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1、2022-2023 学年苏科版九年级数学下册6.7 用相似三角形解决问题 自主达标测试题（附答案）一选择题（共 8 小题，满分 32 分）1如图，小雅同学在利用标杆 BE 测量建筑物的高度时，测得标杆 BE 高 1.2m，又知 AB：BC1：8，则建筑物 CD 的高是（）A9.6m B10.8m C12m D14m 2 如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成 如果两个直角三角形的两条斜边长分别为 4 米和 6 米，则草皮的总面积为（）平方米 A3 B9 C12 D24 3如图，有一块三角形余料 ABC，BC120mm，高线 AD80mm，要把它加工成一个矩形
2、零件，使矩形的一边在 BC 上，点 P，M 分别在 AB，AC 上，若满足 PM：PQ3：2，则PM 的长为（）A60mm Bmm C20mm Dmm 4如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行 张强扛着箱子（人与箱子的总高度约为 2.2m）乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的距离约为（）A5.5m B6.2m C11m D2.2m 5 九章算术是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为 200 步（“步”是古代的长度单位
3、）的正方形小城，东门 H 位于 GD 的中点，南门 K 位于 ED 的中点，出东门 15 步的 A 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为（）步 A B C D700 6如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，AEEF，下列结论：BAE30；ABEAEF；CFCD；SABE4SECF正确结论的个数为（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 7如图，某数学兴趣小组测量一棵树 CD 的高度，在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 45，在点 B 处测得树顶 C 的仰角为 60，且 A，B，D 三点在同一直线上，若
4、AB16m，则这棵树 CD 的高度是（）A8（3）m B8（3+）m C6（3）m D6（3+）m 8如图，在ABC 中，ACB90，ACBC1，E，F 是线段 AB 上的两个动点，且ECF45，过点 E，F 分别作 BC，AC 的垂线相交于点 M，垂足分别为 H，G有以下结论：AB；当点 E 与点 B 重合时，MH；ACEBFC；AF+BEEF其中正确的结论有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（共 8 小题，满分 32 分）9小明在测量楼高时，先测得楼房在地面上的影子长 BA 为 24 米，小明在 A 处立了一根 2米长的标杆，测得影子 AC 长 3 米，则教学楼高 米 1
5、0我国魏晋时期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作海岛算经中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合问岛高几何？译文：今要测量海岛上一座山峰 AH 的高度，在 B 处和 D 处竖立标杆 BC 和 DE，标杆的高都是 3 丈，B 和 D 两处相隔 1000 步（1 丈10 尺，1 步6 尺），并且 AH，CB 和 DE在同一平面内从标杆 BC 后退 123 步的 F 处可以看到顶峰 A 和标杆顶端 C 在同一直线上；从标杆 ED 后退 127 步的 G 处可以
6、看到顶峰 A 和标杆顶端 E 在同一直线上则山峰AH 的高度是 11如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 ABBD，CDBD，测得 AB2 米，BP3 米，PD15 米，那么该古城墙的高度 CD 是 米 12如图，直立在点 B 处的标杆 AB2.5m，站立在点 F 处的观测者从点 E 看到标杆顶 A，树顶 C 在同一直线上（点 F，B，D 也在同一直线上）已知 BD10m，FB3m，人的高度 EF1.7m，则树高 DC 是 （精确到 0.1m）13 如图，用两根等长的钢条 AC
7、 和 BD 交叉构成一个卡钳，可以用来测量工件内槽的宽度 设m，且测得 CDb，则内槽的宽 AB 等于 14已知：如图，小明在打网球时，网高 0.9m，击球点距离球网的水平距离是 10 米，要使球恰好能打过网，而且落在离网 5 米的位置上，则球拍球的高度 h 应为 米 15在针孔成像问题中，根据图中尺寸可知像 AB的长是物 AB 长的 16如图，在离某建筑物 4 米处有一棵树 AB，在某时刻，将 1.2m 长的竹竿 AB竖直立在地面上，影长为 2m，此时，树的影子照射到地面，还有一部分影子投影在建筑物的墙上，墙上的影子长为 2m，那么这棵树高约为 米 三解答题（共 7 小题，满分 56 分）1
8、7如图，矩形 ABCD 为台球桌面，AD280cm，AB140cm，球目前在 E 点位置，AE35cm，如果小丁瞄准 BC 边上的点 F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到 D 点位置 （1）求证：BEFCDF；（2）求 CF 的长 18如图，在ABC 中，ABAC5cm，BC8cm，点 P 为 BC 边上一动点（不与点 B、C重合），过点 P 作射线 PM 交 AC 于点 M，使APMB；（1）求证：ABPPCM；（2）设 BPx，CMy，求 y 与 x 的函数解析式并写出函数的定义域；（3）当PCM 为直角三角形时，求点 P、B 之间的距离 19小明测得树 AB 落在水平地面上的影长 BC
9、 为 2.4 米，落在坡面上的影长 CE 为 3.2 米，身高是 1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，小芳帮他测得他的影长为 2m 已知坡面的铅直高度 CH 与水平距离 DH 的比为 3：4，试求树 AB 的高度 20某中学的图书馆与实验楼中间有一地标牌 AB，小鸣和小夕两位同学分别在图书馆和实验楼的 C、E 两点处观测地标牌的顶端 A，他们的视线如图所示，小鸣从点 C 处可以看到地面上距离实验楼底部 10 米远的点 G 处，小夕从点 E 恰好可以看到图书馆的底部 D处，已知图中的所有点均在同一平面内，CDDF，ABDF，EFDF，CD6 米，EF3 米，DF25 米，请你根据以上
10、数据，求该地标牌的高度 AB 及它与图书馆之间的距离 BD（结果精确到 0.1 米）21点 C，D 分别是ABO 的边 AO，BO 延长线上的点，AB 的延长线交 DC 于点 E（1）如图（1），若BOA90，BOAO，ACBD 求证：CEDE；若 OC2AO，直接写出 sinAEO 的值；（2）如图（2），若 BEDE，AB4，求 DC 的长 22已知：AOB 中，ABOB2，COD 中，CDOC3，ABODCO，连接 AD，BC，点 M、N、P 分别为 OA、OD、BC 的中点 （1）如图 1，若 A，O，C 三点在同一直线上，且ABO60，则PMN 的形状是 此时 （2）如图 2，若 A
11、，O，C 三点在同一直线上，且，证明PMNBAO，并计算的值；（3）在图 2 中，固定AOB，将COD 绕点 O 旋转，直接写出 PM 的最大值 23如图，已知一次函数 yx+2的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，与正比例函数 yx 的图象交于点 C，点 D 是线段 OB 上的一个动点（不包含 O、B 两点），以 AD 为边在其一侧作等边三角形 ADE，DE 交 AB 于 F，AD 交 OC 于 G（1）分别求出 A、B、C 点的坐标；（2）求证：ADF 和ACG 是否相似，为什么？（3）证明 CE 总与 AB 垂直 参考答案 一选择题（共 8 小题，满分 32 分）1解：AB：B
12、C1：8，AB：AC1：9，EBCD，ABEACD，BE1.2，CD10.8m，故选：B 2解：MDE 是直角三角形，四边形 ABCD 是正方形，MABBCE90，M+ABM90，ABM+CBE90，MCBE，AMBCBE，MB6，BE4，ABBC，设 CE2x，则 BC3x，在 RtCBE 中，BE2BC2+CE2，即 42（3x）2+（2x）2，解得 x，CE，ABBC，AMAB，S草皮SCBE+SAMB+12 故选：C 3解：如图，设 AD 交 PN 于点 K PM：PQ3：2，可以假设 MP3k，PQ2k 四边形 PQNM 是矩形，PMBC，APMABC，ADBC，BCPM，ADPM，
13、解得 k20mm，PM3k60mm，故选：A 4解：作 DEBC 交 FC 于点 E，ABCCED，设 ABx 米，由题意得：DE1046 米，ECx2.2 米，解得：x5.5，故选：A 5解：DH100，DK100，AH15，AHDK，CDKA，而CKDAHD，CDKDAH，即，CK 答：KC 的长为步 故选：A 6解：四边形 ABCD 是正方形，BC90，ABBCCD，AEEF，AEFB90，BAE+AEB90，AEB+FEC90，BAECEF，BAECEF，BECEBC，（）24，SABE4SECF，故正确；CFECCD，故错误；tanBAE，BAE30，故错误；设 CFa，则 BECE
14、2a，ABCDAD4a，DF3a，AE2a，EFa，AF5a，ABEAEF，故正确 与正确 正确结论的个数有 2 个 故选：B 7解：设 ADx 米，AB16 米，BDABAD（16x）米，在 RtADC 中，A45，CDADtan45x（米），在 RtCDB 中，B60，tan60，x248，经检验：x248是原方程的根，CD2488（3）米，这棵树 CD 的高度是 8（3）米，故选：A 8解：由题意知，ABC 是等腰直角三角形，则 AB，故正确；如图 1，当点 E 与点 B 重合时，点 H 与点 B 重合，MBBC，MBC90，MGAC，MGC90CMBC，MGBC，四边形 MGCB 是矩
15、形，MHMBCG，FCE45ABC，AACF45，CEAFBF，FG 是ACB 的中位线，GCACMH，故正确；如图 2 所示，ACBC，ACB90，A545 将ACF 顺时针旋转 90至BCD，则 CFCD，14，A645；BDAF；245，1+33+445，DCE2 在ECF 和ECD 中，ECFECD（SAS），EFDE 545，BDE90，DE2BD2+BE2，即 EF2AF2+BE2，故错误；71+A1+451+2ACE，A545，ACEBFC，故正确 故选：C 二填空题（共 8 小题，满分 32 分）9解：即，楼高16 米 故答案为：16 10解：由题意，得，AHHG，CBHG，A
16、HF90，CBF90，AHFCBF，AFBCFB，CBFAHF，同理可得，BF123，BD1000，DG127，HFHB+123，HGHB+1000+127HB+1127，解得 HB30750，HA753 丈1255 步，故答案为：1255 步 11解：如图，由题意可得：APECPE，APBCPD，ABBD，CDBD，ABPCDP90，ABPCDP，AB2 米，BP3 米，PD15 米，解得：CD10 米，故答案为：10 12解：过 E 作 EHCD 交 CD 于 H 点，交 AB 于点 G，如下图所示：由已知得，EFFD，ABFD，CDFD，EHCD，EHAB 四边形 EFDH 为矩形 EF
17、GBDH1.7，EGFB3，GHBD10 AGABGB0.8 EHCD，EHAB，AGCH，AEGCEH EHEG+GH13 CH3.5 CDCH+HD5.2 即树高 DC 为 5.2 米 故答案为：5.2m 13解：OAOB，OCOD，CODAOB，CODBOA，m，m，又CDb，ABbm 故答案为：bm 14解：DEBC，ADEACB，即，则，h2.7m 故答案为：2.7 15解：如图，作 OMAB，ONAB，ABAB，OABOAB，即，ABAB 故答案为：16解：CD 长为 2m，CD 在地上的影长为 x1，1.2：22：x1，x1 AB 在地上的影长为（4+）m（+4）：AB：2 AB
18、4.4 树高约 4.4 米 三解答题（共 7 小题，满分 56 分）17（1）证明：EFGDFG，EFBDFC，又BC，BEFCDF；（2）解：BEFCDF，设 FCxcm，则，解得：x160，答：CF 的长为 160cm 18解：（1）证明：ABAC，BC BAP+B+APB180APB+APM+CPM，APMB，BAPCPM，ABPPCM；（2）设 BPx，CMy，则 PC8x ABPPCM，即，yx2+x BC8cm，0 x8，y 与 x 的函数解析式为 yx2+x（0 x8）（3）ABPPCM，PCM 为直角三角形，ABP 为直角三角形 当APB90时，如图 1 所示 ABAC，BPP
19、CBC4cm；当BAP90时，如图 2 所示 cosABP，即，BP 综上所述：当PCM 为直角三角形时，点 P、B 之间的距离为 4cm 或cm 19解：延长 DC 交 AB 于 G，延长 HC 交 AE 于 M，如图，BCDH，BCGHDC，而，解得 BG1.8，CG3，身高是 1.6 米的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，长度为 2 米，解得 CM2.56，CMAG，ECMEGA，即，解得 AG4.96，AB4.96+1.86.76（m）答：树 AB 的高度为 6.76m 20解：设 ABx 米，BDy 米，CDDF，ABDF，EFDF，ABCDEF，CD6 米，EF3 米，DF25
20、米，FG10 米，解得，答：地标牌的高度 AB 的长为米，它与图书馆之间的距离 BD 的长为米 21解：（1）过 C 作 CFOD 交 AE 的延长线于 F，BOA90，CFAC，BOAO，A45，CFA 是等腰直角三角形，CFAC，ACBD，CFBD，1D，2F，在BED 和FEC 中，BEDFEC，CEDE；设 AOx，则 CO2x，BDAC3x，OD4x CD2x，过 O 作 OHAB 于 H，则 OHx，由知 CEDE，OECDx，sinAEO；（2）过 C 作 CFOD，交 AE 的延长线于 F，CFOD，BF6，1D，2F，BEDE，2D，1F，CEEF，DCCE+EBBF6 22
21、（1）解：如图 1，ABODCO60，BAO 和COD 都为等边三角形，CODBOD60，B、O、D 三点共线，BOCAOD，而1，BOCAOD，ADBC，即1，点 M、N 分别为 OA、OD 的中点，BMOA，CNOD，MNAD，点 P 为 BC 的中点，PMBC，PNBC，PMPNMN，PMN 为等边三角形；故答案为等边三角形，1；（2）证明：如图 2，OA，ABODCO，而，BOACOD，BOACOD，OD2，A，O，C 三点在同一直线上，B、O、D 三点共线，BOCAOD，BOCAOD，由（1）得 PMPNBC，而，而 BABO，PMPN，PMNBAO；（3）解：取 OB 的中点 Q，
22、如图 2，则 QMAB1，QPOC，PMQP+QM（当 P、Q、M 共线时，取等号），PM 的最大值为 2.5 23（1）解：对于一次函数 yx+2，令 x0，得 y2，令 y0 得 x2，A（2，0），B（0，2），由解得，点 C 坐标为（1，）（2）解：结论：ADFACG 理由：C（1，），A（2，0），OC2，AC2，OCACOA，AOC 是等边三角形，ACG60，ADE 是等边三角形，ADE60，ACGADF，CAGDAF，ADFACG（3）证明：连接 EC，AOC，ADE 都是等边三角形，AOAC，ADAE，OACDAE，OADCAE，在OAD 和CAE 中，OADCAE（ASA），AODACE90，ECAB