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1、数值分析课件数值分析课件第六章第六章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分讲授：用计算机求定积分和导数的方法。重点论述:插值型求积公式、Newton-Cotes求积公式、Gauss求积公式、复化求积公式及对应的原理、构造、误差分析等。数值分析课件数值分析课件本章讲授内容本章讲授内容6.1 6.1 引例引例6.2 6.2 基本概念基本概念6.3 6.3 插值型求积公式插值型求积公式6.4 Gauss6.4 Gauss求积公式求积公式6.5 6.5 复化求积公式复化求积公式6.6 6.6 数值微分数值微分数值分析课件数值分析课件6.1 6.1 引例引例数值积分与定积分有何区别？数值分析课件数值分析
2、课件人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆。科学研究中要知道卫星的轨道长度L。用数学建模的方法可得卫星的轨道长度L可用如下定积分表示式中式中 a,b分别为椭圆的长短轴分别为椭圆的长短轴。122222204(sincos)Latbtdt如上求卫星轨道长度L问题归为求定积分的问题。但遗憾的是如上积分是椭圆积分，不能用解析的方法计算，只能用近似方法计算。数值分析课件数值分析课件定积分计算有公式 bafFx daxF b但不能用公式的定积分要怎样计算呢？2bxaedx怎样把定积分在一定精度下借助计算机计算出来就是本怎样把定积分在一定精度下借助计算机计算出来就是本章研究的内容。章研究的内容。此外，利用函数在
3、若干个点处的函数值求该函数的导数此外，利用函数在若干个点处的函数值求该函数的导数近似值也是本章的内容。近似值也是本章的内容。数值分析课件数值分析课件6.2 6.2 基本概念基本概念什么叫求积公式？数值分析课件数值分析课件1、求积公式2、代数精度数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件1 1、定积分离散化过程、定积分离散化过程1）去掉极限号iix2)将其中的 取为3)减少离散化的误差，做(iixA待定系数）得到离散化形式：1()()nbiiaif x dxA f x1()()nbiiaif x dxA f x121101()lim(),nbiinniiiaif x dxfx axxxxb
4、xx求积公式数值分析课件数值分析课件2、求积公式 1()(),nbiiaif x dxA f xf xC a b称如上公式为一个数值求积公式。求积系数求积节点求积余项：1()()()nbiiaiR ff x dxA f x求积公式与求积节点个数、求积节点 和求积系数有关，显然有很多不同的求积公式！1212,;,nnx xxA AA成立若存在实数求积公式数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件()0,mmR PPx 11()0mmR PPx但存在一个则称该求积公式的代数精度为代数精度为m m。结论结论：一个求积公式的代数精度越大，则求积公式越好。1()()nbiiaif x dxA f
5、x1()()()nbiiaiR ff x dxA f x设Pm(x)是m次多项式，如果1 1、代数精度定义、代数精度定义 1()()()()()()()!mmmfaf xf af a xaxaO xam数值分析课件数值分析课件对求积公式2()1,kf xx xx依次取代入余项公式1()()()nbiiaiR ff x dxA f x1()()nbiiaif x dxA f x2、求代数精度的方法 11()0,mmPxR P()0mmxR x存在()0,kR xkm若首次出现的 为则对应的代数精度为 m-1。数值分析课件数值分析课件例 1 确定求积公式 21111222f x dxff的代数精度
6、。解：21111(1)111022f xRdx 取 211133()1202222f xxR xxdx 取 2222221111()120226f xxR xx dx 取k=2,故本题求积公式代数精度为1。数值分析课件数值分析课件例 2 确定求积公式22()(1)(0)(2)f x dxAfBfCf的参数A，B，C，使它具有尽可能高的代数精度，并指出相应的代数精度。解：先求具体的求积公式，再判断代数精度。2()1,f xx x依次取代入求积公式的两端，并令其相等,整理后有420416/3ABCACAC1648,939ABC数值分析课件数值分析课件故所求的求积公式为221648()(1)(0)(
7、2)939f x dxfff为确定其代数精度，再取3()f xx代入检验316()03R x故所求的求积公式具有二阶代数精度。2122()()(0)2()?f x dxAf xBff x数值分析课件数值分析课件6.3 6.3 插值型求积公式插值型求积公式怎样可以快速找到高代数精度的求积公式？数值分析课件数值分析课件插值型求积公式：插值型求积公式：借助多项式插值函数构造的求积公式。借助多项式插值函数构造的求积公式。基本思想基本思想利用被积函数的插值函数代替被积函数来构造求积公式。一般选用不同的插值公式就可以得到不同的插值型求积公式。数值分析课件数值分析课件1、插值型求积公式构造2、插值型求积公式
8、例题3、N-C求积公式4、N-C求积公式余项数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件用被积函数 f(x)在n个求积节点的函数值12(),(),()nf xf xf x 11111(),nnkniininikikk ixxLxf x lxlxxx 1()()nbiiaif x dxA f x 12nnxxxxxxx构造一个n-1次Lagrange插值多项式 1nLx ()11()()()!nniinniff xf x lxxn 数值分析课件数值分析课件 ()11()()()!nnbbbiinnaaaiff x dxf xlx dxx dxn 1()biinaAlx dx令 ()1()()
9、!nnbbiinaaiff x dxA f xx dxn 若舍去等式右端的积分项，得到 11()()nbbiinaaif x dxA f xLx dx数值分析课件数值分析课件插值型求积公式:11()(),()nbiiabiinaiAlf x dxx dfxAx 111()nbkiininakikk ixxAlx dx lxxx 关键：，插值型求积公式的求积余项()()()!nbnafR fx dxn由求积余项可得：插值型求积公式的代数精度至少为求积节点个数减1(n-1).数值分析课件数值分析课件定理1：插值型求积公式1()()nbiiaif x dxA f x代数精度至少为n-1。推论：插值型
10、求积公式1()()nbiiaif x dxA f x求积系数之和为b-a，即：1nkkAba()()()!nbnafR fx dxn数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件0120.25,0.5,0.75xxx例1.已知求这3点为求积节点在0,1上的插值型求积公式。解：法13个点的3个插值多项式基函数为 120201021222010210122021,xxxxxxxxxxxxlxlxlxxxxxxxxxxxxx 120,0,1,2kkAlx dx k求积系数为求积系数为：数值分析课件数值分析课件代入具体数值计算有:1112000010211021001012110120020210.
11、50.7520.250.50.250.7530.250.7510.50.250.50.7530.250.520.750.250.750.53xxxxxxAdxdxxxxxxxxxxxAdxdxxxxxxxxxxxAdxdxxxxx 故所求的插值型求积公式为 102120.250.50.75333f x dxfff数值分析课件数值分析课件法2：过这3个点的2次插值多项式为 20.50.750.50.750.250.50.25 0.5 0.25 0.750.25 0.5 0.25 0.750.250.750.750.5 0.25 0.5 0.75xxxxL xffxxf 112002120.250
12、.50.75333f x dxLx dxfff故所求的插值型求积公式为 11()()nbbiinaaif x dxA f xLx dx 102120.250.50.75333f x dxfff数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件在插值型公式中，把求积节点取为等距节点，令1,1,2,1ibaxaih hinn则有101111nnx a thbnkiakkikk ik ixxbatkAdxdtxxnik 101111nnnniiikk itkCdtAba Cnik记Cotes系数系数数值分析课件数值分析课件 1()()nbniiaif x dxbaCf x 101111nnnikk i
13、tkCdtnikNewton-Cotes公式简记为N-C求积公式，也称为等距节点求积公式。n点的Newton-Cotes公式数值分析课件数值分析课件 101111nnnikk itkCdtnik 可以事先算出cotes系数。1121002 1111 22tCdtt dt 1122001 112 12tCdttdt，所以2 点的Newton-Cotes公式为 2bab af x dxf af b例如n=2的两个系数为利用 1()()nbniiaif x dxbaCf x数值分析课件数值分析课件1、常用的N-C公式梯形公式(n=2)2bab af x dxf af babSimpson 公式 或抛
14、物线公式(n=3)462bab aa bf x dxf aff b(a+b)/2ab数值分析课件数值分析课件2、n点N-C公式的代数精度定理定理n点Newton-Cotes公式的代数精度至少为n-1。当节点个数n为奇数时，对应的N-C求积公式的代数精度至少为n。因为n点Newton-Cotes公式是等距节点的n点插值型求积公式，它的代数精度至少n-1，对于n为奇数时，由于其节点等距特点可以提高到n.(证明见书）数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件1、广义积分中值定理 ,;,f xg xC a b g xa b在上不变号 ,bbaaf x g x dxfg x dxa b2、梯形公式
15、（n=2)余项 31,12baRffa b 312!2!12bbaaffbaRfxaxb dxxaxb dxf ()1()()!nbnnafRfx dxn梯形公式余项为数值分析课件数值分析课件3 3、Simpson公式的求积余项公式的求积余项不能使用广义积分中值定理化简！(3)2()3!2bafabRfxaxxb dx为得到能用广义积分中值定理的结构，注意到Simpson公式有 3次代数精度，那么对任何三次多项式P3(x)462bab aa bf x dxf aff b 3333462bab aa bP x dxP aPP b 数值分析课件数值分析课件取f(x)的一个三次Hermite插值多项
16、式H3(x)，其4个插值条件为3333()(),()(),()(),()()2222ababababH af aH bf b HfHf(4)23()()()()()()4!2fabf xH xxa xx b3333()()4()()()4()()6262babaabbaabHx dxH aHH bf aff b利用求一般Hermite插值余项的方法，得 462bab aa bf x dxf aff b 插值条件与余项因子有何关系？数值分析课件数值分析课件23(4)23(4)(4)2()()()4()()()()62()()()()()()4!2()()()()()(4!22880bbbaaab
17、baababaabRff x dxf aff bf x dxH x dxfabf xH xdxxa xx b dxfabfxa xx b dxba 5)Simpson公式的余项公式的余项 542,2880baRffa b 数值分析课件数值分析课件 *111()()nnnnnnniiiiiiiiibaCfxbaCf xbaC有 111,maxnnnnniiiii niibaCbaC n 8时，数值稳定!n8时，数值不稳定!4、N-C公式的稳定性 1()()nbniiaif x dxbaCf x*kkkfxf x记 181nniinC由CotesCotes系数表 181nniinC数值分析课件数值
18、分析课件6.4 6.4 Gauss Gauss 求积公式求积公式求积公式的最高代数精度是多少？数值分析课件数值分析课件基本思想在求积公式中让求积节点和求积系数都设为待定参数，然后构造具有最高代数精度的求积公式。n个节点的插值型求积公式代数精度至少是n-1,那么是否还能提高其代数精度呢？若能，其代数精度最大能是多少？数值分析课件数值分析课件2、Gauss求积公式1、求积公式重要定理数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件求积公式（*）是更一般的求积公式。1(*)nbkkakx f x dxA f x这里(x)是权函数，(x)是已知的非负函数；(x)=1时就是通常的求积公式。定理:求积公式
19、的代数精度最大为2n-1。1nbkkakf x dxA f x数值分析课件数值分析课件证明 212,nnnf xxxxxxxxx将f(x)代入求积公式，有余项 22210nbbnknknaakR fxx dxAxxx dx由定义得求积公式的代数精度不大于2n-1!22100nnkknkkxAx 1nbkkakx f x dxA f x设是任意一个求积公式，12,nx xx取其求积节点构造一个2n次多项式数值分析课件数值分析课件 ,1,2,nkkf xq xxr xf xr xkn再设f(x)是任意一个2n-1次多项式，由多项式除法有 bbbnaaax f x dxx q xx dxx r x
20、dx不妨设求积公式(*)是插值型求积公式，故其代数精度至少为n-1，有 11nnbkkkkakkx r x dxA r xA f x式中q(x),r(x)都是次数小于n的多项式,12nnxxxxxxx 1nbbnkkaakx f x dxx q xx dxA f x数值分析课件数值分析课件 10nbbkknaakx f x dxA f xx q xx dxq x是次数n的多项式。1nbbnkkaakx f x dxx q xx dxA f x定义：如果n次多项式满足 nP x 0,0,1,1bmnax P x Px dxmn mPx是m次多项式 x则称为a,b上关于权的n次正交多项式。nP x
21、有这样的?nx有！数值分析课件数值分析课件正交多项式理论有n次正交多项式是存在唯一的，且它的n个根都在a,b内。于是选择n次正交多项式的n个零点作为求积节点构造的插值型求积公式就具有2n-1次代数精度。求n次正交多项式的零点方法：推论：n 点插值型求积公式的代数精度至少是 n-1，至多为2n-1。12nnxxxxxxx令 120,0,1,1,bmnnax xx dxmnx xx 由代数精度定义，定理得证。北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件Gauss求积公式的余项用如下可以公式获得 2221,2!nnnff xHxxa bn若n点
22、的求积公式具有2n-1 次代数精度，则称该求积公式为Gauss求积公式，对应的求积节点和求积系数分别称为Gauss点和Gauss系数。1 1、定义、定义 1nbkkakx f x dxA f x即代数精度是2n-1,则是Gauss求积公式是n点Hermite多项式插值北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件例1：确定参数11122211()()()1f x dxA f xA f xx具有最高代数精度，回答其是否为Gauss公式。方法1解：121122221122331122020AAx Ax Ax Ax Ax Ax A121222,2222xxAA 因n=2的最高代数精度为3，故所求
23、为：121122()()()22221f x dxffx1212,x x A A使求积公式23()1,f xx xx,依次取代入求积公式两端，并令其相等是否为Gauss公式。北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件方法2，用正交多项式方法 2212xxxxxxax b令由正交性，有 1122221110,011xx dxx dxxx2211221122112211102110011xaxbxbdxdxbxxx xaxbaxdxdxaxx 1222,22xx 北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件有3次代数精度，112211122111220221AAdxxxAAdxx12
24、2AA它有3次代数精度，是Gauss求积公式.11122211()()()1f x dxA f xA f xx121122()()()22221f x dxffx得到求积公式取f(x)=1,x 有北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件2 2、GaussGauss求积公式的数值稳定性求积公式的数值稳定性 221110nbink inkiakx lx dxA lxAi结论：Gauss系数都是大于零的数。11nbkakf xAx dx 1inlx是Gauss求积公式的插值基函数，设 21inf xlx取有 1nbkkakx f x dxA f x代数精度是2n-1.北京交通大学北京交通大
25、学 数值分析课件数值分析课件类似N-C稳定性处理方法，有舍入误差 1111nnnnbnkkkkkkkakkkkAAAAx dx所以Gauss型求积公式是稳定的。Gauss公式中，不同的权函数 和不同积分区间，对应不同形式的Gauss公式。北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件3 3、常用的、常用的GaussGauss公式公式1）Gauss-Legendre求积公式 111nkkkf x dxA f xLegendre正交多项式 2112!nnnnndLxxn dx 11222bab aa bb af x dxft dt22,1,1a bb axtxa bt 北京交通大学北京交通大学
26、 数值分析课件数值分析课件2）Gauss-Chebyshev求积公式 12111nkkkf xdxA f xxChebyshev正交多项式 cosarccosnTxnx21cos,1,2,2kkkxAknnn北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件3）Gauss-Laguerre求积公式 01nxkkkef x dxA f xLaguerre正交多项式 nxnxnndLxex edx4）Gauss-Hermite求积公式 21nxkkkef x dxA f xHermite正交多项式 221nnxxnndHxeedx 北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件6.5 6.5
27、复化求积公式复化求积公式为什么要引进复化求积公式？北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1、基本思想将求积区间a,b分成若干个小区间，然后在每个小区间上采用数值稳定的N-C公式求小区间上的定积分，最后把所有小区间上的计算结果相加起来作为原定积分的近似值。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化Simpson公式北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1、复化梯形公式2、复化Simpson公式北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1 1、复化梯形公式的构造、复化梯形公式的构造12101110()()()()()nk
28、nknbxxxxaxxxxkf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx在每个小区间上用梯形公式，有11111001()()()()()2()22kknnnxkkkxkkkhhf x dxf xf xf af bf x11()()()2()2nbkakbaf x dxf af bf xn复化梯形公式,0,1,2,ibaxaih hinn在a,b上取等距节点 2bab af x dxf af b北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件2 2、复化梯形公式的余项、复化梯形公式的余项33120()()()(),121212nbnkakhh nbaf x dx Tffh fa
29、 b 111()()nnkkkkff xnff xn2,()(),12bnnabaR f Tf x dx Th fa b复化梯形余项公式11()()2()2nnkkbaTf af bf xn记 3112baRff 北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件3 3、复化梯形公式误差估计、复化梯形公式误差估计222,()1212nb ab aR f Th fh M 212,bahnba Mh给定,上公式可得满足精度要求的复化梯形公式的 n.2,fxMxa b，给定计算精度，并设2,()12nb aR f Th f北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件例1:用复化梯形公式计算定积
30、分1011Idxx计算结果要求误差小于。解：11 010,1,1abf xhxnn确定复化梯形公式的n值 222,12nbaR f Th MfxMxa b，231,2 1fxxfxx 322 12fxxM41022422111,21012126nbaR f Th Mnn21040.8416nn北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件401011()(0)(1)2(),8241kkkkf x dxfff xxkh401011()(0)(1)2()0.693188241kkf x dxfff复化梯形公式为41n 北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件Simpson北京交通大学
31、北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1 1、复化、复化Simpson公式构造公式构造在每个小区间上用抛物线公式，有 1111111100012()()4()()42()626kknnnnxkkkkkxkkkkkxxhhf x dxf xff xf af bfxf x 111012()()42()6nnbkakkkbaf x dxf af bfxf xn复化Simpson公式122kkhxx,0,1,2,ibaxaih hinn在a,b上取等距节点12101110()()()()()nknknbxxxxaxxxxkf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 462bab aa
32、 bf x dxf aff b 北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件2 2、复化、复化SimpsonSimpson公式的余项公式的余项 5421902baRff 44,()(),1802bnnaba hbaR f Sf x dxSfha bn复化Simpson余项公式 554144401,()()()(),90 290 21802nbnnkakhnhb a hR f Sf x dxSfffa b 111012()42(),6nnnkkkkbabaSf af bfxf xhnn记 111()()nnkkkkkkkkffxnffxn北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件3
33、 3、复化、复化Simpson公式误差估计公式误差估计441802,bahnba Mh 给定,上公式可得满足精度要求的复化Simpson公式的 n.44,fxMxa b，给定计算精度，并设 444444,(),(),180218021802nnba hba hba hR f SfR f SfM 北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件例2:用复化Simpson公式计算定积分1011Idxx计算结果要求误差小于。解：11 010,1,1abf xhxnn确定复化Simpson公式的n值410 4444,1802nba hR f SMfxM 2541,24 1fxxfxx 54424 1
34、24,0,1fxxM x4441 011,24101802120nR f Shn 4103.024120nn 北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件复化Simpson公式为 33100111()(0)142()24484kkkkf x dxffff121111,44242 448kkkkhkkhxakhxxn140()0.693155f x dxS本题准确解为10()ln2 0.69314f x dx北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件6.6 6.6 Romberg 求积方法求积方法求积方法可以加速吗？北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件基本思想基本思想
35、将Richardson 外推算法应用于复化梯形公式中，用产生的加速数列来求定积分值。Romberg 求积方法是对复化梯形公式用加速技术得到的一种求积方法，它也称为逐次分半加速收敛法。北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件定理设*0()0)F hFh，（312*0123()1pppFF hhhh120,kkppp；11001(),011ppF qhq F hF hqq*1()F hF且有式中是与h无关的非零常数。若取 3211*123()2ppFF hhh则有式中是与h无关的非零常数。1k12*01(),()ppF hFO hF hF
36、O h1*01(),0pFF hhh 2*112(),0pFF hhh北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件证明 112121*0021()kkppppppppkqFF qhq F hqqhqqh整理 1211211100*2()111kkpppppppkpppF qhq F hqqqqFhhqqq 11111001(),11kpppkkppF qhq FhqqF hqq令即可。121122*01212()3kkkpppkppppppkFF qhqhqhqhq hq hq h用qh替换函数变量h,有 312*0123()1pppFF hhhh做 113pq有北京交通大学北京交通大学
37、 数值分析课件数值分析课件称用如上定理做加速的方法为Richardson 外推法。显然这种外推可以不断做下去以获得逼近更快的函数，一般有 12*12mmmmppmmmFFhhh 1mpmFhO h 1()1mmpmmmpFqhqFhFhq 2+1mpmFhO h则m=0,1,2,北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件 0(),bnaIf x dxT hT11()()2()2nnkkb aTf af bf xn246201230(),()IT hhhhT hO h利用Richardson 外推法做加速 20012(),011T qhq
38、 T hT hqq记T形值 004114/21(),()24 1T hT hqT hT hO h取北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件再做一次Richardson 加速，有 21162224/2(),()41T hT hT hT hO h一般经Richardson加速求定积分的序列为 200,()nT hT T hO h 11224/2(),1,2,()41mmmmmmmThThT hmT hO h北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件注意到 2144 1nnnTTT hS类似地可得 2322232344,4141nnnnnnSSCCThCThR梯形序列：21222,
39、kT T TT11()()2()2nnkkb aTf af bf xn Simpson序列：2212224,4 1knnnTTS S SSSCotes序列：222122224,41knnnSSC C CCCRomberg序列：232123224,41knnnCCR R RRR北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件Romberg求积方法的计算过程：2nT2121222nnnkTbabaTf aknn222211112222444881601234kkkkkTSCRTSCRTSCRTSCTST122kkRR的计算公式：11()()2()2nnkkb aTf af bf xn北京交通大学
40、北京交通大学 数值分析课件数值分析课件6.7 6.7 数值微分数值微分如果只知道未知函数的一些函数值，能获得未知函数的导数值吗？北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件根据函数在若干个点处的函数值去求该函数的导数近似值称为数值微分，所求导数的近似值常称为数值导数。基本思想用来自数据的插值函数获得该函数的导数。北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1、用多项式插值函数估计导数2、用样条插值函数估计导数北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1()()1()()()()()1,2,(1)!nmmmmnnmdfRxfx
41、Pxxmdxn nP x特别有一阶数值导数的余项关系21111()()()()()(2)!(1)!nnnnfdfR xxxndxn式中是f(x)的n次插值多项式。北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件在节点处有111()()()0,1,(1)!nkknknkfR xfxP xxknn插值型求导公式多用于求在节点处的数值导数。例如给定两个点,()(0,1)kkxf xk 0111010110()xxxxP xL xf xf xxxxx有不带余项的数值微分公式：10110,0,1,kf xf xPxkhxxh北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件在节点处的余项为120101
42、()()()()(2),2!2!kkkffR xxxxxx x0101101()()()()21()()()()2hfxf xf xfhhfxf xf xfh前差公式后差公式得出带余项的两点数值微分公式：北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件给定三个点类似的有带余项的三点数值微分公式：,()(0,1,2)kkxf xk 0,0kxxkh h200121()3()4()()()23hfxf xf xf xfh2102021()()()(),(,)26hfxf xf xfx xh220121()()4()3()()23hfxf xf xf xfh前差公式：中心公式：后差公式：北京交通大
43、学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件例：给定数表 5,5ffx0152127y124810用三点公式求解：31,5,21ix 选 个数据作为插值节点，有 2521121152481 5 1 215 1 5 2121 1 21 552112115401640 xxxxxxP xxxxxxx 550.45,550.025fPfP北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件三次样条插值函数的结论：三次样条插值函数S(x)与被插函数f(x)有如下逼近关系：4(4)5)384hafSf3(4)24hbfSf2(4)8hcfSf011maxkk nkkkhhhxx