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1、2022-2023 学年苏科版九年级数学下册6.7 用相似三角形解决问题 优生辅导练习题（附答案）一选择题 1如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图等腰直角三角板的斜边 BD 与地面 AF 平行，当小明的视线恰好沿 BC 经过旗杆顶部点 E 时，测量出此时他所在的位置点 A 与旗杆底部点 F 的距离为 10 米如果小明的眼睛距离地面 1.7 米，那么旗杆 EF 的高度为（）A10 米 B11.7 米 C米 D米 2如图，物理课上张明做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离为 36cm，要使烛焰的像 AB是烛焰 AB 的 2 倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛（）cm 的地
2、方 A12 B24 C18 D9 3如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上 已知纸板的两条边DF50cm，EF30cm，测得边 DF 离地面的高度 AC1.5m，CD20m，则树高 AB 为（）A12 m B13.5 m C15 m D16.5 m 4 如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成 如果两个直角三角形的两条斜边长分别为 4 米和 6 米，则草皮的总面积为（）平方米 A3 B9 C12 D24 5为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组
3、做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8 米的点 E 处，然后沿着直线 BE 后退到点 D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点 A，再用皮尺量得 DE2 米，观察者目高 CD1.5 米，则树（AB）的高度为（）A12 米 B米 C6 米 D5.2 米 6如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长 18cm，底边上的高长 18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为 3cm 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A第 4 张 B第 5 张 C第 6 张 D第 7 张 7相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图
4、，一根电杆钢索系在离地面 4 米处，另一根电杆钢索系在离地面 6 米处，则中间两根钢索相交处点 P 离地面（）A2.4 米 B2.8 米 C3 米 D高度不能确定 8如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行 张强扛着箱子（人与箱子的总高度约为 2.2m）乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的距离约为（）A5.5m B6.2m C11m D2.2m 9 如图，正方形 ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分 EOFB，GHMN 都是正方形的花圃 已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A B C D 10我国古代数学家刘徽发展了“重差
5、术”，用于测量不可到达的物体的高度比如，通过下列步骤可测量山的高度 PQ（如图）：（1）测量者在水平线上的 A 处竖立一根竹竿，沿射线 QA 方向走到 M 处，测得山顶 P、竹竿顶端 B 及 M 在一条直线上；（2）将该竹竿竖立在射线 QA 上的 C 处，沿原方向继续走到 N 处，测得山顶 P、竹竿顶端 D 及 N 在一条直线上；（3）设竹竿与 AM，CN 的长分别为 l，a1，a2，可得公式：PQ+l 则上述公式中，d 表示的是（）AQA 的长 BAC 的长 CMN 的长 DQC 的长 11如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E，F 分别是 DC 和 BC 两边上的动点且始终保持EAF
6、45，连接 AE 与 AF 交 DB 于点 N，M下列结论：ADMNBA；CEF 的周长始终保持不变其值是 4；AEAMAFAN；DN2+BM2NM2其中正确的结论是（）A B C D 二填空题 12如图，丁轩同学在晚上由路灯 AC 走向路灯 BD，当他走到点 P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯 AC 的底部，当他向前再步行 20m 到达 Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是 m 13如图，在 RtABC 中，C90，翻折C，使点 C 落在斜边 AB 上某一点 D 处，折痕为 MN（点 M、N
7、 分别在边 AC、BC 上），给出以下判断：当 MNAB 时，CMAM；当四边形 CMDN 为矩形时，ACBC；当点 D 为 AB 的中点时，CMN 与ABC 相似；当CMN 与ABC 相似时，点 D 为 AB 的中点 其中正确的是 （把所有正确的结论的序号都填在横线上）142014 年上海市大学生网球锦标赛于 10 月 19 日在上海大学开始，一名站在离球网 1.6m远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为 0.8m 的球网，而且落在离球网 3.2m远的位置上，如图所示，则球拍击球的高度 h 为 m 15已知：如图，ABC 中，A45，AB6，AC，点 D、E、F 分别是三边 AB、BC
8、、CA 上的点，则DEF 周长的最小值是 三解答题 16感知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，B90，点 P 在 BC 边上，当APD90时，可知ABPPCD（不要求证明）探究：如图，在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当BCAPD 时，求证：ABPPCD 拓展：如图，在ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、AC 上若BCDPE45，BC6，CE4，则 DE 的长为 17如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是边 BC 的中点，F 是 CD 上一点，已知AEF90（1）求证：；（2）平行四边形 ABCD 中，E 是边 BC 上一点，F 是边 C
9、D 上一点，AFEADC，AEF90如图 2，若AFE45，求的值 18 如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 后，ABC 与ADE 构成位似图形，我们称ABC与ADE 互为“旋转位似图形”（1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 （填“是”或“不是”）“旋转位似图形”；如图 1，ABC 和ADE 互为“旋转位似图形”，若 26，B100，E29，则BAE ；若 AD6，DE8，AB4，则 BC ；（2）知识运用：如图 2，在四边形 ABCD 中，ADC90，AEBD 于 E，DACDBC，求证：ACD 和ABE 互为“旋转位似图形”；（3）拓展提高：如图 3，ABC 为等腰
10、直角三角形，点 G 为 AC 中点，点 F 是 AB 上一点，D 是 GF 延长线上一点，点 E 在线段 GF 上，且ABD 与AGE 互为“旋转位似图形”，若 AC6，AD2，求出 DE 和 BD 的值 19苏科版九年级下册数学课本 91 页有这样一道习题：如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，F 是 CD 上一点，且 CF3DF图中有哪几对相似三角形？把它们表示出来，并说明理由（1）复习时，小明与小亮、数学老师交流了自己的两个见解，并得到了老师的认可：可以假定正方形的边长 AB4a，则 AEDE2a，DFa，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以证明ABED
11、EF；请结合提示写出证明过程 图中的相似三角形共三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF 与它们相似证明过程如下：证明：ABEDEF，ABEDEF，又A90，ABE+AEB90DEF+AEB90，ABEF90AEDE，即ABEEBF，同理，DEFEBF（2）交流之后，小亮尝试对问题进行了变化，在老师的帮助下，提出了新的问题，请你解答：已知：如图 2，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，EFEC 交 AB 于 F，连接 FC（ABAE）求证：AEFECF；设 BC2，ABa，是否存在 a 值，使得AEF 与BFC 相似若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由
12、20如图，矩形 ABCD 中，AB10，AD5，分别以 AD、BC 为斜边向矩形内作 RtADERtCBF，AEDCFB90，连接 EF，延长 AE、BF 相交于点 G（1）求证：ADEBAG；（2）若 DE4，求 EF 的长；（3）在点 E 运动变化的过程中，线段 EF 的最小值为 （直接写出结果）21如图、图所示，在等腰直角ABC 中，ABC90，O 为斜边 AC 的中点，P 为线段 BC 上的一个动点（不与点 B 重合），作BPE22.5，PE 交 BO 于点 E，过点 B作 PE 的垂线，垂足为 F，延长 BF 交 AC 于点 G（1）当点 P 与 C 重合时（如图），求证：BOGPO
13、E；（2）通过观察分析，猜想 ，并结合图证明你的猜想；（3）把等腰直角ABC 改为等腰ABC，ABBC，ACB2BPE，其他条件不变（如图），若记ACB，则 （可用含 的式子表示）22我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”（1）概念理解：如图 1，在ABC 中，AC6，BC3，ACB30，试判断ABC 是否是”等高底”三角形，请说明理由（2）问题探究：如图 2，ABC 是“等高底”三角形，BC 是”等底”，作ABC 关于 BC 所在直线的对称图形得到ABC，连接 AA交直线 BC 于点 D若点 B 是AAC 的重心，求
14、的值（3）应用拓展：如图 3，已知 l1l2，l1与 l2之间的距离为 2“等高底”ABC 的“等底”BC 在直线 l1上，点 A 在直线 l2上，有一边的长是 BC 的倍将ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转45得到ABC，AC 所在直线交 l2于点 D求 CD 的值 23已知：如图 1，ABCADE，BACDAE90，AB6，AC8，点 D 在线段 BC 上运动（）当 ADBC 时（如图 2），求证：四边形 ADCE 为矩形；（）当 D 为 BC 的中点时（如图 3），求 CE 的长；（）当点 D 从点 B 运动到点 C 时，设 P 为线段 DE 的中点，求在点 D 的运动过程中，点 P 经
15、过的路径长（直接写出结论）参考答案 一选择题 1解：延长 BD 交 EF 于 H，如图，BDAF，EFAF，BHEF，易得四边形 ABHF 为矩形，AFBH10，HFAB1.7，BCD 为等腰直角三角形，CBD45，BHE 为等腰直角三角形，EHBH10，EFEH+HF10+1.711.7 答：旗杆 EF 的高度为 11.7m 故选：B 2解：设蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛 xcm，根据题意可得：，解得：x12，蜡烛与成像板之间的小孔纸应放在离蜡烛 12cm 的地方 故选：A 3解：DEFBCD90DD DEFDCB DF50cm0.5m，EF30cm0.3m，AC1.5m，CD20
16、m，由勾股定理求得 DE40cm，BC15 米，ABAC+BC1.5+1516.5 米，故选：D 4解：MDE 是直角三角形，四边形 ABCD 是正方形，MABBCE90，M+ABM90，ABM+CBE90，MCBE，AMBCBE，MB6，BE4，ABBC，设 CE2x，则 BC3x，在 RtCBE 中，BE2BC2+CE2，即 42（3x）2+（2x）2，解得 x，CE，ABBC，AMAB，S草皮SCBE+SAMB+12 故选：C 5解：根据题意，易得CDEABE90，CEDAEB，则ABECDE，则，即，解得：AB6 米 故选：C 6解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边
17、的边是 3，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为 x，则，解得 x3，所以另一段长为 18315，因为 1535，所以是第 5 张 故选：B 7解：CDAB，APBCDP，CDPE，BPEBDC，解得 PE2.4 故选：A 8解：作 DEBC 交 FC 于点 E，ABCCED，设 ABx 米，由题意得：DE1046 米，ECx2.2 米，解得：x5.5，故选：A 9解：设正方形的 ABCD 的边长为 a，则 BFBC，ANNMMCa，阴影部分的面积为（）2+（a）2a2，小鸟在花圃上的概率为 故选：C 10解：ABPQ，AQa1a1，CDPQ，AQa2a2AC，a1a1a2a
18、2AC，PQ+l，dAC，故选：B 11 解：ANBNDA+NAD45+NAD，MADMAN+NAD45+NAD，ANBMAD，又ADMABN45，ADMNBA，正确；如图 1，把ADE 顺时针旋转 90得到ABG，则 BGDE，FAGFAB+DAE45，在AEF 和AGF 中，AEFAGF，FGEF，CEF 的周长CE+CF+EFCE+DE+CF+FG4，正确；当 MNEF 时，AEAMAFAN，MN 与 EF 的位置关系不确定，错误；如图 2，把ADN 顺时针旋转 90得到ABH，则 BHDN，MAHMAB+BAHMAB+DAN45，在NAM 和HAM 中，NAMHAM，MNMH，MBHM
19、BA+ABHMBA+ADN90，BH2+BM2MH2，即 DN2+BM2NM2，正确 故选：B 二填空题 12解：MPBD，同理，ACBD，APBQ，设 APBQx，则 AB2x+20，NQAC BQNBAC，即，解得：x5 则两路灯之间的距离是 25+2030m 故答案为：30 13解：MNAB，CMNCAB，NMDMDA，由翻折变换的性质可知，CMNDMN，CMDM，CABMDA，AMDM，CMAM，故正确；根据折叠的性质得到 CMDM，矩形 CMDN 是正方形，又任意一个直角三角形都有一个内接正方形满足题意，故错误，当点 D 是 AB 的中点时，CMN 与ABC 相似，理由如下：如图 2
20、，连接 CD，与 MN 交于点 Q，CD 是 RtABC 的中线，CDDBAB，DCBB，由轴对称的性质可知，CQNDQN90，DCB+CNM90，B+A90，CNMA，又CC，CMNCBA；故正确；CNM 与ABC 相似，MNDCAB，MDNMCN90，C，M，D，N 四点共圆，ACDMND，ACDA，ADCD，同理 CDBD，点 D 为 AB 的中点，当ABCMNC 时，点 D 不是 AB 的中点，故错误，故答案为：14解：DEBC，ADEABC，即，解得，h1.2，故答案为：1.2 15解：如图，作 E 关于 AB 的对称点，作 E 关于 AC 的对称点 N，连接 AE，MN，MN 交A
21、B 于 D，交 AC 于 F，作 AHBC 于 H，CKAB 于 K 由对称性可知：DEDM，FEFN，AEAMAN，DEF 的周长 DE+EF+FDDM+DF+FN，当点 E 固定时，此时DEF 的周长最小，BAC45，BAEBAM，CAECAN，MAN90，MNA 是等腰直角三角形，MNAE，当 AE 的值最小时，MN 的值最小，AC4，AKKC4，AB6，BKABAK2，在 RtBKC 中，BKC90，BK2，CK4，BC2，BCAHABCK，AH，根据垂线段最短可知：当 AE 与 AH 重合时，AE 的值最小，最小值为，MN 的最小值为，DEF 的周长的最小值为 故答案为 三解答题 1
22、6解：感知：APD90，APB+DPC90，B90，APB+BAP90，BAPDPC，ABCD，B90，CB90，ABPPCD 探究：APCBAP+B，APCAPD+CPD，BAP+BAPD+CPD BAPD，BAPCPD BC，ABPPCD，拓展：同探究的方法得出，BDPCPE，点 P 是边 BC 的中点，BPCP3，CE4，BD，BC45，A180BC90，即 ACAB 且 ACAB6，ADABBD6，AEACCE642，在 RtADE 中，DE 故答案是：17（1）证明：如图 1 中，设正方形的边长为 2a 四边形 ABCD 是正方形，BC90，AEF90，AEB+FEC90，FEC+E
23、FC90，AEBEFC，ABEECF，BEECa，ABCD2a，CFa，DFCDCFa，（2）如图 2 中，在 AD 上取一点 H，使得 FHDF AEF90，AFED45，AEF 是等腰直角三角形，AFEF，FHFD，FHDD45，AHF135，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，C180D135，AHFC，AFCD+FAHEFC+AFE，AFED，HAFEFC，AHFFCE，EC：HFEF：AF1：2，18解：（1）两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形，把其中一个三角形绕公共顶点旋转后构成位似图形，故它们互为“旋转位似图形”；ABC 和ADE 互为“旋转位似图形”，ABCADE
24、，DB100，又26，E29，BAE180100292625；ABCADE，AD6，DE8，AB4，BC，故答案为：是；25；（2）证明：12，34，AODBOC，即，又56，AOBDOC，78，又ADC90，AEBD，ADCAEB，ABEACD，ACD 和ABE 互为“旋转位似图形”；（3）ABDAGE，12，AC6，AD2，AB3，AG3，代入求得：AE2 如图 3，过 E 作 EHAD 于 H，2+345，12，1+345，AE2，AH，AHAD，DEAE2，DEAGEA90，ADBGEA90，根据勾股定理，得 BD；综上，DE2，BD 19解：（1）证明：如图 1，假定正方形的边长 A
25、B4a，则 AEDE2a，DFa，在正方形 ABCD 中，AD90 2，AD90 ABEDEF（2）证明：如图 2，D90，DEC+DCE90，EFEC，DEC+AEF90，AEFDCE，又AD90，AEFDEC，AEED，即，ACEF90，AEFECF 由题意得：BCAD2，ABDCa，AEDE1，由AEFDCE 得：AF，故 BFa 若AEFBFC，则，即，此时 a 无解；若AEFBCF，则，即，此时 a 所以，当 a时，AEF 与BFC 相似 20解：（1）DABAED90，ADE+DAE90BAG+DAE，ADEBAG，又RtADERtCBF，CBFADE，CBG+DAE90，BAG+
26、ABG90，GAED90，ADEBAG；（2）RtADE 中，AD5，DE4，AE3，ADEBAG，即，AG8，BG6，又BFDE4，GF2，GE5，RtEFG 中，EF；（3）设 DEx，AEy，则 RtADE 中，x2+y25225，由 RtADERtCBF，ADEBAG，可得 AG2x，BG2y，BFx，FG2yx，EG2xy，RtEFG 中，EF，由（xy）20 可得，x2+y22xy，xy，当 xy时，EF 的最小值为5，故答案为：5 21解：（1）ABC 是等腰直角三角形，P 与 C 重合，OBOP，BOCBOG90，PFBG，PFB90，GBO90BGO，EPO90BGO，GBO
27、EPO，在BOG 和POE 中，BOGPOE（ASA）；（2），证明：如图 2，过 P 作 PMAC 交 BG 于 M，交 BO 于 N，PNEBOC90，BPNOCB OBCOCB45，NBPNPB NBNP MBN90BMN，NPE90BMN，MBNNPE，在BMN 和PEN 中，BMNPEN（ASA），BMPE BPEACB，BPNACB，BPFMPF PFBM，BFPMFP90 在BPF 和MPF 中，BPFMPF（ASA）BFMF，即 BFBM BFPE，即，故答案为：；（3）如图 3，过 P 作 PMAC 交 BG 于点 M，交 BO 于点 N，BPNACB，PNEBOC90，由（
28、2）同理可得：BFBM，MBNEPN，BNMPNE90，BMNPEN，在 RtBNP 中，tan，tan，即tan，tan 故答案为：tan 22解：（1）ABC 是“等高底”三角形；理由：如图 1，过 A 作 ADBC 于 D，则ADC 是直角三角形，ADC90，ACB30，AC6，ADAC3，ADBC3，即ABC 是“等高底”三角形；（2）如图 2，ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，ADBC，ABC 关于 BC 所在直线的对称图形是ABC，ADC90，点 B 是AAC 的重心，BC2BD，设 BDx，则 ADBC2x，CD3x，由勾股定理得 ACx，；（3）当 ABBC 时，如
29、图 3，作 AEBC 于 E，DFAC 于 F，“等高底”ABC 的“等底”为 BC，l1l2，l1与 l2之间的距离为 2，ABBC，BCAE2，AB2，BE2，即 EC4，AC2，ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC，DCF45，设 DFCFx，l1l2，ACEDAF，即 AF2x，AC3x2，x，CDx 如图 4，此时ABC 等腰直角三角形，ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC，ACD 是等腰直角三角形，CDAC2 当 ACBC 时，如图 5，此时ABC 是等腰直角三角形，ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC，ACl1，CDABBC2；如图 6，
30、作 AEBC 于 E，则 AEBC，ACBCAE，ACE45，ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45，得到ABC 时，点 A在直线 l1上，ACl2，即直线 AC 与 l2无交点，综上所述，CD 的值为，2，2 23（）证明：DAE90，ADBC，AEDC，ABCADE，AEDDCA，在AED 和DCA 中，AEDDCA，AEDC，又 AEDC，四边形 ADCE 为平行四边形，DAE90，四边形 ADCE 为矩形；（）解：在 RtABC 中，BC10，D 为 BC 的中点，ADBDBC5，ABCADE，BACDAE90，BADCAE，ABDACE，即，解得，CE；（）如图，当 D 与 B 重合时，P 为 BC 的中点，当 D 与 C 重合时，P为 CE 的中点，当 D 与 C 重合时，ABCADE，即，解得，AE，BEAB+AE，PPBE，如图 3，当点 D 为 BC 中点时，DADB，DABDBA，DABADE，DEAB，PPAB，PPAB，点 P 运动路径就是线段 PP，即点 P 经过的路径长为