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1、1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习高考专题突破三高考精选高考数学大一轮复习高考专题突破三高考中的数列问题教师用书理新人教中的数列问题教师用书理新人教1(2017广州质检)数列an是公差不为 0 的等差数列，且a1，a3，a7 为等比数列bn中连续的三项，则数列bn的公比为( )A. B4C2 D.1 2答案 C解析 设数列an的公差为 d(d0)，由 aa1a7，得(a12d)2a1(a16d)，解得 a12d，故数列bn的公比 q2.2已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a55，S515，则数列的前 100 项和为( )A. B.99 101C. D.10
2、1 100答案 A解析 设等差数列an的首项为 a1，公差为 d.a55，S515，Error!ana1(n1)dn.，数列的前 100 项和为1.3等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1,2S2,3S3 成等差数列，则等比数列an的公比为_2 / 14答案 1 3解析 设等比数列an的公比为 q(q0)，由 4S2S13S3，得 4(a1a1q)a13(a1a1qa1q2)，即 3q2q0，又 q0，q.4(2015课标全国)设 Sn 是数列an的前 n 项和，且a11，an1SnSn1，则 Sn_.答案 1 n解析 由题意，得 S1a11，又由 an1SnSn1，得Sn1SnSnS
3、n1，因为 Sn0，所以1，即1，故数列是以1 为首项，1 为公差的等差数列，所以1(n1)n，所以 Sn.5已知数列an的前 n 项和为 Sn，对任意 nN*都有 Snan，若10，nN*.(1)若 a2，a3，a2a3 成等差数列，求数列an的通项公式；(2)设双曲线 x21 的离心率为 en，且 e22，求 eee.解 (1)由已知，Sn1qSn1，得 Sn2qSn11，两式相减得 an2qan1，n1.又由 S2qS11 得 a2qa1，故 an1qan 对所有 n1 都成立所以，数列an是首项为 1，公比为 q 的等比数列从而 anqn1.由 a2，a3，a2a3 成等差数列，可得2
4、a3a2a2a3，所以 a32a2，故 q2.所以 an2n1(nN*)(2)由(1)可知，anqn1，所以双曲线 x21 的离心率 en.由 e22，解得 q，所以 eee2 n(11)(1q2)1q2(n1)n1q2q2(n1)nn(3n1)思维升华 等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节
5、对解题的影响4 / 14也是巨大的已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前 n 项和为Sn(nN*)，且 S3a3，S5a5，S4a4 成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设 TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值解 (1)设等比数列an的公比为 q，因为 S3a3，S5a5，S4a4 成等差数列，所以 S5a5S3a3S4a4S5a5，即 4a5a3，于是 q2.又an不是递减数列且 a1，所以 q.故等比数列an的通项公式为 ann1(1)n1.(2)由(1)，得 Sn1nError!当 n 为奇数时，Sn 随 n 的增大而减小，所以 1SnS2.综上，对于 nN
6、*，总有Sn.所以数列Tn的最大项的值为，最小项的值为.题型二 数列的通项与求和例 2 已知数列an的前 n 项和为 Sn，在数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且 anSnn.(1)设 cnan1，求证：cn是等比数列；5 / 14(2)求数列bn的通项公式(1)证明 anSnn，an1Sn1n1.，得 an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列首项 c1a11，又 a1a11.a1，c1，公比 q.又 cnan1，cn是以为首项，为公比的等比数列(2)解 由(1)可知 cn()()n1()n，ancn11()n.当 n2 时，bnanan11()n
7、1()n1()n1()n()n.又 b1a1，代入上式也符合，bn()n.思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1，an1an.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列an的通项公式与前 n 项和 Sn.(1)证明 a1，an1an，当 nN*时，0.又，(nN*)为常数，6 / 14是以为首项，为公比的等比数列(2)解 由是以为首项，为公比的等比数列，得()n1，ann()n.Sn12()23()3n()n，Sn1(
8、)22()3(n1)()nn()n1，1 2Sn()2()3()nn()n1n()n1，Sn2()n1n()n2(n2)()n.综上，ann()n，Sn2(n2)()n.题型三 数列与其他知识的交汇命题点 1 数列与函数的交汇例 3 已知二次函数 f(x)ax2bx 的图象过点(4n,0)，且 f(0)2n，nN*，数列an满足f，且 a14.(1)求数列an的通项公式；(2)记 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn.解 (1)f(x)2axb，由题意知 b2n，16n2a4nb0，a，则 f(x)x22nx，nN*.数列an满足f，又 f(x)x2n，2n，2n，由叠加法可得2462(n1)
9、n2n，化简可得 an(n2)，7 / 14当 n1 时，a14 也符合，an(nN*)(2)bn4 2n12n12，Tnb1b2bnanan12(11 3)(1 31 5)(1 2n11 2n1)2(11 2n1).命题点 2 数列与不等式的交汇例 4 设各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn 满足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求 a1 的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有0(nN*)，公比 q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又 a3 与 a5 的等比中项为 2.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnlog2an，求数列bn的前 n 项和 Sn；(3)是否存在 kN*，使得0，a3a55，又 a3 与 a5 的等比中项为 2，a3a54，而 q(0,1)，a3a5，a34，a51，q，a116，an16()n125n.(2)bnlog2an5n，bn1bn1，b1log2a1log216log2244，bn是以 b14 为首项，1 为公差的等差数列，Sn.(3)由(2)知 Sn，.当 n8 时，0；当 n9 时，0；当 n9 时，0.当 n8 或 n9 时，18 最大故存在 kN*，使得k 对任意 nN*恒成立，k 的最小值为19.