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1、第六章第六章 数值积分数值积分本章主要内容：本章主要内容：1、牛顿牛顿-柯特斯求积公式柯特斯求积公式2、复化求积公式、复化求积公式3、龙贝格求积公式、龙贝格求积公式 数值积分数值积分的必要性的必要性本章主要讨论如下形式的一元函数积分本章主要讨论如下形式的一元函数积分在微积分里，按在微积分里，按Newton-Leibniz公式公式求定积分求定积分要求被积函数要求被积函数要求被积函数要求被积函数f f(x x)有解析表达式有解析表达式有解析表达式有解析表达式；f f(x x)的原函数的原函数的原函数的原函数F F(x x)为初等函数为初等函数为初等函数为初等函数实际问题实际问题1.1.f f(x
2、x)的原函数的原函数的原函数的原函数F F(x x)不能用初等函数不能用初等函数不能用初等函数不能用初等函数表示表示表示表示考虑一个实际问题考虑一个实际问题考虑一个实际问题考虑一个实际问题:建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的的铝板压制而成的的铝板压制而成的的铝板压制而成的.例如函数例如函数:假若要求波纹瓦长假若要求波纹瓦长假若要求波纹瓦长假若要求波纹瓦长4 4英尺英尺英尺英尺,每个波纹每个波纹每个波纹每个波纹的高度的高度的高度的高
3、度(从中从中从中从中心心心心线线线线)为为为为1 1英寸英寸英寸英寸,且每个波纹以且每个波纹以且每个波纹以且每个波纹以近似近似近似近似2 2 英寸为一个周期英寸为一个周期英寸为一个周期英寸为一个周期.求求求求制做一块制做一块制做一块制做一块波纹瓦波纹瓦波纹瓦波纹瓦所需铝板的长度所需铝板的长度所需铝板的长度所需铝板的长度L.L.这个问题就是要求由这个问题就是要求由函数函数 f f(x x)=)=sin sin x x 给定的给定的给定的给定的曲线曲线曲线曲线,从从从从x x=0=0到到到到x x=48=48英寸间的英寸间的英寸间的英寸间的弧长弧长弧长弧长L L.由微积分学我们知道由微积分学我们知
4、道由微积分学我们知道由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为所求的弧长可表示为所求的弧长可表示为所求的弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分上述积分称为第二类椭圆积分上述积分称为第二类椭圆积分上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算它不能用普通方法来计算它不能用普通方法来计算它不能用普通方法来计算.2 2.有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式示成有限形式示成有限形式示成有限形式,但表达式相当复杂但表达式相当复杂但表达式相当复杂但表达式相当复杂,计算极
5、不方便计算极不方便计算极不方便计算极不方便.并不复杂并不复杂并不复杂并不复杂,但它的原函数却但它的原函数却但它的原函数却但它的原函数却十分复杂十分复杂十分复杂十分复杂:例如例如例如例如函数函数函数函数3 3.f f(x x)没有解析表达式，只有数表形式没有解析表达式，只有数表形式没有解析表达式，只有数表形式没有解析表达式，只有数表形式:x12345f(x)44.5688.5 这些都说明这些都说明,通过原函数来计算积分有它的局限性通过原函数来计算积分有它的局限性,因而因而,研究关于积分的数值方法具有很重要的实际意义研究关于积分的数值方法具有很重要的实际意义.6.1 求积公式及其代数精度求积公式及
6、其代数精度 积分值积分值 在几何上可解释为由在几何上可解释为由 x=a,x=b,y=0 和和 y=f(x)所围所围成的成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积.积分计算之所以有困难，就积分计算之所以有困难，就是因为这个曲边梯形有一条边是因为这个曲边梯形有一条边 y=f(x)是曲的是曲的.一一.求积公式的概念求积公式的概念 依据依据积分中值定理积分中值定理,对于连续函数对于连续函数f(x),在在a,b内内存在一点存在一点,使得使得 称称f()为区间为区间a,b的平均高度的平均高度.问题在于点问题在于点 的具体的具体位置一般是不知道的位置一般是不知道的.这样这样,只要对平均高度只要对平均高度f()提供一提
7、供一种种算法算法,相应地便获得一种相应地便获得一种数值求积方法数值求积方法.如果如果简单简单地地选选取区取区间间a,b的一个端点或区的一个端点或区间间中点中点的高度作的高度作为为平均高度平均高度,这样这样建立的求建立的求积积公式分公式分别别是是:左矩形求积公式；左矩形求积公式；右矩形求积公式；右矩形求积公式；中矩形求积公式；中矩形求积公式；此外此外,众所周知的众所周知的梯形公式梯形公式:和和 Simpson公式公式:则则分分别别可以看作用可以看作用 a,b,c=(a+b)/2,三点高度的加三点高度的加权权平均平均值值 f(a)+f(b)/2 和和 f(a)+4f(c)+f(b)/6作作为为平均
8、高度平均高度f()的近似的近似值值.更一般地更一般地,取区间取区间a,b内内n+1个点个点 xi(i=0,1,2,n)处的高度处的高度f(xi)(i=0,1,n),通过通过加权平均加权平均的方法近的方法近似地得出平均高度似地得出平均高度 f(),称称为为机械求机械求积积公式公式.即取即取得到近似求积公式的一般形式得到近似求积公式的一般形式(*)一般把一般把积分公式表示成如下形式：积分公式表示成如下形式：其中其中求积求积节点节点求积求积系数系数仅与仅与求积节点求积节点有关有关求积公式的求积公式的截断误差截断误差或或余项余项：求积系数的求积系数的特征：特征：代数精度代数精度的判别方的判别方法法 二
9、二.求积公式的代数精度求积公式的代数精度 如果求积公式如果求积公式 求积公式求积公式 具有具有m次次 代数精度的充要条件是代数精度的充要条件是 为为 时求积公式精确成立，而时求积公式精确成立，而 为为 时求积公式时求积公式 不能成为等式。不能成为等式。定义：定义：定理：定理：对一切不高于对一切不高于m 次的多项式都次的多项式都恒精确成立恒精确成立，而对于某，而对于某个个m+1次多项式次多项式不能精确成立不能精确成立，则称该求积公式具有，则称该求积公式具有m 次代数精度。次代数精度。求积公式的求积公式的收敛性收敛性和和稳定性稳定性若若则称求积公式则称求积公式（*）是收敛的。是收敛的。设设 有有舍
10、入舍入误差误差，实际计算的求积公式为：，实际计算的求积公式为：两者的误差为两者的误差为其中其中求积系数求积系数全为正全为正时，公式是时，公式是稳定稳定的的三、插值型三、插值型求积公式求积公式思思想想用被积函数用被积函数 在区间在区间 上的上的插值插值多项式多项式近似代替近似代替 f(x)计算计算.作作n次次拉格朗日拉格朗日插值多项式插值多项式:设已知函数设已知函数 在节点在节点上的函数值上的函数值其中其中插值型插值型求积公式：求积公式：余项余项 形如形如 的求积公式至少有的求积公式至少有证明：证明：充分性充分性设它是设它是插值型插值型求积公式求积公式当当时，时，即它对所有不超过即它对所有不超过
11、 n 次的多项式精确成立，故至少次的多项式精确成立，故至少有有n 次代数精度。次代数精度。定理定理6.1n 次代数精度的充要条件是它是次代数精度的充要条件是它是插值型插值型求积公式。求积公式。则对所有不超过则对所有不超过n次的多项式求积公式次的多项式求积公式精确成立精确成立取取因此求积公式因此求积公式 是是插值型插值型的。的。必要性必要性设求积公式至少有设求积公式至少有n次代数精度次代数精度推论推论 求积系数满足求积系数满足:6.2 牛顿牛顿-柯特斯求积公式柯特斯求积公式牛顿牛顿-柯特斯柯特斯公式是插值型求积公式的特殊形式：公式是插值型求积公式的特殊形式：求积节点求积节点 取取等距等距分布：分
12、布：步长步长其中其中柯特斯柯特斯系数系数牛顿牛顿-柯特斯柯特斯公式：公式：满足：满足：牛顿牛顿-柯特斯求积公式的余项柯特斯求积公式的余项(截断误差截断误差)定理定理 6.2 当阶数当阶数n为偶数时为偶数时,Newton-Cotes 公式公式至少至少具有具有n+1次代数精度次代数精度.证明证明 只需验证当只需验证当n为偶数时为偶数时,Newton-Cotes公式对公式对f(x)=xn+1的余项为零的余项为零.n=1 时的求积公式时的求积公式梯形梯形公式公式1次次代数精度代数精度此时此时这就是梯形求积公式这就是梯形求积公式：梯形梯形求积公式的余项：求积公式的余项：用用梯形梯形面积近似面积近似应用积
13、分中值定理，有应用积分中值定理，有n=2时的求积公式时的求积公式辛蒲生辛蒲生公式公式此时此时这称为这称为Simpson求积公式求积公式：3次次代数精度代数精度3次次代数精度代数精度用用抛物形抛物形面积近似面积近似余项余项:n=4 时的求积公式时的求积公式柯特斯柯特斯公式公式5 次次代数精度代数精度近似近似等于等于曲边梯形的面积曲边梯形的面积I4(f)=柯特斯求积柯特斯求积公式的余项公式的余项:5 次次代数精度代数精度梯形梯形公式公式辛蒲生辛蒲生公式公式柯特斯柯特斯公式公式牛顿牛顿-柯特斯柯特斯公式：公式：例例1 1：分别利用分别利用梯形公式、梯形公式、辛蒲生辛蒲生公式、公式、柯特斯柯特斯公式公式计算积分计算积分 的近似值。的近似值。解：解：