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1、第六章数值积分本讲稿第一页，共八十六页内容提纲（内容提纲（Outline)Outline)求积公式的代数精度求积公式的代数精度 插值型求积公式插值型求积公式 复化求积法复化求积法本讲稿第二页，共八十六页为什么要数值积分？在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数要求被积函数f f(x x)有解析表达式；有解析表达式；f f(x x)的原函数的原函数F F(x x)为初等函数为初等函数Why do we do numerical integral?本讲稿第三页，共八十六页问题问题 f f(x x)没有解析表达式，只有数表形式没有解析表达式，只有数表形式 e.g.e.g.f
2、 f(x x)有表达式，但原函数不是初等函数有表达式，但原函数不是初等函数 e.g.e.g.，它们的原函数都不是初等函数它们的原函数都不是初等函数.x12345f(x)44.5688.5本讲稿第四页，共八十六页求定积分就得通过近似计算数值积分求得积分近似值求定积分就得通过近似计算数值积分求得积分近似值基本思想是对被积函数进行近似，给出数值积分，同时基本思想是对被积函数进行近似，给出数值积分，同时考虑近似精度。考虑近似精度。下面首先给出代数精确度的概念下面首先给出代数精确度的概念本讲稿第五页，共八十六页7.1 代数精确度代数精确度本章讨论的是形如本章讨论的是形如的定积分的数值计算，其中为权函数，
3、要满足的定积分的数值计算，其中为权函数，要满足5.4节中所提的条件节中所提的条件.本讲稿第六页，共八十六页一般把积分区间n个点xk上的函数值f(xk)加权Ak的和 作为积分I(f)的近似,即 或记 (2)本讲稿第七页，共八十六页上式中xk，Ak分别称为求积节点、求积系数.求积系数与被积函数f(x)无关,而与求积节点、求积区间、权函数有关称公式(2)为n点求积公式，有时也称为一个n点求积公式，为求积公式的误差用此公式)求积分近似值的计算称为数值积分或数值微分本讲稿第八页，共八十六页构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有 (i)确定求积系数Ak和求积节点n；(ii)求积公式的误差估计和收敛性用
4、什么标准来判定两个节点数相同的求积公式的“好”与“差”呢？通常用“代数精确度”的高低作为求积公式“好”与“差”的一个标准在后面的讨论中我们将看到，节点相同的求积公式，代数精确度越高，求出的积分近似值精确度一般越好下面给出代数精确度的定义本讲稿第九页，共八十六页定义若对任意的，求积公式(2)的误差都满足，则称该求积公式具有n次代数精确度验证一个求积公式所具有的代数精确度用定义是极不方便的，为此给出另一个定义本讲稿第十页，共八十六页 定义2 若对函数，求积公式(2)精确成立，即而，则称其具有n次代数精确度因为函数组 是的一组基函数，所以两个定义是等价的，但在具体应用时，定义2比定义1要方便的多本讲
5、稿第十一页，共八十六页例验证求积公式具有3次代数精确度解：当而有本讲稿第十二页，共八十六页（1）当（2）当（3）当本讲稿第十三页，共八十六页（1）当故求积公式具有三次代数精确度本讲稿第十四页，共八十六页7.2 插值型求积公式这一节所讨论的求积公式，都是用在区间a,b上对被积函数f(x)作插值所得插值多项式Pn(x)代替被积函数f(x)导出的公式这一类求积公式的求积节点xk，就是对f(x)作插值时的插值节点，所以这类求积公式称为插值型求积公式为简便起见，这节讨论节点分布为等距并且权函数时的插值型求积公式的构造等问题本讲稿第十五页，共八十六页7.2.1 Newton-Cotes求积公式求积公式一、
6、公式的推导设将积分区间a,bn等分，求积节点为 ，那么，令x=a+th，则t=(x-a)/h，且由可知由Lagrange插值基函数有而，所以本讲稿第十六页，共八十六页将n次Lagrange插值多项式Ln(x)代替被积函数f(x)得记称为Cotes求积系数它与(3)式中的求积系数Ak相差一个常数b-a即本讲稿第十七页，共八十六页把Ak代入到(3)式中，得到Newton-Cotes求积公式例如当n=4,5时，Newton-Cotes公式分别为n=0,1,2三种情形，在讨论(3)式中的余项R(1,f)后再详细讨论本讲稿第十八页，共八十六页二、误差估计求积公式(3)计算出的积分I(f)的近似值In+1
7、(f)的误差多大？若被积函数 ，记，对n次Lagrange插值余项求积，可得n+1个节点的Newton-Cotes求积公式的误差估计式为 (5)本讲稿第十九页，共八十六页验证求积公式(3)的代数精确度，不用误差估计的(4)式，而用直接对插值余项求积的形式，即 (5)由(5)式，显而易见，当时，因可知，R(1,f)=0，所以我们所n+1点的求积公式(3)至少具有n次的代数精确度进一步可以证明，当n为偶数时，求积公式(3)的代数精确度可以达到n+1次本讲稿第二十页，共八十六页三、几种常见的Newton-Cotes求积公式 对 n=0,1,2,按公式(3)可以得出下面三种常见的Newton-Cote
8、s求积公式.1.n=0时的矩形求积公式分别以积分区间a,b的左、右端点和区间中点，即x=a，b，(a+b)/2为求积节点得到：左矩形求积公式：右矩形求积公式：中矩形求积公式：三个求积公式的误差估计，可将函数f(x)分别在处展开到含f(x)的一阶导数的Taylor公式在区间a,b上积分推得本讲稿第二十一页，共八十六页2.n=1时的梯形求积公式按Cotes系数公式计算得故求积系数A0,A1为 ，梯形求积公式为记(6)式的几何意义如图7-2所示（见p327）容易验证公式(6)的代数精确度的次数为1.考虑梯形求积公式(6)的误差估计R(1,f)假定时，用推广的积分中植定理，将过(a,f(a),(b,f
9、(b)点的线性插值的余项 在a,b上积分，可得其中也称为梯形求公式本讲稿第二十二页，共八十六页3.n=2时的Simpson求积公式按Cotes系数公式可以计算出为此，所以 (8)公式(8)称为Simpson求积公式由7.1节例1可知Simpson求积公式(8)具有次的代数精确度 Simpson求积公式(8)的误差估计R(1,f)不能直接有插值余项 利用推广的积分中值定理在a,b上积分推出原因是 在a,b上要变号本讲稿第二十三页，共八十六页7.3 Romberg积分积分 设 是任意数,是关于步长h逼近 的近似公式,它们的误差估计式为 (1)7.3.1 Richardson外推法 外推法是用精确度
10、较低的近似公式组合成精确度较高的近似公式的一种方法.这里,k1,k2,k3,是一组常数.本讲稿第二十四页，共八十六页 我们希望找到一种简便的方法,用近似公式F(h)的组合,得到误差阶较高的近似公式 ,使 (2)此时,逼近 F*的误差为O(h2)类似地,用 组合产生逼近F*的误差 为 O(h3)的近似公式等.下面我们给出一种具体的组合方法.按(1)式,称 逼近 的误差为 .把h的幂次称为误差的阶,例如,称为二阶误差本讲稿第二十五页，共八十六页把(1)式改写为 (3)用h/2代替(3)式中的h,得 (4)用2乘(4)式再减去(3)式,消去含h的项,得 (5)令 ,且记 本讲稿第二十六页，共八十六页
11、那么(5)式可写为 (6)这里,逼近 的误差为 再用 h/2 代替 h,使(6)式变为 (7)用4乘(7)式减去(6)式,消去含 的项,得 (8)同样记本讲稿第二十七页，共八十六页(8)式可以写为 (9)这里 逼近 的误差为 还是用h/2代替h代入(9)式后,类似上述过程,可以得到误差为 的 一般地,对 ,有逼近 的误差为 的递推公式 (10)也称为关于步长h的外推公式.表7-1列出了 时,按(10)式产生 的计算次序,表中各列左边黑体数字表示序号.本讲稿第二十八页，共八十六页 表表7-1例1 设 带余项的差分公式为本讲稿第二十九页，共八十六页 (11)导出具有误差为 的外推公式.解解 令 用
12、 h/2代替h,得 (12)为消去含 的项,用4乘(12)式减去(11)式,得本讲稿第三十页，共八十六页从而有 (13)这里这时,逼近 的误差为 .重复用h/2代替h并消去含 的项 ,得到逼近 的误差为 的外推公式为本讲稿第三十一页，共八十六页 注意(14)式中第二项的分母为 而不是(10)式中的 .这是由于(11)式中的余项为关于 的幂次而不是关于h的幂次.7.3.2 Romberg求积方法求积方法 Romberg求积方法是以复化梯形公式为基础,应用Richardson外推法导出的数值求积方法.回忆7.2.1节的复化梯形公式,分别把积分区本讲稿第三十二页，共八十六页间a，b分为1,2,4等分
13、的结果列入表7-2.表表7-2 k 1 1 2 2 3 4本讲稿第三十三页，共八十六页我们还可以进一步推导出它们的递推关系.由可以化为类似地,有一般地,把区间a,b逐次分半k-1次 ,区间长度(步长)为 ,其中 .为本讲稿第三十四页，共八十六页叙述方便起见,记 ,那么,(15)或 (16)从而有 (17)其中 .按外推法的思想,可以把(15)看成是关于本讲稿第三十五页，共八十六页误差为 的一个近似公式.因此,复化梯形公式的误差公式为 (18)为消去 项,再取 代替(18)式中的 ,得 (19)本讲稿第三十六页，共八十六页用4乘(19)式再减去(18)式,得 (20)记 (21)这是误差为 的外
14、推公式.重复上述过程,将区间逐次分半k-1次后,可本讲稿第三十七页，共八十六页以得到误差为 的外推公式 (22)当j=2时 (23)当K=2时,有这是n=2的复化Simpson公式的 .不难验证,对一般的k,这里,是 的复化本讲稿第三十八页，共八十六页Simpson公式.类似地,当j=3时,(24)在实际计算中,经常直接应用(23)式和形式与(24)式相类似的公式进行计算.所谓Romberg求积方法,就是由上述两部分组成.第一部分,对积分区间逐次分半k-1次,用复化梯形求积公式(16)计算 ,第二部分,用外推公式(22)计算本讲稿第三十九页，共八十六页 用Romberg求积方法计算 的计算值的
15、过程如下:首先,令k=1,区间长度 ,用梯形求积公式计算 (表7-3中第一行);区间分半,令K=2,区间长度 ,先按(16)式计算 ,再按外推公式(22)式计算 (表7-3中第二行);再区间分半,令k=3,区间长度 ,先按(16)式计算 ,再按(22)式计算 (表7-3中第三行)等等,逐次分半区间k次后的计算结果如表7-3所示(见下页).本讲稿第四十页，共八十六页 表表7-3 :.表7-3中 的计算按行(k的序号)进行,每行第1个元素 用复化梯形公式(16)计算,其他元素 均按(22)式用 与 的组合得到.在实际应用中,往往根据实际问题对计本讲稿第四十一页，共八十六页算精确度的要求来确定区间逐
16、次分半的次数.常用不等式 (25)作为达到精确度要求的判断准则,这里,是给定的一个小的正数.例例2 用Romberg求积方法计算 (26)的近似值,给定解 首先令区间长度 ,用梯形求积公式计算本讲稿第四十二页，共八十六页区间0,1分半,令区间长度 ,按16式计算再按(23)式计算这时未达到精确度要求.为此,再将区间分半,令区间长度 按(16)式计算本讲稿第四十三页，共八十六页按j=2和j=3的外推公式(23)和(24),分别用 和 的组合得到 以及用 和 的组合得到 ,即以及这时,已满足不等式(25)的要求.作为积分(26)式的近似,其误差为 .本讲稿第四十四页，共八十六页下面给出用Rombe
17、rg求积方法计算近似值的计算步骤,用二维数组T的元素 存放表7-3中的 .1输入:积分区间端点2令 ,计算3令4令 ,计算5for j=2,3,k 5.1 计算 end for(j)本讲稿第四十五页，共八十六页6if ,then goto 8 end if7 令k=k+1,goto 48 输出9 end本讲稿第四十六页，共八十六页7.5 Gauss求积公式求积公式7.5.1 引言引言求积公式 (1)当求积系数 、求积节点 都可以自由选取时,其代数精确度最高可以达到多少次?下面的引理可以回答上述问题.本讲稿第四十七页，共八十六页 引理引理1 当求积系数 和求积节点都可以自由选取时,n点的求积公式
18、(1)的代数精确度最高可以达到2n-1次.证 假设求积公式(1)具有m次代数精确度,即对任意的m次代数多项式 求积公式(1)的精确成立.于是成立等式即 若记 (2)本讲稿第四十八页，共八十六页则(2)式成为 (3)由于系数 的任意性,故使(3)式成为恒等式的充要条件是 (4)(4)式的待定系数有2n个,所以确定待定系数的本讲稿第四十九页，共八十六页独立条件至多给出2n个,从而可知m至多为2n-1.定义定义1 n点的求积公式(1)具有2n-1次代数精确度(或称为具有最高的代数精确度)时,称为Gauss型求积公式型求积公式.Gauss型求积公式的求积节点 ,称为Gauss点,它们可以通过求区间a,
19、b上带权的n次正交多项式 的n个根获得.所以先介绍正交多项式及其性质.然后讨论Gauss型求积公式的构造,等等.本讲稿第五十页，共八十六页7.5.2 正交多项式及其性质正交多项式及其性质 定义定义2 若 (1),则称函数f(x)和g(x)在区间a,b上正交.(2),则称函数f(x)和g(x)在区间a,b上带权 正交.(3)代数多项式序列 (下标k为多项式的次数,表示k次多项式),在区间a,b上满足 当m n 当m=n则称多项式序列 为区间a,b上带权本讲稿第五十一页，共八十六页 的正交多项式序列.定义定义3 若n次记多项式 中含 项的系数为 ,则称 为 的首次系数首次系数;时,称 为首次系数为
20、首次系数为1的的n次多项式次多项式.正交多项式有如下性质:性质性质1 若 是区间a,b上带权 的正交多项式序列,则它们线行无关.证证 对任意的 ,若 ,在式子两边同乘 ,并从a到b积分,由 的正交性定义1中的(3)可知必有 本讲稿第五十二页，共八十六页 .故正交多项式序列 线性无关.由性质1可知,若 为a,b上带权 的正交多项式序列,则序列 可以作为空间 的一组基函数,即 中的任一元素 可由它们线性表出:其中 为组合系数.性质性质2 若 为a,b上带权 的正交多项式序列,且 ,则本讲稿第五十三页，共八十六页(1)(2)事实上,由性质1,.由 的正交性定义容易证得(1).证(2)也是类似的.为方
21、便起见,记下面,不加证明地给出正交多项式如下的性质:性质性质3 a,b上带权函数 的正交多项式序列 相邻三项的递推关系为其中,本讲稿第五十四页，共八十六页 为 的首项系数,即为 性质性质4 a,b上带权函数 的正交多项式序列 中任意相邻两个正交多项式 和 的根相间.若记 ,的根分别为 ,则所谓 与 的根相同,即是指这两个正交多项式的根有如下的关系.本讲稿第五十五页，共八十六页 性质性质5 (1)区间a,b上带权函数 的正交多项式序列 与 对应元素之间只相差一个比例常数.(2)区间a,b上带权函数 首项系数为1的正交多项式序列 唯一.常见的正交多项式有Legendre(勒让德)多项式、Hermi
22、te多项式、Chebyshev多项式以及Jacobi多项式,Chebyshev多项式在5.2节已本讲稿第五十六页，共八十六页详细讨论,这里主要介绍Legendre多项式一、一、Legendre多项式多项式 隐式表达式显式表达式 本讲稿第五十七页，共八十六页 当n为偶数时,当n为奇数时.Legendre多项式的主要性质有 (1)n次Legendre多项式 的首项系数 当x=1,当x=-1.(3)正交性为:为区间-1,1上带权函数 的正交多项式序列,且有本讲稿第五十八页，共八十六页 当m n 当m=n (4)Legendre多项式相邻三项的递推关系为二、二、Legendre多项式多项式将隐式表达式
23、本讲稿第五十九页，共八十六页 将隐式表达式中n阶导数用乘积导数的Leibniz公式可得显式表达式Legendre多项式的主要性质有(1)n次Legendre多项式 的首项系数(2)正交性为:为区间 上带权函数 的正交多项式序列,且有本讲稿第六十页，共八十六页权函数 的正交多项式序列,且有(3)Hermite多项式相邻三项的递推关系为四、四、Jacobi多项式多项式Jacobi多项式是在区间-1,1上带权函数 的正交多项式,其中本讲稿第六十一页，共八十六页(3)Legendre多项式相邻三项的递推关系为三、三、Hermite多项式多项式 表达式 Hermite多项式的主要性质有(1)n次Herm
24、ite多项式 的首项系数(2)正交性为:为区间 上带本讲稿第六十二页，共八十六页 有的书籍文献把Jacobi多项式记为即n次Jacobi多项式表示为其中 或 .两种系数推出两种Jacobi多项式.详细的情形请参阅文献27.本讲稿第六十三页，共八十六页7.5.3 Gauss型求积公式型求积公式 由7.5.1中的引理1和定义1可知n点的求积公式(1)若具有最高的代数精确度,或具有2n-1次的代数精确度成为Gauss型求积公式.到底求积公式(1)的求积节点 和求积系数如何选取,才能使之成为Gauss型求积公式?定理定理7.5.1 求积公式(1)中的n个求积节点 ,取在区间a,b上带权函数 的n次正交
25、多项式 的n个根成为Gauss型求积公式.证证 设 .a,b上带权函数 的本讲稿第六十四页，共八十六页n次正交多项式 的n个根记为 ,记的首项系数为 .由定义2有因此,(5)其中 .在(5)式两边同乘 ,并从a到b积分.由正交多项式的性质可知,含 项的积分为零,所以 (6)注意到当 作为插值节点时建立的n点插值本讲稿第六十五页，共八十六页求积公式至少具有n-1次代数精确度,而 ,所以 (7)又由(5)式可知 ,即 (8)综合(6),(7),(8)式可知,当 时,求积公式(1)成立.本讲稿第六十六页，共八十六页用n点Gauss求积公式 (9)之值近似积分值 有下面的误差估计.定理定理7.5.2
26、若 ,则Gauss型求积公式(1)的误差估计 为其中 证明略.在稍后讨论Gauss积分值数列的收敛性本讲稿第六十七页，共八十六页等问题时,需要用到Gauss型求积公式的求积系数 大于零的结论.这里用下面的定理给出.定理定理7.5.3 Gauss型求积公式的求积系数 大于零.证证 令 ,这里 为区间a,b上带权函数 的n次正交多项式 的n个根.显然本讲稿第六十八页，共八十六页由于 ,所以对 求积公式(1)精确成立,即因为所以 在7.2节,我们讨论了复化梯形求积公式和复化Simpson求积公式的收敛性.那么Gauss本讲稿第六十九页，共八十六页型求积公式被积函数 应当满足什么条件才收敛呢?Gaus
27、s型求积公式的收敛性问题由下面的定理给出.定理定理7.5.4 若 ,则Gauss型求积公式所求积分值序列 收敛于积分值 ,即 证证 因为 ,由Weierstrass定理对任意的 ,存在 ,使得本讲稿第七十页，共八十六页 (10)对任意的 成立.由于公式(1)为Gauss型求积公式时具有2n-1次代数精确度,取 N(m+1)/2,故当 nN时,即m2N-12n-1时,有 (11)成立,于是 由(11)式可知 .而由(10)式,有本讲稿第七十一页，共八十六页和 ,从而因为 ,记本讲稿第七十二页，共八十六页故即本讲稿第七十三页，共八十六页7.5.4 Gauss型求积公式的构造与应用型求积公式的构造与
28、应用 定理7.5.1实际上给出了构造Gauss型求积公式的一种方法.这种方法,当给定了积分区间a,b和权函数 以后,构造n个点的Gauss型求积公式,先求出区间a,b上带权函数 的n次正交多项式 ,然后用多项式求根的方法求出 的n个根 ,从而获得了求积节点 为了求得求积系数 ,将n个求积节点 代入方程组(4)中的前n个方程并加以求解,即解线性代数方程组本讲稿第七十四页，共八十六页求得求积系数 ,完成Gauss型求积公式的构造.表7-5为Gauss-Legendre求积公式的求积系数 和求积节点 的一个表.而表7-6和表7-7则分别是Gauss-Legendre和Gauss-Hermit-te求
29、积公式的求积系数 和求积节点 的一本讲稿第七十五页，共八十六页个表.有些数值分析的书籍还给出了Gauss-Chebyshev求积公式的求积节点与求积系数.表见P366.需要指出的是,不同求积公式的求积系数与求积节点,积分区间和权函数是不同的.Gauss-Lagendre求积公式的积分区间为-1,1,权函数 .而Gauss-Legendre求积公式的积分区间为 ,权函数 .Gauss-Hermitte求积公式的积分区间为 ,权函数Gauss-Chebyshev求积公式的积分区间为-1,1本讲稿第七十六页，共八十六页权函数 这里需要指出的另一点是Gauss-Chebyshev求积公式的求积系数是相
30、同的.例如,n点的Gauss-Chebyshev求积公式,它的n个求积系数 都是 ,即 .而n个求积节点则为 正是因为Gauss-Chebyshev求积公式的求积系数相同,所以在实际计算时,乘法的次数只需一次,节省了n-1次的乘法运算.本讲稿第七十七页，共八十六页例例1 求 使求积公式具有三次代数精确度.问题是构造区间0,1上带权函数 的两点Gauss型求积公式.解解 方法1 容易计算出当时 的积分值分别为 ,所求公式具有3次代数精确度.故可得为未知数的方程组为本讲稿第七十八页，共八十六页 (1)(2)(3)(4)又因为 为Gauss型求积公式的求积节点,所以它们是区间0,1上带权函数 且首项
31、系数为1的二次正交多项式 的两个根.不妨记 ,为此 又因为 必须满足方程(2)(3)(4),所以本讲稿第七十九页，共八十六页由可得关于p,q的方程组为解此方程组得本讲稿第八十页，共八十六页将所求p,q代入 ,求得其根为再将所求 代入方程(1)(2),联立解得为此,公式为所求具有3次代数精确度的求积公式.本讲稿第八十一页，共八十六页 方法2 求出区间0,1上带权函数的二次正交多项式 ,并求出其根 ,获得求积节点.再求方程组(12)前两个方程组成的方程组获得求积系数 .由于 和 都是 的线性无关组,所以考虑由 求得所需的正交多项式.这种方法可以称作将它们正交化.记本讲稿第八十二页，共八十六页令所以
32、又令 这样即如此作出的 与 正交,也与 正交.由于所以这样,本讲稿第八十三页，共八十六页同理可令并且容易验证,与 正交.容易求得所以本讲稿第八十四页，共八十六页第二种方法与第一种方法求出的 是一样的,后面的求解过程相同.这里略去.方法2是一种将一组线性无关函数组 正交化而得到正交多项式 的方法.高于2次的正交多项式用这样的方法同样可以得到.这样求正交多项式在实际应用时是方便的.这里需要附带说明的是,Gauss-Legendre,Gauss-Chebyshev求积公式作数值求积精度不够时,可以采取将积分区间a,b若干等分后,将每一个子区间映射到区间-1,1上再用相同本讲稿第八十五页，共八十六页节点数的求积公式进行数值求积的计算,通常会得到精度较好的计算结果.Gauss型求积公式具有数值结果精度高,收敛得以保证、计算简便、易于在计算机上实现等优点,并且在积分区间a,b有限时便于推广到高维数值积分.不足之处是公式的构造比较困难,另一个是由于相邻次数的正交多项式的根,从而造成增加求积节点以提高计算结果的精度时,原先所有求积节点上的函数值全部无用.所以在具体应用Gauss求积公式计算数值积分时,n取得都较小.本讲稿第八十六页，共八十六页