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1、1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习高考专题突破三高考精选高考数学大一轮复习高考专题突破三高考中的数列问题教师用书中的数列问题教师用书1(2016金华十校高三上学期调研)等差数列an的前 n 项和为Sn，若 a11，S2a3，且 a1，a2，ak 成等比数列，则 k 等于( )A1 B2 C3 D4答案 D解析 设公差为 d，则 2d12d，d1，ann，由 aa1ak，得 41k，k4.2已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a55，S515，则数列的前 100 项和为( )A. B.99 101C. D.101 100答案 A解析 设等差数列an的首项为 a
2、1，公差为 d.a55，S515，Error!ana1(n1)dn.，数列的前 100 项和为1.3(2016杭州学军中学模拟)已知等比数列an的公比 q0，前 n2 / 14项和为 Sn.若 2a3，a5,3a4 成等差数列，a2a4a664，则q_，Sn_.答案 2 2n1 2解析 由 a2a4a664，得 a64，解得 a44.由 2a3，a5,3a4 成等差数列，得 2a4q3a4，即 8q12，解得 q2 或 q(舍去)又 a1q34，所以 a1，所以 Sn.4(2015课标全国)设 Sn 是数列an的前 n 项和，且a11，an1SnSn1，则 Sn_.答案 1 n解析 由题意，得
3、 S1a11，又由 an1SnSn1，得Sn1SnSnSn1，因为 Sn0，所以1，即1，故数列是以1 为首项，1 为公差的等差数列，所以1(n1)n，所以 Sn.题型一 等差数列、等比数列的综合问题例 1 (2016四川)已知数列an的首项为 1，Sn 为数列an的前 n 项和，Sn1qSn1，其中 q0，nN*.(1)若 a2，a3，a2a3 成等差数列，求数列an的通项公式；(2)设双曲线 x21 的离心率为 en，且 e22，求 eee.解 (1)由已知，Sn1qSn1，得 Sn2qSn11，两式相减得 an2qan1，n1.又由 S2qS11 得 a2qa1，故 an1qan 对所有
4、 n1 都成3 / 14立所以，数列an是首项为 1，公比为 q 的等比数列从而 anqn1.由 a2，a3，a2a3 成等差数列，可得2a3a2a2a3，所以 a32a2，故 q2.所以 an2n1(nN*)(2)由(1)可知，anqn1，所以双曲线 x21 的离心率 en.由 e22，解得 q，所以 eee2 n(11)(1q2)1q2(n1)n1q2q2(n1)nn(3n1)思维升华 等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序(2)注意细节：在等差数列与等比数列
5、综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前 n 项和为Sn(nN*)，且 S3a3，S5a5，S4a4 成等差数列(1)求数列an的通项公式；4 / 14(2)设 TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值解 (1)设等比数列an的公比为 q，因为 S3a3，S5a5，S4a4 成等差数列，所以 S5a5S3a3S4a4S5a5，即 4a5a3，于是 q2.又an不是递减数列且 a1，所以 q.故等比数列an的通项公式为 a
6、nn1(1)n1.(2)由(1)，得 Sn1nError!当 n 为奇数时，Sn 随 n 的增大而减小，所以 1SnS2.综上，对于 nN*，总有Sn.所以数列Tn的最大项的值为，最小项的值为.题型二 数列的通项与求和例 2 已知数列an的前 n 项和为 Sn，在数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且 anSnn.(1)设 cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式5 / 14(1)证明 anSnn，an1Sn1n1.，得 an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列首项 c1a11，又 a1a11.a1，c1，公比 q.又 cnan1
7、，cn是以为首项，为公比的等比数列(2)解 由(1)可知 cn()()n1()n，ancn11()n.当 n2 时，bnanan11()n1()n1()n1()n()n.又 b1a1，代入上式也符合，bn()n.思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项相消法等已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1，an1an.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列an的通项公式与前 n 项和 Sn.(1)证明 a1，an1an，6 / 14当 nN*时，0.又，(nN*)为常数
8、，是以为首项，为公比的等比数列(2)解 由是以为首项，为公比的等比数列，得()n1，ann()n.Sn12()23()3n()n，Sn1()22()3(n1)()nn()n1，1 2Sn()2()3()nn()n1n()n1，Sn2()n1n()n2(n2)()n.综上，ann()n，Sn2(n2)()n.题型三 数列与其他知识的交汇命题点 1 数列与函数的交汇例 3 (2016温州十校联考)已知二次函数 f(x)ax2bx 的图象过点(4n,0)，且 f(0)2n，nN*，数列an满足f，且 a14.(1)求数列an的通项公式；(2)记 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn.解 (1)f(x
9、)2axb，由题意知 b2n,16n2a4nb0，a，则 f(x)x22nx，nN*.数列an满足f，又 f(x)x2n，7 / 142n，2n，由叠加法可得2462(n1)n2n，化简可得 an(n2)，当 n1 时，a14 也符合，an(nN*)(2)bn2，Tnb1b2bnanan122.命题点 2 数列与不等式的交汇例 4 (2016宁波高三上学期期末考试)对任意正整数 n，设 an 是方程 x21 的正根求证：(1)an1an；(2)0，得 00，故 an1an0，即 an1an.(2)因为 an(an)1，所以an，由 00)(1)判断函数 yf(x)的单调性，给出你的结论；(2)
10、若数列an的各项均为正数，a11，在 m2 时，an1f(an)g(an)2 (nN*)，求证：an2n1.(1)解 求导，得 f(x)1，由 f(x)0，得 x1.当 x(0,1)时，f(x)0；当 x(1，)时，f(x)0)下面用数学归纳法证明 an2n1 (*)成立当 n1 时，a11211，(*)式成立假设当 nk 时，ak2k1 成立，则当 nk1 时，ak1ln akak2ak1ak22ak12(2k1)12k11.所以当 nk1 时，(*)式也成立由可知，an2n1 成立.10 / 141(2016北京)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.
11、(1)求an的通项公式；(2)设 cnanbn，求数列cn的前 n 项和解 (1)设数列an的公差为 d，bn的公比为 q，由得Error!bn的通项公式 bnb1qn13n1，又 a1b11，a14b434127，1(141)d27，解得 d2.an的通项公式 ana1(n1)d1(n1)22n1(n1,2,3，)(2)设数列cn的前 n 项和为 Sanbn2n13n1，Snc1c2c3cn2113022131231322n13n12(12n)n30 13n 132nn2.即数列cn的前 n 项和为 n2.2(2016全国甲卷)等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；
12、(2)设 bnan，求数列bn的前 10 项和，其中x表示不超过 x 的最大整数，如0.90，2.62.11 / 14解 (1)设数列an的首项为 a1，公差为 d，由题意有解得Error!所以an的通项公式为 an.(2)由(1)知，bn.当 n1,2,3 时，10，得 an1an，an1an，an(anan1)(a2a1)a12(n2)，又 a12，an.(2)aaan111，12 / 14aa，即 a，2a3，4()7 且 kN*时，证明：对任意 nN*都有成立(1)解 由 f1(1)a11，得 a11，由 f2(1)a1a22，得 a23，又 f3(1)a1a2a33，所以 a35.(2)解 由题意得 fn(1)a1a2a3(1)nan(1)nn，fn1(1)a1a2a3(1)n1an1(1)n1(n1)，n2，两式相减，得(1)nan(1)nn(1)n1(n1)(1)n(2n1)，当 n2 时，an2n1，又 a11 符合，an2n1(nN*)(3)证明 令 bnn，则 S，2S()()()()(*)当 x0，y0 时，xy2，2，(xy)()4，当且仅当 xy 时等号成立上述(*)式中，k7，n0，n1，n2，nk1 全为正，2S，S2(1)2(1).14 / 14