底部 C 处的俯角为 60，热气球 A 处与楼的水平距离为 100m，则这栋楼的高度为（）（参考数据：1.73，tan360.73，sin360.59，cos360.81，结果保留整数）A232m B246m C254
4、m D310m 7如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点 A，B 分别为两岸上一点，且点 B 在点 A 正北方向，由点 A 向正东方向走 a 米到达点 C，此时测得点 B 在点 C 的北偏西 55方向上，则河宽 AB 的长为（）Aatan55米 B米 C米 D米 8从观测点 A 测得海岛 B 在其北偏东 60方向上，测得海岛 C 在其北偏东 80方向上，若一艘小船从海岛 B 出发沿南偏西 40方向以每小时 40 海里的速度，行驶 2 小时到 C海岛，则 C 海岛到观测点 A 的距离是（）A20 海里 B40 海里 C60 海里 D80 海里 二填空题 9数学小组的两位同学准备测量两幢教学楼之间
5、的距离如图，两幢教学楼 AB 和 CD 之间有一景观池（ABBD，CDBD），一同学在 A 点测得池中喷泉处 E 点的俯角为 42 另一同学在 C 点测得 E 点的俯角为 45（点 B，E，D 在同一直线上），两个同学在学校资料室查出楼高 AB15m，CD20m，则两幢教学楼之间的距离 BD 约为 m（结果精确到 0.1m，参考数据：sin420.67，cos420.74，tan420.90）10如图，因疫情防控工作的需要，在学校大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高 ME7.5 米，学生身高 BD1.5 米，当学生准备进入识别区域时，在点 B 处测得摄像头 M 的仰角为 30，当学
6、生刚好离开识别区域时，在点 A 处测得摄像头 M 的仰角为 60，则体温监测有效识别区域 AB 的长是 米（1.73，结果精确到 0.1米）11一艘轮船位于灯塔 P 的南偏东 60方向，距离灯塔 30 海里的 A 处，它沿北偏东 30方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的北偏东 67方向上的 B 处，此时与灯塔 P 的距离约为 海里（参考数据：sin37，cos37，tan37）12如图，一辆小车沿着坡度为 i1：的斜坡向上行驶了 90 米，则此时该小车离水平面的垂直高度为 米 13如图，防洪大堤（横断面为梯形 ABCD）长 150 米，高 7 米，背水坡的坡角为 45现准备加固大堤，沿背水
7、坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3 米，加固后背水坡 EF 的坡比为 i1：，则完成这项工程需要土石 立方米（结果保留根号）14如图，建筑物 BC 上有一旗杆 AB，从与 BC 相距 40m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为50，观测旗杆底部 B 的仰角为 45，旗杆的高度为 m结果保留小数点后一位，sin500.766，cos500.643，tan501.192）15 如图，为了测量校园内旗杆 AB 的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点 O 处，然后观测者沿着水平直线 BO 后退到点 D，这时恰好能在镜子里看到
8、旗杆顶点 A，此时测得观测者观看镜子的俯角 60，观测者眼睛与地面距离 CD1.7m，BD11m，则旗杆 AB 的高度约为 m（结果取整数，1.7）16国家的发展离不开科技的支持与创新小明同学是一个航天迷，在一次航空博览会中，我国第五代战机歼31 作飞行展示，如图，该飞机到达 A 点时，测得观礼台 C 在飞机前下方，俯角为 53，此时飞行路线改为沿仰角为 30方向的直线 AB 飞行，飞机飞行了6 千米到 B 处时，而居民区 D 恰好在飞机的正下方，现在的飞行高度为 5 千米则观礼台 C 和居民区 D 的距离是 千米（sin53，cos53，tan53，结果可保留根号）三解答题（共 8 小题）1
9、72021 年底中国高铁运营里程数已达 4 万公里，中国高铁发展速度之快、质量之高令全世界惊叹，是当之无愧的“国家名片”如图所示某条高铁路基的横断面是四边形 ABCD，ADBC，路基顶 BC 宽 10 米，斜坡 AB 长为 15 米，斜坡 AB 的坡角 是 32，斜坡 CD的坡度 i1：2.5，求路基底 AD 的长（结果精确到 1 米，参考数据：sin320.53，cos320.85，tan320.62）18长沙为打造宜游环境，对某旅游道路进行改造如图是风景秀美的观景山，从山脚 B到山腰 D 沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从 D 到 A 修建电动扶梯，经测量，山高 AC154 米，
10、步行道 BD168 米，步行道 BD 的坡度为 1：，在 D 处测得山顶 A 的仰角为 45（1）求DBC 的大小；（2）求电动扶梯 DA 的长（结果保留根号）19新田“青云塔”始建于清咸丰九年，李白诗云：“脚著谢公屐，身登青云梯，半壁见海日，空中闻天鸡”云梯学校教学实践活动小组为测量“青云塔”CE 的高度，在楼前的平地上 A 外，观测到楼顶 C 处的仰角为 30，在平地上 B 处观测到楼顶 C 处的仰角为45，并测得 A、B 两处相距 22m其中测量仪器 AGBFDE1.5 米求“青云塔”CE 的高度（结果保留一位小数，参考数据：，）20如图，在大楼 AB 的正前方有一斜坡 CD，坡比为且
11、CD4 米，小红在斜坡下的点 C 处测得楼顶 B 的仰角为 60，在斜坡上的点 D 处测得楼顶 B 的仰角为 45，其中点 A，C，E 在同一直线上（1）求斜坡 CD 的高度 DE；（2）求大楼 AB 的高度（结果保留根号）21宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城 2200 周年之际的 2018 年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地某数学小组为测量东楼的高度，在梯步 A 处（如图 2）测得楼顶 D 的仰角为 45，沿坡比为 7：24 的斜坡 AB 前行 25 米到达平台 B 处，测得楼顶 D 的仰角为 60，求东楼的高度 DE（结果精确到 1米参考数据：1
12、.7，1.4）22如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在河北岸 C 处测得对岸 A 处一棵树位于南偏东 50方向，B 处一棵树位于南偏东 57方向，已知两树 AB 相距 6 米，求此段河面的宽度（结果取整数参考数据：sin500.766，cos500.643，tan501.192，sin570.839，cos570.545，tan571.540）23 小明在 A 点测得 C 点在 A 点的北偏西 75方向，并由 A 点向南偏西 45方向行走到达B 点测得 C 点在 B 点的北偏西 45方向，继续向正西方向行走 2km 后到达 D 点，测得 C点在 D 点的北偏东 22.5方向，求
13、 A，C 两点之间的距离（结果保留 0.1km 参考数据1.732）24如图，某种路灯灯柱 BC 垂直于地面，与灯杆 AB 相连已知直线 AB 与直线 BC 的夹角是 76，在地面点 D 处测得点 A 的仰角是 53，点 B 仰角是 45，点 A 与点 D 之间的距离为 3.5 米 求：（1）点 A 到地面的距离；（2）AB 的长度（精确到 0.1 米）（参考数据：sin530.8，cos530.6，sin760.97，cos760.24）参考答案 一选择题 1解：设 ADx 米，AB16 米，BDABAD（16x）米，在 RtADC 中，A45，CDADtan45x（米），在 RtCDB 中
14、，B60，tan60，x248，经检验：x248是原方程的根，CD2488（3）米，这棵树 CD 的高度是 8（3）米，故选：A 2解：由题意可知：ABBC，在 RtADB 中，B90，ADB58，tanADBtan58，BD（m），在 RtACB 中，B90，C22，CD70m，BCCD+BD（70+）m，ABBCtanC（70+）0.40（m），解得：AB37m，答：该建筑物 AB 的高度约为 37m 故选：C 3解：过点 A 作 AFBC，垂足为 F，过点 D 作 DEBC，垂足为 E，ADBC，AFDE，在 RtABF 中，ABC45，AB8m，AFABsin4584（m），AFDE4
15、m，在 RtDEC 中，tanDCE，DCE30，CD2DE8（m），故选：D 4解：过点 C 作 CEAD，垂足为 E，则 BHCE3m，BCHE2m，四边形 ABCD 是一个轴对称图形，AHDE，ADBC，ADC，在 RtDEC 中，DE（m），AHDEm，ADAH+DE+HE2+2（2+）m，故选：D 5解：CED64，F32，CEDF+EDF，EDFCEDF643232，EDFF，DEEF，EF15 米，DE15 米，在 RtCDE 中，sinCED，CDDEsinCED15sin64，故选：C 6解：如图，由题意可知：ADBC，AD100m，BAD36，DAC60，BDADtan36
16、1000.7373（m），CDADtan60100100173（m），BCBD+CD73+173246（m），故选：B 7解：连接 AB，BC，由题意得，BAC90，ABC55，ACa 米，tanABCtan55，AB，故选：D 8解：如图，由题意可得，DAB60，DAC80，CBF40，BC40280（海里），BACDACDAB20 ADEF，ABFDAB60，ABCABFCBF604020，BACABC，ACBC80 海里 答：C 海岛到观测点 A 的距离是 80 海里 故选：D 二填空题 9解：由题意可得AEB42，CED45，在 RtABE 中，tan420.90，解得 BE16.7，
17、在 RtCDE 中，CED45，CDDE20m，BDBE+DE36.7m 故答案为：36.7 10解：由题意得 EFBD1.5 米，ME7.5 米，FM6 米，在 RtCFM 中，FCM60，tan60，解得 CF2，在 RtDFM 中，MDF30，tan30，解得 DF6，CDDFCF626.9（米），ABCD6.9 米 故答案为：6.9 11解：如图所示标注字母，根据题意得，CAPEPA60，CAB30，PA30 海里，PAB90，APB180676053，B180905337，在 RtPAB 中，sin37，解得 PB50，此时与灯塔 P 的距离约为 50 海里 故答案为：50 12解：
18、如图，设斜坡底部为点 A，小车位于点 B，过点 B 作水平面的垂线，垂足为点 C，由题意得，设 BCx 米，则 AC米，由勾股定理得，AB2x（米），2x90，解得 x45，此时该小车离水平面的垂直高度为 45 米 故答案为：45 13解：过点 D 作 DHAB 于点 H，过点 E 作 EGAB 于点 G 则 DEGH，EGDH7 米，在 RtADH 中，DAH45，ADH 为等腰直角三角形，AHDH7 米，在 RtEFG 中，i，解得 FG7，由题意知 DEGH3 米，AFFG+GHAH7+3774（米），梯形 EDAF 的面积为（平方米），完成这项工程需要土石150（3675525）立方米
19、 故答案为：3675525 14解：在 RtBCD 中，BDC45，CD40m，BCCD40m，在 RtACD 中，ADC50，CD40m，tan501.192，解得 AC47.68，ABACBC7.7（m）故答案为：7.7 15解：由题意可得CODAOB60，在 RtCOD 中，CD1.7m，tan60，解得 DO1，BOBDDO11110（m），在 RtAOB 中，tan60，解得 AB17，旗杆 AB 的高度约为 17m 故答案为：17 16解：如图，过 A 作 AFBD 于 F，过 C 作 CEAF 于 E，则四边形 CDFE 是矩形，CEDF，在 RtABF 中，BAF30，AB6
20、千米，BFAB3（千米），AF3（千米），BD5 千米，CEDFBDBF2（千米），在 RtACE 中，CAE53，tanCAE，AE（千米），EFAFAE33.7（km），CD3.7（千米），即两个观礼台 C 与 D 之间的距离约为 3.7 千米，故答案为：3.7 三解答题 17解：过点 B 作 BEAD 于 E，过点 C 作 CFAD 于 F，则四边形 BEFC 为矩形，EFBC10，CFBE，在 RtBAE 中，sin，cos，则 BEABsin150.538.0，AEABcos150.8512.8，则 CFBE8，斜坡 CD 的坡度 i1：2.5，DF2.5820，AD12.8+10+
21、2043（米），答：路基底 AD 的长约为 43 米 18解：（1）如图，作 DEBC 于 E，DFAC 于 F，步行道 BD 的坡度为 1：，tanDBC，DBC30；（2）DEBC，DFAC，ACB90，四边形 DECF 为矩形，FCDE，DFEC，在 RtDBE 中，DBC30，DEBD84，FCDE84，AFACFC1548470，在 RtADF 中，ADF45，ADAF70（米），答：电动扶梯 DA 的长为 70米 19解：设 CD 为 xm，由题意得：ADC90，CBD45，CAD30，CDE 是等腰直角三角形，BDCDxm，在 RtACD 中，tanCADtan30，ADCDxm
22、，ADBDAB，xx22，解得：x11（+1）30.03，CECD+DE30.03+1.531.5（m），答：“青云塔”CH 的高度约为 31.5m 20解：（1）斜坡 CD 的坡比为，DCE30，在 RtDCE 中，DC4 米，DEDC2（米），斜坡 CD 的高度 DE 为 2 米；（2）过点 D 作 DFAB，垂足为 F，则 DFAE，DEAF2 米，在 RtDCE 中，DC4 米，DCE30，CEDCcos3042（米），设 BFx 米，ABAF+BF（x+2）米，在 RtDBF 中，BDF45，DFx（米），AEDFx 米，ACAEEC（x2）米，在 RtABC 中，BCA60，tan
23、60，解得：x4+4，经检验：x4+4 是原方程的根，AB4+4+2（4+6）米，大楼 AB 的高度为（4+6）米 21解：由已知可得，tanBAF，AB25 米，DBE60，DAC45，C90，设 BF7a 米，AF24a 米，（7a）2+（24a）2252，解得 a1，AF24 米，BF7 米，DAC45，C90，DACADC45，ACDC，设 DEx 米，则 DC（x+7）米，BECFx+724（x17）米，tanDBE，tan60，解得 x41，答：东楼的高度 DE 约为 41 米 22解：如图，作 CDAB 于 D 由题意可知：ACD50，BCD57，在 RtACD 中，ADCDta
24、n501.192CD，在 RtBCD 中，DBCDtan571.54CD，AB 相距 6 米，DBAD0.35CD6（米），CD17 米，答：此段河面的宽度约为 17 米 23解：过点 A 作 AMBD，过 B 点作 BMBD，AM 与 BM 交于点 M，在 A 点测得 C 点在 A 点的北偏西 75方向，NAC75，CAM15，由 A 点向南偏西 45方向行走到达 B 点，MAB45，MBA45，C 点在 B 点的北偏西 45方向，CBM45，CBA90，CBD45，C 点在 D 点的北偏东 22.5方向，PDC22.5，BDC67.5，DCB18067.54567.5，BDBC，由题可得
25、DB2km，BC2km，在 RtABC 中，CAB15+4560，BC2，AC2.3km 24解：（1）过点 A 作 AFCD，垂足为 F，在 RtAFD 中，AFADsin533.50.82.8 米，答：点 A 到地面的距离为 2.8 米；（2）过点 A 作 AGEC，垂足为 G，则 AFGC，AGCF，在 RtAFD 中，DFADcos533.50.62.1 米，设 CF 为 x 米，则 CD 为（2.1+x）米，在 RtBCD 中，BCCDtan45（2.1+x）米，GBGCBC2.8（2.1+x）（0.7x）米，在 RtAGB 中，tan76，tan76，解得：x0.56，CFAG0.56 米，AB0.6 米