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1、为什么要数值积分？在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数要求被积函数f f(x x)有解析表达式；有解析表达式；f f(x x)的原函数的原函数F F(x x)为初等函数为初等函数Why do we do numerical integral?第1页/共85页问题问题 f f(x x)没有解析表达式，只有数表形式没有解析表达式，只有数表形式 e.g.e.g.f f(x x)有表达式，但原函数不是初等函数有表达式，但原函数不是初等函数 e.g.e.g.，它们的原函数都不是初等函数它们的原函数都不是初等函数.x12345f(x)44.5688.5第2页/共85页求定积分
2、就得通过近似计算数值积分求得积求定积分就得通过近似计算数值积分求得积分近似值分近似值基本思想是对被积函数进行近似，给出数值积基本思想是对被积函数进行近似，给出数值积分，同时考虑近似精度。分，同时考虑近似精度。下面首先给出代数精确度的概念下面首先给出代数精确度的概念第3页/共85页7.1 代数精确度本章讨论的是形如的定积分的数值计算，其中为权函数，要满足5.4节中所提的条件.第4页/共85页一般把积分区间n个点xk上的函数值f(xk)加权Ak的和 作为积分I(f)的近似,即 或记 (2)第5页/共85页上式中xk，Ak分别称为求积节点、求积系数.求积系数与被积函数f(x)无关,而与求积节点、求积
3、区间、权函数有关称公式(2)为n点求积公式，有时也称为一个n点求积公式，为求积公式的误差用此公式)求积分近似值的计算称为数值积分或数值微分第6页/共85页构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有 (i)确定求积系数Ak和求积节点n；(ii)求积公式的误差估计和收敛性用什么标准来判定两个节点数相同的求积公式的“好”与“差”呢？通常用“代数精确度”的高低作为求积公式“好”与“差”的一个标准在后面的讨论中我们将看到，节点相同的求积公式，代数精确度越高，求出的积分近似值精确度一般越好下面给出代数精确度的定义第7页/共85页定义若对任意的，求积公式(2)的误差都满足，则称该求积公式具有n次代数精确度验
4、证一个求积公式所具有的代数精确度用定义是极不方便的，为此给出另一个定义第8页/共85页 定义2 若对函数，求积公式(2)精确成立，即而，则称其具有n次代数精确度因为函数组 是的一组基函数，所以两个定义是等价的，但在具体应用时，定义2比定义1要方便的多第9页/共85页例验证求积公式具有3次代数精确度解：当而有第10页/共85页（1）当（2）当（3）当第11页/共85页（1）当故求积公式具有三次代数精确度第12页/共85页7.2 插值型求积公式这一节所讨论的求积公式，都是用在区间a,b上对被积函数f(x)作插值所得插值多项式Pn(x)代替被积函数f(x)导出的公式这一类求积公式的求积节点xk，就是
5、对f(x)作插值时的插值节点，所以这类求积公式称为插值型求积公式为简便起见，这节讨论节点分布为等距并且权函数时的插值型求积公式的构造等问题第13页/共85页求积公式一、公式的推导设将积分区间a,bn等分，求积节点为 ，那么，令x=a+th，则t=(x-a)/h，且由可知由Lagrange插值基函数有而，所以第14页/共85页将n次Lagrange插值多项式Ln(x)代替被积函数f(x)得记称为Cotes求积系数它与(3)式中的求积系数Ak相差一个常数b-a即第15页/共85页把Ak代入到(3)式中，得到Newton-Cotes求积公式例如当n=4,5时，Newton-Cotes公式分别为n=0
6、,1,2三种情形，在讨论(3)式中的余项R(1,f)后再详细讨论第16页/共85页二、误差估计求积公式(3)计算出的积分I(f)的近似值In+1(f)的误差多大？若被积函数 ，记，对n次Lagrange插值余项求积，可得n+1个节点的Newton-Cotes求积公式的误差估计式为 (5)第17页/共85页验证求积公式(3)的代数精确度，不用误差估计的(4)式，而用直接对插值余项求积的形式，即 (5)由(5)式，显而易见，当时，因可知，R(1,f)=0，所以我们所n+1点的求积公式(3)至少具有n次的代数精确度进一步可以证明，当n为偶数时，求积公式(3)的代数精确度可以达到n+1次第18页/共8
7、5页三、几种常见的Newton-Cotes求积公式 对 n=0,1,2,按公式(3)可以得出下面三种常见的Newton-Cotes求积公式.1.n=0时的矩形求积公式分别以积分区间a,b的左、右端点和区间中点，即x=a，b，(a+b)/2为求积节点得到：左矩形求积公式：右矩形求积公式：中矩形求积公式：三个求积公式的误差估计，可将函数f(x)分别在处展开到含f(x)的一阶导数的Taylor公式在区间a,b上积分推得第19页/共85页2.n=1时的梯形求积公式按Cotes系数公式计算得故求积系数A0,A1为 ，梯形求积公式为记(6)式的几何意义如图7-2所示（见p327）容易验证公式(6)的代数精
8、确度的次数为1.考虑梯形求积公式(6)的误差估计R(1,f)假定时，用推广的积分中植定理，将过(a,f(a),(b,f(b)点的线性插值的余项 在a,b上积分，可得其中也称为梯形求公式第20页/共85页3.n=2时的Simpson求积公式按Cotes系数公式可以计算出为此，所以 (8)公式(8)称为Simpson求积公式由7.1节例1可知Simpson求积公式(8)具有次的代数精确度 Simpson求积公式(8)的误差估计R(1,f)不能直接有插值余项 利用推广的积分中值定理在a,b上积分推出原因是 在a,b上要变号第21页/共85页7.3 Romberg积分 设 是任意数,是关于步长h逼近
9、的近似公式,它们的误差估计式为 (1)外推法 外推法是用精确度较低的近似公式组合成精确度较高的近似公式的一种方法.这里,k1,k2,k3,是一组常数.第22页/共85页 我们希望找到一种简便的方法,用近似公式F(h)的组合,得到误差阶较高的近似公式 ,使 (2)此时,逼近 F*的误差为O(h2)类似地,用 组合产生逼近F*的误差 为 O(h3)的近似公式等.下面我们给出一种具体的组合方法.按(1)式,称 逼近 的误差为 .把h的幂次称为误差的阶,例如,称为二阶误差第23页/共85页把(1)式改写为 (3)用h/2代替(3)式中的h,得 (4)用2乘(4)式再减去(3)式,消去含h的项,得 (5
10、)令 ,且记 第24页/共85页那么(5)式可写为 (6)这里,逼近 的误差为 再用 h/2 代替 h,使(6)式变为 (7)用4乘(7)式减去(6)式,消去含 的项,得 (8)同样记第25页/共85页(8)式可以写为 (9)这里 逼近 的误差为 还是用h/2代替h代入(9)式后,类似上述过程,可以得到误差为 的 一般地,对 ,有逼近 的误差为 的递推公式 (10)也称为关于步长h的外推公式.表7-1列出了 时,按(10)式产生 的计算次序,表中各列左边黑体数字表示序号.第26页/共85页 表7-1例1 设 带余项的差分公式为第27页/共85页 (11)导出具有误差为 的外推公式.解 令 用
11、h/2代替h,得 (12)为消去含 的项,用4乘(12)式减去(11)式,得第28页/共85页从而有 (13)这里这时,逼近 的误差为 .重复用h/2代替h并消去含 的项 ,得到逼近 的误差为 的外推公式为第29页/共85页 注意(14)式中第二项的分母为 而不是(10)式中的 .这是由于(11)式中的余项为关于 的幂次而不是关于h的幂次.求积方法 Romberg求积方法是以复化梯形公式为基础,应用Richardson外推法导出的数值求积方法.回忆节的复化梯形公式,分别把积分区第30页/共85页间a，b分为1,2,4等分的结果列入表7-2.表7-2 k 1 1 2 2 3 4第31页/共85页
12、我们还可以进一步推导出它们的递推关系.由可以化为类似地,有一般地,把区间a,b逐次分半k-1次 ,区间长度(步长)为 ,其中 .为第32页/共85页叙述方便起见,记 ,那么,(15)或 (16)从而有 (17)其中 .按外推法的思想,可以把(15)看成是关于第33页/共85页误差为 的一个近似公式.因此,复化梯形公式的误差公式为 (18)为消去 项,再取 代替(18)式中的 ,得 (19)第34页/共85页用4乘(19)式再减去(18)式,得 (20)记 (21)这是误差为 的外推公式.重复上述过程,将区间逐次分半k-1次后,可第35页/共85页以得到误差为 的外推公式 (22)当j=2时 (
13、23)当K=2时,有这是n=2的复化Simpson公式的 .不难验证,对一般的k,这里,是 的复化第36页/共85页Simpson公式.类似地,当j=3时,(24)在实际计算中,经常直接应用(23)式和形式与(24)式相类似的公式进行计算.所谓Romberg求积方法,就是由上述两部分组成.第一部分,对积分区间逐次分半k-1次,用复化梯形求积公式(16)计算 ,第二部分,用外推公式(22)计算第37页/共85页 用Romberg求积方法计算 的计算值的过程如下:首先,令k=1,区间长度 ,用梯形求积公式计算 (表7-3中第一行);区间分半,令K=2,区间长度 ,先按(16)式计算 ,再按外推公式
14、(22)式计算 (表7-3中第二行);再区间分半,令k=3,区间长度 ,先按(16)式计算 ,再按(22)式计算 (表7-3中第三行)等等,逐次分半区间k次后的计算结果如表7-3所示(见下页).第38页/共85页 表7-3 :.表7-3中 的计算按行(k的序号)进行,每行第1个元素 用复化梯形公式(16)计算,其他元素 均按(22)式用 与 的组合得到.在实际应用中,往往根据实际问题对计第39页/共85页算精确度的要求来确定区间逐次分半的次数.常用不等式 (25)作为达到精确度要求的判断准则,这里,是给定的一个小的正数.例2 用Romberg求积方法计算 (26)的近似值,给定解 首先令区间长
15、度 ,用梯形求积公式计算第40页/共85页区间0,1分半,令区间长度 ,按16式计算再按(23)式计算这时未达到精确度要求.为此,再将区间分半,令区间长度 按(16)式计算第41页/共85页按j=2和j=3的外推公式(23)和(24),分别用 和 的组合得到 以及用 和 的组合得到 ,即以及这时,已满足不等式(25)的要求.作为积分(26)式的近似,其误差为 .第42页/共85页下面给出用Romberg求积方法计算近似值的计算步骤,用二维数组T的元素 存放表7-3中的 .1输入:积分区间端点2令 ,计算3令4令 ,计算5for j=2,3,k 5.1 计算 end for(j)第43页/共85
16、页6if ,then goto 8 end if7 令k=k+1,goto 48 输出9 end第44页/共85页7.5 Gauss求积公式引言求积公式 (1)当求积系数 、求积节点 都可以自由选取时,其代数精确度最高可以达到多少次?下面的引理可以回答上述问题.第45页/共85页 引理1 当求积系数 和求积节点都可以自由选取时,n点的求积公式(1)的代数精确度最高可以达到2n-1次.证 假设求积公式(1)具有m次代数精确度,即对任意的m次代数多项式 求积公式(1)的精确成立.于是成立等式即 若记 (2)第46页/共85页则(2)式成为 (3)由于系数 的任意性,故使(3)式成为恒等式的充要条件
17、是 (4)(4)式的待定系数有2n个,所以确定待定系数的第47页/共85页独立条件至多给出2n个,从而可知m至多为2n-1.定义1 n点的求积公式(1)具有2n-1次代数精确度(或称为具有最高的代数精确度)时,称为Gauss型求积公式.Gauss型求积公式的求积节点 ,称为Gauss点,它们可以通过求区间a,b上带权的n次正交多项式 的n个根获得.所以先介绍正交多项式及其性质.然后讨论Gauss型求积公式的构造,等等.第48页/共85页正交多项式及其性质 定义2 若 (1),则称函数f(x)和g(x)在区间a,b上正交.(2),则称函数f(x)和g(x)在区间a,b上带权 正交.(3)代数多项
18、式序列 (下标k为多项式的次数,表示k次多项式),在区间a,b上满足 当m n 当m=n则称多项式序列 为区间a,b上带权第49页/共85页 的正交多项式序列.定义3 若n次记多项式 中含 项的系数为 ,则称 为 的首次系数;时,称 为首次系数为1的n次多项式.正交多项式有如下性质:性质1 若 是区间a,b上带权 的正交多项式序列,则它们线行无关.证 对任意的 ,若 ,在式子两边同乘 ,并从a到b积分,由 的正交性定义1中的(3)可知必有 第50页/共85页 .故正交多项式序列 线性无关.由性质1可知,若 为a,b上带权 的正交多项式序列,则序列 可以作为空间 的一组基函数,即 中的任一元素
19、可由它们线性表出:其中 为组合系数.性质2 若 为a,b上带权 的正交多项式序列,且 ,则第51页/共85页(1)(2)事实上,由性质1,.由 的正交性定义容易证得(1).证(2)也是类似的.为方便起见,记下面,不加证明地给出正交多项式如下的性质:性质3 a,b上带权函数 的正交多项式序列 相邻三项的递推关系为其中,第52页/共85页 为 的首项系数,即为 性质4 a,b上带权函数 的正交多项式序列 中任意相邻两个正交多项式 和 的根相间.若记 ,的根分别为 ,则所谓 与 的根相同,即是指这两个正交多项式的根有如下的关系.第53页/共85页 性质5 (1)区间a,b上带权函数 的正交多项式序列
20、 与 对应元素之间只相差一个比例常数.(2)区间a,b上带权函数 首项系数为1的正交多项式序列 唯一.常见的正交多项式有Legendre(勒让德)多项式、Hermite多项式、Chebyshev多项式以及Jacobi多项式,Chebyshev多项式在5.2节已第54页/共85页详细讨论,这里主要介绍Legendre多项式一、Legendre多项式 隐式表达式显式表达式 第55页/共85页 当n为偶数时,当n为奇数时.Legendre多项式的主要性质有 (1)n次Legendre多项式 的首项系数 当x=1,当x=-1.(3)正交性为:为区间-1,1上带权函数 的正交多项式序列,且有第56页/共
21、85页 当m n 当m=n (4)Legendre多项式相邻三项的递推关系为二、Legendre多项式将隐式表达式第57页/共85页 将隐式表达式中n阶导数用乘积导数的Leibniz公式可得显式表达式Legendre多项式的主要性质有(1)n次Legendre多项式 的首项系数(2)正交性为:为区间 上带权函数 的正交多项式序列,且有第58页/共85页权函数 的正交多项式序列,且有(3)Hermite多项式相邻三项的递推关系为四、Jacobi多项式Jacobi多项式是在区间-1,1上带权函数 的正交多项式,其中第59页/共85页(3)Legendre多项式相邻三项的递推关系为三、Hermite
22、多项式 表达式 Hermite多项式的主要性质有(1)n次Hermite多项式 的首项系数(2)正交性为:为区间 上带第60页/共85页 有的书籍文献把Jacobi多项式记为即n次Jacobi多项式表示为其中 或 .两种系数推出两种Jacobi多项式.详细的情形请参阅文献27.第61页/共85页型求积公式 由中的引理1和定义1可知n点的求积公式(1)若具有最高的代数精确度,或具有2n-1次的代数精确度成为Gauss型求积公式.到底求积公式(1)的求积节点 和求积系数如何选取,才能使之成为Gauss型求积公式?定理 求积公式(1)中的n个求积节点 ,取在区间a,b上带权函数 的n次正交多项式 的
23、n个根成为Gauss型求积公式.证 设 .a,b上带权函数 的第62页/共85页n次正交多项式 的n个根记为 ,记的首项系数为 .由定义2有因此,(5)其中 .在(5)式两边同乘 ,并从a到b积分.由正交多项式的性质可知,含 项的积分为零,所以 (6)注意到当 作为插值节点时建立的n点插值第63页/共85页求积公式至少具有n-1次代数精确度,而 ,所以 (7)又由(5)式可知 ,即 (8)综合(6),(7),(8)式可知,当 时,求积公式(1)成立.第64页/共85页用n点Gauss求积公式 (9)之值近似积分值 有下面的误差估计.定理 若 ,则Gauss型求积公式(1)的误差估计 为其中 证
24、明略.在稍后讨论Gauss积分值数列的收敛性第65页/共85页等问题时,需要用到Gauss型求积公式的求积系数 大于零的结论.这里用下面的定理给出.定理Gauss型求积公式的求积系数 大于零.证 令 ,这里 为区间a,b上带权函数 的n次正交多项式 的n个根.显然第66页/共85页由于 ,所以对 求积公式(1)精确成立,即因为所以 在7.2节,我们讨论了复化梯形求积公式和复化Simpson求积公式的收敛性.那么Gauss第67页/共85页型求积公式被积函数 应当满足什么条件才收敛呢?Gauss型求积公式的收敛性问题由下面的定理给出.定理 若 ,则Gauss型求积公式所求积分值序列 收敛于积分值
25、 ,即 证 因为 ,由Weierstrass定理对任意的 ,存在 ,使得第68页/共85页 (10)对任意的 成立.由于公式(1)为Gauss型求积公式时具有2n-1次代数精确度,取 N(m+1)/2,故当 nN时,即m2N-12n-1时,有 (11)成立,于是 由(11)式可知 .而由(10)式,有第69页/共85页和 ,从而因为 ,记第70页/共85页故即第71页/共85页型求积公式的构造与应用 定理实际上给出了构造Gauss型求积公式的一种方法.这种方法,当给定了积分区间a,b和权函数 以后,构造n个点的Gauss型求积公式,先求出区间a,b上带权函数 的n次正交多项式 ,然后用多项式求
26、根的方法求出 的n个根 ,从而获得了求积节点 为了求得求积系数 ,将n个求积节点 代入方程组(4)中的前n个方程并加以求解,即解线性代数方程组第72页/共85页求得求积系数 ,完成Gauss型求积公式的构造.表7-5为Gauss-Legendre求积公式的求积系数 和求积节点 的一个表.而表7-6和表7-7则分别是Gauss-Legendre和Gauss-Hermit-te求积公式的求积系数 和求积节点 的一第73页/共85页个表.有些数值分析的书籍还给出了Gauss-Chebyshev求积公式的求积节点与求积系数.表见P366.需要指出的是,不同求积公式的求积系数与求积节点,积分区间和权函数
27、是不同的.Gauss-Lagendre求积公式的积分区间为-1,1,权函数 .而Gauss-Legendre求积公式的积分区间为 ,权函数 .Gauss-Hermitte求积公式的积分区间为 ,权函数Gauss-Chebyshev求积公式的积分区间为-1,1第74页/共85页权函数 这里需要指出的另一点是Gauss-Chebyshev求积公式的求积系数是相同的.例如,n点的Gauss-Chebyshev求积公式,它的n个求积系数 都是 ,即 .而n个求积节点则为 正是因为Gauss-Chebyshev求积公式的求积系数相同,所以在实际计算时,乘法的次数只需一次,节省了n-1次的乘法运算.第75
28、页/共85页例1 求 使求积公式具有三次代数精确度.问题是构造区间0,1上带权函数 的两点Gauss型求积公式.解 方法1 容易计算出当时 的积分值分别为 ,所求公式具有3次代数精确度.故可得为未知数的方程组为第76页/共85页 (1)(2)(3)(4)又因为 为Gauss型求积公式的求积节点,所以它们是区间0,1上带权函数 且首项系数为1的二次正交多项式 的两个根.不妨记 ,为此 又因为 必须满足方程(2)(3)(4),所以第77页/共85页由可得关于p,q的方程组为解此方程组得第78页/共85页将所求p,q代入 ,求得其根为再将所求 代入方程(1)(2),联立解得为此,公式为所求具有3次代
29、数精确度的求积公式.第79页/共85页 方法2 求出区间0,1上带权函数的二次正交多项式 ,并求出其根 ,获得求积节点.再求方程组(12)前两个方程组成的方程组获得求积系数 .由于 和 都是 的线性无关组,所以考虑由 求得所需的正交多项式.这种方法可以称作将它们正交化.记第80页/共85页令所以又令 这样即如此作出的 与 正交,也与 正交.由于所以这样,第81页/共85页同理可令并且容易验证,与 正交.容易求得所以第82页/共85页第二种方法与第一种方法求出的 是一样的,后面的求解过程相同.这里略去.方法2是一种将一组线性无关函数组 正交化而得到正交多项式 的方法.高于2次的正交多项式用这样的
30、方法同样可以得到.这样求正交多项式在实际应用时是方便的.这里需要附带说明的是,Gauss-Legendre,Gauss-Chebyshev求积公式作数值求积精度不够时,可以采取将积分区间a,b若干等分后,将每一个子区间映射到区间-1,1上再用相同第83页/共85页节点数的求积公式进行数值求积的计算,通常会得到精度较好的计算结果.Gauss型求积公式具有数值结果精度高,收敛得以保证、计算简便、易于在计算机上实现等优点,并且在积分区间a,b有限时便于推广到高维数值积分.不足之处是公式的构造比较困难,另一个是由于相邻次数的正交多项式的根,从而造成增加求积节点以提高计算结果的精度时,原先所有求积节点上的函数值全部无用.所以在具体应用Gauss求积公式计算数值积分时,n取得都较小.第84页/共85页感谢您的观看！第85页/共85页