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1、2022-2023 学年苏科版九年级数学下册 7.6 用锐角三角函数解决问题 同步练习（附答案）一选择题 1某人沿着斜坡前进，当他前进 30 米时上升的高度为 15 米，则斜坡的坡度 i 等于（）A1：2 B1：C1：D2：1 2如图，有一斜坡 AB，坡顶 B 离地面的高度 BC 为 30cm，斜坡的倾角是BAC，若 tanBAC，则此斜坡的水平距离 AC 为（）A75cm B50cm C30cm D45cm 3甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是 10km/h，甲客轮沿着北偏东 30的方向航行，3h 后到达小岛 A，乙客轮沿着南偏东 60的方向航行，4h 到达小岛 B则 A，B两岛的距
2、离为（）km A30 B40 C50 D60 4 如图，某飞机于空中 A 处（探测的目标 C 的正上方），此时飞机的飞行高度 AC1200m，从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角DAB30 则飞机 A 与指挥台 B 的距离是（）A1200米 B1200米 C2400 米 D1200米 5如图，小强从热气球上的 A 点测量一栋高楼顶部的仰角DAB30，测量这栋高楼底部的俯角DAC60，热气球与高楼的水平距离为 AD15米，则这栋高楼的高 BC为（）米 A45 B60 C75 D90 6如图，为了测量河岸 A，B 两地的距离，在与 AB 垂直的方向上取点 C，测得 ACa，ABC，那么 A，B 两地
3、的距离等于（）A Batan Casin Dacos 7如图，一个小球由坡底沿着坡度为 1：2 的坡面前进了 10 米，此时小球在竖直方向上上升了（）A4 米 B米 C5 米 D米 8 如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点 A 处，测得河的北岸边点 B 在其北偏东 45方向然后向西走 80 米到达 C 点，测得点 B 在点 C的北偏东 60方向，则这段河的宽度为（）A80（）米 B40（）米 C（12040）米 D40（）米 二填空题 9图 1 是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成图 2 是其侧面结构示意图（MN 是基座的高，MP 是主臂，PQ
4、 是伸展臂）已知基座高度 MN 为 0.5 米，主臂MP 长为 3米，主臂伸展角 的范围是：060，伸展臂伸展角 的范围是：45135当 45时（如图 3），伸展臂 PQ 恰好垂直并接触地面（1）伸展臂 PQ 长为 米；（2）挖掘机能挖的最远处距点 N 的距离为 米 10如图，一艘轮船位于灯塔 P 的南偏东 60方向，距离灯塔 50 海里的 A 处，它沿正北方向航行，则灯塔 P 到航线 AB 的距离是 海里（结果保留根号）；航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的北偏东 45方向上的 B 处，此时 B 处与灯塔 P 的距离为 海里（结果保留根号）11小明用一块含有 60角（DAE60）的直角三角尺
5、测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示若小明的眼睛与地面之间的垂直高度 AB 为 1.60m，小明与树之间的水平距离 BC 为 4m，则这棵树的高度约为 m（结果精确到 0.1m，参考数据：1.70）12 为了疫情防控工作的需要，枣庄某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高 ME7.5 米，学生身高 BD1.5 米，当学生准备进入识别区域时，在点 B 时测得摄像头 M 的仰角为 30，当学生刚好离开识别区域时，在点 A 时测得摄像头 M 的仰角为 60，则体温监测有效识别区域 AB 的长是 （结果保留根号）13如图，一段河坝的断面为梯形 ABCD，根据图中的数据，求得
6、的坡角 a 和坝底宽 AD 分别为 14为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造已知四边形 ABCD为矩形，DE10m，其坡度为 i11：，将步梯 DE 改造为斜坡 AF，其坡度为 i21：4，求斜坡 AF 的长度是 米（结果精确到 0.01m，参考数据：1.732，4.123）15如图 1 是一种手机平板支架，图 2 是其侧面结构示意图托板 AB 固定在支撑板顶端的点 C 处，托板 AB 可绕点 C 转动，支撑板 CD 可绕点 D 转动如图 2，若量得支撑板长CD8cm，CDE60，则点 C 到底座 DE 的距离为 cm（结果保留根号）16如图，某传送带与地面所成斜坡的坡度为
7、 i1：2.4，它把物品从地面 A 送到离地面 5米高的 B 处，则物体从 A 到 B 所经过的路程为 米 三解答题 17一艘渔船以每小时 40km 的速度向正东航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 60方向；继续航行 1h 到达 B 处，测得灯塔 C 在北偏东 30方向已知灯塔 C 的四周 30km 内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？18如图，为了测量某建筑物 AB 的高度，小颖采用了如下的方法：先从建筑物底端 B 点出发，沿斜坡 BC 行走 26 米至坡顶 C 处，在 C 点测得该建筑物顶端 A 的仰角为 60，斜坡 BC 的坡度 i1：2.4根据小颖的测量数据，求建筑物 AB 的
8、高度（参考数据：1.732，结果精确到 0.1）19 如图是某市地铁站的一组智能通道闸机，当行人通过智能闸机时会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会自动收回到机箱内，行人即可通行图是一个智能通道闸机的截面图，已知ABCDEF28，ABDE60cm，点 A、D 在同一水平线上，且 A、D 之间的距离是 10cm（1）试求闸机通道的宽度（参考数据：sin280.47，cos280.88，tan280.53）（2）实验数据表明，一个智能闸机通道平均每分钟检票通过的人数是一个人工检票口通过的人数的 2 倍若有 240 人的团队通过同一个人工检票口比通过同一个智能闸机检票口多用 4 分钟，求一
9、个人工检票口和一个智能闸机通道平均每分钟检票各通过多少人？20为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动如图，大楼的顶部竖有一块广告牌 CD，同学们在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D 的仰角为 53，沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为 45，已知山坡 AB 的坡度 i1：，AB12 米，AE24 米，求广告牌 CD 的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米，参考数据：，）21如图所示，电视塔由信号发射塔 AB 和主楼 BC 两部分组成某校九年级数学社团利用元旦假期进行校外实践活动，他们选定点 D 为观测点，测得
10、 DC147m，信号发射塔顶A 的仰角为 45，发射塔底 B 的仰角为 33 请你帮他们求出信号发射塔 AB 的高度（结果精确到 0.1m参考数据：sin330.54，cos330.83，tan330.65）22如图，一条笔直的公路 l 经过某水厂 A 和宝塔 B，我区某镇准备开发桑葚基地 C，经测量 C 位于 A 北偏东 60，B 的北偏东 30上，且 AB20km（1）求宝塔 B 到桑葚基地 C 的距离（2）为了方便游客到桑葚基地 C 采摘桑葚，镇里决定由 C 向公路 l 修建一条距离最短的公路，不考虑其他因数，求出这条最短公路的长 23超速行驶是引发交通事故的主要原因上周末，小明和三位同
11、学尝试用自己所学的知识检测车速如图，观测点设在到迎泽大街（直线 AO）的距离（线段 PO）为 120 米的点P 处这时，一辆小轿车由点 A 向点 O 匀速行驶，测得此车从点 A 处行驶到点 B 处所用的时间为 5 秒，且APO60，BPO45（参考数据：1.414，1.732）（1）求点 A，B 之间的距离；（精确到 0.1 米）（2）请判断此车是否超过了迎泽大街每小时 60 千米的限制速度，并说明理由 参考答案 一选择题 1解：由题意得：某人在斜坡上走了 30 米，上升的高度为 15 米，则某人走的水平距离 s15（米），坡度 i15：151：故选：C 2解：在 RtABC 中，C90，BC
12、30cm，tanA，则，解得：AC75，则斜坡的水平距离 AC 为 75cm，故选：A 3解：如图，由题意得，AOD30，BOC60，AOB180306090，OA31030km，OB41040km，AB50km 故选：C 4解：由题意可知：B30，在 RtABC 中，sinB，AB2400（m），答：飞机 A 与指挥台 B 的距离约为 2400m，故选：C 5解：ADBC，垂足为 D，在 RtABD 中，BAD30，AD15m，BDADtan301515（m），在 RtACD 中，CAD60，AD15m，CDADtan601545（m），BC15+4560（m）故选：B 6解：在 RtABC
13、 中，tan，AB，故选：A 7解：AB 的坡度为 1：2，设 BCx 米，AC2x 米，在 RtABC 中，AB2AC2+BC2，AB100 米 即 100 x2+4x2，解得：x2，BC2米 故选：B 8解：过点 B 作 BDCA 交 CA 的延长线于 D，如图：设 BDx 米，BCA30，CDx，BAD45，ADBDx，则xx80，解得 x40（+1），答：这段河的宽度为 40（+1）米 故选：B 二填空题 9解：（1）过点 M 作 MHPQ，垂足为 Q，则 HQMN0.5 米，在 RtPHM 中，PMH45，PM32 米，PHPMsin4532（米），PQPH+HQ（16+0.50）米
14、，伸展臂 PQ 长为（16+0.5）米，故答案为：（16+0.5）；（2）当QPM135时，过点 Q 作 QAPM，交 MP 的延长线于点 A，连接 QM，APQ180QPM45，在 RtAPQ 中，PQ（16+0.5）米，AQPQsin45（16+0.5）（16+）（米），PM3米，AMAP+PM16（米），在 RtAQM 中，QM（米），在 RtQMN 中，QN（米），挖掘机能挖的最远处距点 N 的距离为米，故答案为：10解：由题意得：PCAB，APC30，BPC45，PA50 海里，在 RtAPC 中，ACP90，APC30，ACPA25 海里，PCAC25海里，在 RtPCB 中，BC
15、P90，BPC45，BCPC25海里，BPPC25海里，故答案为：25，25 11解：ABBC，DCBC，ADBC，四边形 ABCD 是矩形，BC4m，AB1.60m，ADBC4m，DCAB1.60m，在 RtAED 中，DAE60，AD4m，EDADtan6044（m），CEED+DC4+1.608.4（m）答：这棵树的高度约为 8.4m 故答案为：8.4 12解：根据题意可知：四边形 EFCA 和 ABDC 是矩形，ME7.5 米，CAEFBD1.5 米，CDAB，设 FCx，在 RtMFC 中，MCF60，FMC30，MC2FC2x，MFx，MDC30，CMD603030，CDCM2x，
16、MEMF+EF，x+1.57.5，解得：x2，MC2x4（米），答：体温监测有效识别区域 AB 的长为 4米 故答案为：4米 13解：过点 B 作 BFAD 于 F，则四边形 BFEC 为矩形，EFBC4.5m，BFCE4m，斜坡 CD 的坡度 i1：，tan，30，在 RtABF 中，AB5m，BF4m，由勾股定理得：AF3（m），ADAF+EF+DE（+4）m，故答案为：30、（+4）m 14解：DE 的坡度为 i11：，tanDEC，DEC30，DCDE5（m），四边形 ABCD 为矩形，ABCD5m，斜坡 AF 的坡度为 i21：4，AB5m，BF4AB20（m），在 RtABF 中，
17、AF20.62（m），斜坡 AF 的长度约为 20.62 米，故答案为：20.62 15解：作 CHDE 于 H，CD8cm，CDE60，CHCDsinCDE8sin604（cm），故答案为：4 16解：传送带与地面所成的斜坡的坡度 i1：2.4，即，解得，AC12 米，由勾股定理得，AB13（米），故答案为：13 三解答题 17解：过点 C 作 CDAB，垂足为 D 如图所示：根据题意可知BAC906030，DBC903060，DBCACB+BAC，BAC30ACB，BCAB40140（km），在 RtBCD 中，CDB90，DBC60，sinDBC，CD40sin604020（km）30k
18、m，这艘船继续向东航行安全 18解：如图，过 C 作 CEBD 于点 E，作 CFAB 于点 F，则四边形 BECF 是矩形，BFCE，CFBE，斜坡 BC 的坡度 i1：2.4，设 CE5x 米，则 BE12x 米，在 RtBCE 中，BC26 米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2262，解得：x2，CE10 米，BE24 米，BFCE10 米，CFBE24 米，在 RtACF 中，ACF60，tanACFtan60，AFCF24米，ABAF+BF24+1051.6（米），答：建筑物 AB 的高度约为 51.6 米 19解：（1）过点 A 作 AMBC 于点 M，过点 D 作 DNEF
19、 于点 N，如图：在 RtAMB 中，AB60cm，ABM28，sin28，AMABsin280.476028.2（cm），同理 DN28.2cm，闸机通道的宽度 BEAM+AD+DN28.22+1066.4（cm）；答：闸机通道的宽度是 66.4cm；（2）解：设一个人工检票口每分钟检票通过的人数为 x 人，则一个智能闸机检票口每分钟通过的人数为 2x 人，由题意得：4，解得：x30，经检验：x30 是原方程的解，2x23060（人），答：一个人工检票口每分钟检票通过 30 人，一个智能闸机检票口每分钟通过 60 人 20解：如图，过点 B 作 BMAE，BNCE，垂足分别为 M、N，由题意
20、可知，CBN45，DAE53，i1：，AB12 米，AE24 米，i1：tanBAM，BAM30，BMAB6（米），在 RtABM 中，NEBMAB6（米），AMAB6（米），MEAM+AE（6+24）米，CBN45，CNBNME（6+24）米，CECN+NE（6+30）米，在 RtADE 中，DAE53，AE24 米，DEAEtan532432（米），CDCEDE 6+3032 62 8.4（米）答：广告牌 CD 的高约 8.4 米 21解：在 RtACD 中，ACD90，ADC45，ACCD147（m），在 RtBDC 中，BCCDtan331470.6595.55（m），ABACBC14
21、795.5551.4551.5（m），所以，信号发射塔 AB 的高度约为 51.5m 22解：（1）如图，由题意得CAB30，ABC90+30120，C180CABABC30，CABC30，BCAB20km，即宝塔 B 到桑葚基地 C 的距离为 20km（2）过点 C 作 CEAB 于点 E，BC20km，C 位于 B 的北偏东 30的方向上，CBE60，在 RtCBE 中，CEBC10（km），答：这条最短公路的长为 10km 23解：（1）在 RtBOP 中，BOP90，BPO45，则 BOOP120 米，在 RtAOP 中，AOP90，APO60，则 AOOPtanAPO120（米），ABAOBO12012087.8（米），答：点 A，B 之间的距离约为 87.8 米；（2）超过了，理由如下：此车的速度为：63.2（千米/小时），63.260，此车超过了迎泽大街每小时 60 千米的限制速度