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1、数值分析课件数值分析课件第六章第六章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分讲授：用计算机求定积分和导数的方法。重点论述:插值型求积公式、Newton-Cotes求积公式、Gauss求积公式、复化求积公式及对应的原理、构造、误差分析等。BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
2、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW数值分析课件数值分析课件本章讲授内容本章讲授内容6.1 6.1 引例引例6.2 6.2 基本概念基本概念6.3 6.3 插值型求积公式插值型求积公式6.4 Gauss6.4 Gauss求积公式求积公式6.5 6.5 复化求积公式复化求积公式6.6 6.6 数值微分数值微分BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
3、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW数值分析课件数值分析课件6.1 6.1 引例引例数值积分与定积分有何区别？BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWW
4、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆。科学研究中要知道卫星的轨道长度L。用数学建模的方法可得卫星的轨道长度L可用如下定积分表示式中式中 a,b分别为椭圆的长短轴分别为椭圆的长短轴。122222204(sincos)Latbtdt如上求卫星轨道长度L问题归为求定积分的问题。但遗憾的是如上积分是椭圆积分，不能用解析的方法计算，只能用近似方法计算。BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
5、BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件定积分计算有公式 bafFx daxF b但不能用公式的定积分要怎样计算呢？2bxaedx怎样把定积分在一定精度下借助计算机计算出来就是本怎样把定积分在一
6、定精度下借助计算机计算出来就是本章研究的内容。章研究的内容。此外，利用函数在若干个点处的函数值求该函数的导数此外，利用函数在若干个点处的函数值求该函数的导数近似值也是本章的内容。近似值也是本章的内容。BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
7、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件6.2 6.2 基本概念基本概念什么叫求积公式？BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
8、WWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1、求积公式2、代数精度BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBB
9、BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1 1、定积分离散化过程、定积分离散化过程1）去掉极限号iix2)将其中的 取为3)减少离散化的误差，做
10、(iixA待定系数）得到离散化形式：1()()nbiiaif x dxA f x1()()nbiiaif x dxA f x121101()lim(),nbiinniiiaif x dxfx axxxxbxx求积公式BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
11、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件2、求积公式 1()(),nbiiaif x dxA f xf xC a b称如上公式为一个数值求积公式。求积系数求积节点求积余项：1()()()nbiiaiR ff x dxA f x求积公式与求积节点个数、求积节点 和求积系数有关，显然有很多不同的求积公式！1212,;,nnx xxA AA成立若存在实数求积公式BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMM
12、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
13、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件()0,mmR PPx 11()0mmR PPx但存在一个则称该求积公式的代数精度为代数精度为m m。结论结论：一个求积公式的代数精度越大，则求积公式越好。1()()nbiiaif x dxA f x1()()()nbiiaiR ff x dxA f x设Pm(x)是m次多项式，如果1 1、代数精度定义、代数精度定义 1()()()()()()(
14、)!mmmfaf xf af a xaxaO xamBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件对求积公式2()1,kf xx xx依次取
15、代入余项公式1()()()nbiiaiR ff x dxA f x1()()nbiiaif x dxA f x2、求代数精度的方法 11()0,mmPxR P()0mmxR x存在()0,kR xkm若首次出现的 为则对应的代数精度为 m-1。BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
16、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件例 1 确定求积公式 21111222f x dxff的代数精度。解：21111(1)111022f xRdx 取 211133()1202222f xxR xxdx 取 2222221111()120226f xxR xx dx 取k=2,故本题求积公式代数精度为1。BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMM
17、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件例 2 确定求积公式22()(1)(0)(2)f x dxAfBfCf的参数A，B，C，使它具有尽可能高的代数精度，并指出相应的代数精度。解：先求具体的求积公式，再判断代数精度。2()1,f xx x依次取代入求积公式的两端，并令其相等,整理后有420416/3ABCACA
18、C1648,939ABCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件故所求的求积公式为221648()(1)(0)(2)939f x dx
19、fff为确定其代数精度，再取3()f xx代入检验316()03R x故所求的求积公式具有二阶代数精度。2122()()(0)2()?f x dxAf xBff xBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
20、WWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件6.3 6.3 插值型求积公式插值型求积公式怎样可以快速找到高代数精度的求积公式？BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
21、WWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件插值型求积公式：插值型求积公式：借助多项式插值函数构造的求积公式。借助多项式插值函数构造的求积公式。基本思想基本思想利用被积函数的插值函数代替被积函数来构造求积公式。一般选用不同的插值公式就可以得到不同的插值型求积公式。BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWW
22、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1、插值型求积公式构造2、插值型求积公式例题3、N-C求积公式4、N-C求积公式余项BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWW
23、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
24、WWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件用被积函数 f(x)在n个求积节点的函数值12(),(),()nf xf xf x 11111(),nnkniininikikk ixxLxf x lxlxxx 1()()nbiiaif x dxA f x 12nnxxxxxxx构造一个n-1次Lagrange插值多项式 1nLx ()11()()()!nniinniff xf x lxxn BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMM
25、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件 ()11()()()!nnbbbiinnaaaiff x dxf xlx dxx dxn 1()biinaAlx dx令 ()1()()!nnbbiinaaiff x dxA f xx dxn 若舍去等式右端的积分项，得到 11()()nbbiinaaif x dx
26、A f xLx dxBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件插值型求积公式:11()(),()nbiiabiinaiAlf x dxx
27、 dfxAx 111()nbkiininakikk ixxAlx dx lxxx 关键：，插值型求积公式的求积余项()()()!nbnafR fx dxn由求积余项可得：插值型求积公式的代数精度至少为求积节点个数减1(n-1).BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
28、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件定理1：插值型求积公式1()()nbiiaif x dxA f x代数精度至少为n-1。推论：插值型求积公式1()()nbiiaif x dxA f x求积系数之和为b-a，即：1nkkAba()()()!nbnafR fx dxnBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
29、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWW
30、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件0120.25,0.5,0.75xxx例1.已知求这3点为求积节点在0,1上的插值型求积公式。解：法13个点的3个插值多项式基函数为 120201021222010210122021,xxxxxxxxxxxxlxlxlxxxxxxxxxxxxx 120,0,1,2kkAlx dx k求积系数为求积系数为：BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
31、BBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件代入具体数值计算有:1112000010211021001012110120020210.50.7520.250.50.250.7530.250.7510.50.250.50.7530.250.520.750.
32、250.750.53xxxxxxAdxdxxxxxxxxxxxAdxdxxxxxxxxxxxAdxdxxxxx 故所求的插值型求积公式为 102120.250.50.75333f x dxfffBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
33、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件法2：过这3个点的2次插值多项式为 20.50.750.50.750.250.50.25 0.5 0.25 0.750.25 0.5 0.25 0.750.250.750.750.5 0.25 0.5 0.75xxxxL xffxxf 112002120.250.50.75333f x dxLx dxfff故所求的插值型求积公式为 11()()nbbiinaaif x dxA f xLx dx 102120.250.50.75333f x dxfffBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
34、BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
35、BBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件在插值型公式中，把求积节点取为等距节点，令1,1,2,1ibaxaih hinn则有101111nnx a thbnkiakkikk ik ixxbatkAdxdtxxnik 101111nnnniiikk itkCdtAba Cni
36、k记Cotes系数系数BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件 1()()nbniiaif x dxbaCf x 101111nnni
37、kk itkCdtnikNewton-Cotes公式简记为N-C求积公式，也称为等距节点求积公式。n点的Newton-Cotes公式BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学
38、北京交通大学 数值分析课件数值分析课件 101111nnnikk itkCdtnik 可以事先算出cotes系数。1121002 1111 22tCdtt dt 1122001 112 12tCdttdt，所以2 点的Newton-Cotes公式为 2bab af x dxf af b例如n=2的两个系数为利用 1()()nbniiaif x dxbaCf xBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
39、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1、常用的N-C公式梯形公式(n=2)2bab af x dxf af babSimpson 公式 或抛物线公式(n=3)462bab aa bf x dxf aff b(a+b)/2abBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
40、BBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件2、n点N-C公式的代数精度定理定理n点Newton-Cotes公式的代数精度至少为n-1。当节点个数n为奇数时，对应的N-C求积公式的代数精度至少为n。因为n点Newton-Cotes公式是等距节点的n点插值型求积公式，它的代数精度至少
41、n-1，对于n为奇数时，由于其节点等距特点可以提高到n.(证明见书）BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBB
42、BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1、广义积分中值定理 ,;,f xg xC a b g xa b在上不变号 ,bbaaf x g x dxfg x dx
43、a b2、梯形公式（n=2)余项 31,12baRffa b 312!2!12bbaaffbaRfxaxb dxxaxb dxf ()1()()!nbnnafRfx dxn梯形公式余项为BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
44、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件3 3、Simpson公式的求积余项公式的求积余项不能使用广义积分中值定理化简！(3)2()3!2bafabRfxaxxb dx为得到能用广义积分中值定理的结构，注意到Simpson公式有 3次代数精度，那么对任何三次多项式P3(x)462bab aa bf x dxf aff b 3333462bab aa bP x dxP aPP b BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMM
45、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件取f(x)的一个三次Hermite插值多项式H3(x)，其4个插值条件为3333()(),()(),()(),()()2222ababababH af aH bf b HfHf(4)23()()()()()()4!2fabf xH xxa xx b3333()
46、()4()()()4()()6262babaabbaabHx dxH aHH bf aff b利用求一般Hermite插值余项的方法，得 462bab aa bf x dxf aff b 插值条件与余项因子有何关系？BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
47、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件23(4)23(4)(4)2()()()4()()()()62()()()()()()4!2()()()()()(4!22880bbbaaabbaababaabRff x dxf aff bf x dxH x dxfabf xH xdxxa xx b dxfabfxa xx b dxba 5)Simpson公式的余项公式的余项 542,2880baRffa b BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
48、BBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件 *111()()nnnnnnniiiiiiiiibaCfxbaCf xbaC有 111,maxnnnnniiiii niibaCbaC n 8时，数值稳定!n8时，数值不稳定!4、N-C公式的稳定性 1()
49、()nbniiaif x dxbaCf x*kkkfxf x记 181nniinC由CotesCotes系数表 181nniinCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北
50、京交通大学 数值分析课件数值分析课件6.4 6.4 Gauss Gauss 求积公式求积公式求积公式的最高代数精度是多少？BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大