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1、1 / 19【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习高考专题突破六高考精选高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的圆锥曲线问题教师用书中的圆锥曲线问题教师用书1(2015课标全国)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为( )A. B2 C. D.2答案 D解析 如图，设双曲线 E 的方程为1(a0，b0)，则|AB|2a，由双曲线的对称性，可设点 M(x1，y1)在第一象限内，过M 作 MNx 轴于点 N(x1,0)，ABM 为等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|B
2、M|sinMBN2asin 60a，x1|OB|BN|a2acos 602a.将点 M(x1，y1)的坐标代入1，可得 a2b2，e ，选 D.2设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为( )A. B. C. D.9 4答案 D解析 由已知得焦点坐标为 F(，0)，因此直线 AB 的方程为 y(x)，2 / 19即 4x4y30.方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得 4y212y90，故|yAyB|6.因此 SOAB|OF|yAyB|6.方法二 联立方程得 x2x0，故 xAxB.根据抛物线的定义有|AB
3、|xAxBp3 212，同时原点到直线 AB 的距离为 h，因此 SOAB|AB|h.3(2016山西质量监测)已知 A，B 分别为椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点，直线 ykx(k0)与椭圆交于 C，D 两点，若四边形 ACBD的面积的最大值为 2c2，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.22答案 D解析 设 C(x1，y1)(x10)，D(x2，y2)，将 ykx 代入椭圆方程可解得 x1，x2，则|CD|x1x2|.又点 A(a,0)到直线 ykx 的距离 d1，点 B(0，b)到直线 ykx 的距离 d2，所以 S 四边形 ACBDd1|CD|d2|CD|(d1d2)|CD|2
4、ab 1k2b2a2k23 / 19ab.令 t，则 t212abk b2a2k212ab12ab2，当且仅当a2k，即 k时，tmax，所以 S 四边形 ACBD 的最大值为 ab.由条件，有 ab2c2，即 2c4a2b2a2(a2c2)a4a2c2,2c4a2c2a40,2e4e210，解得 e2或 e21(舍去)，所以 e，故选 D.4(2016北京)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形 OABC的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a_.答案 2解析 设 B 为双曲线的右焦点，如图所示四边形 OABC 为正方形且边长为 2，c
5、|OB|2，又AOB，tan1，即 ab.又 a2b2c28，a2.题型一 求圆锥曲线的标准方程例 1 已知椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点为 F1、F2，离心率为，4 / 19过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点若AF1B 的周长为 4，则 C 的方程为( )A.1 B.y21C.1 D.1答案 A解析 由 e，得.又AF1B 的周长为 4，由椭圆定义，得 4a4，得 a，代入，得 c1，所以 b2a2c22，故椭圆 C 的方程为1.思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程(2015天津)已知双曲线1(a
6、0，b0 )的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23 相切，则双曲线的方程为( )A.1 B.1 C.y21 Dx21答案 D解析 双曲线1 的一个焦点为 F(2,0)，则 a2b24，双曲线的渐近线方程为 yx，由题意得，5 / 19联立解得 b，a1，所求双曲线的方程为 x21，选 D.题型二 圆锥曲线的几何性质例 2 (1)(2015湖南)若双曲线1 的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.5 3(2)(2016天津)设抛物线(t 为参数，p0)的焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C，
7、AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|2|AF|，且ACE 的面积为 3，则 p 的值为_答案 (1)D (2)6解析 (1)由条件知 yx 过点(3，4)，4，即 3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.故选 D.(2)由(p0)消去 t 可得抛物线方程为 y22px(p0)，F，|AB|AF|p，可得 A(p，p)易知AEBFEC，故 SACESACF3pp1 2p23，p26，p0，p.思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、6 / 19双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系掌握一些常用的
8、结论及变形技巧，有助于提高运算能力已知椭圆1(ab0)与抛物线 y22px(p0)有相同的焦点 F，P，Q 是椭圆与抛物线的交点，若 PQ 经过焦点 F，则椭圆1(ab0)的离心率为_答案 1解析 因为抛物线 y22px(p0)的焦点 F 为，设椭圆另一焦点为 E.当 x时，代入抛物线方程得 yp，又因为 PQ 经过焦点 F，所以 P 且 PFOF.所以|PE| p，|PF|p，|EF|p.故 2a pp,2cp，e1.题型三 最值、范围问题例 3 若直线 l：y过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行(1)求双曲线的方程；(2)若过点 B(0，b)且与 x 轴不平行的直
9、线和双曲线相交于不同的两点 M，N，MN 的垂直平分线为 m，求直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围解 (1)由题意，可得 c2，所以 a23b2，且 a2b2c24，7 / 19解得 a，b1.故双曲线的方程为y21.(2)由(1)知 B(0,1)，依题意可设过点 B 的直线方程为ykx1(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(13k2)x26kx60，所以 x1x2，36k224(13k2)12(23k2)000 时，若 x3 是方程的解，则 f(3)0k0另一根为 x0b0)的13 / 19离心率为，且过点(1，)若点 M(x0，y0)在椭圆 C 上，则点 N(，)称为点 M
10、 的一个“椭点” (1)求椭圆 C 的标准方程(2)若直线 l：ykxm 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且 A，B 两点的“椭点”分别为 P，Q，以 PQ 为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由解 (1)由题意知 e，e2，即 a2b2，又1，a24，b23，椭圆 C 的标准方程为1.(2)AOB 的面积为定值理由如下：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 P(，)，Q(，)，以 PQ 为直径的圆经过坐标原点，0，即0.由得(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0，得 34k2m20.x
11、1x2，x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2，代入0，即 y1y2x1x2，得，即 2m24k23，3m24k2 34k2|AB|x1x2|，由点 O 到直线 AB 的距离公式得14 / 19d，SAOB|AB|d，把 2m24k23 代入上式，得 SAOB.1(2015陕西)如图，椭圆 E：1(ab0)，经过点 A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆 E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点P，Q(均异于点 A)，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.(1)解 由题设知，b1，结合 a2b2c2，解得 a
12、，所以椭圆的方程为y21.(2)证明 由题设知，直线 PQ 的方程为 yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知 0，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则 x1x2，x1x2，从而直线 AP，AQ 的斜率之和 kAPkAQkx22k x22k(2k)2k(2k)x1x2 x1x22k(2k)2k2(k1)2.2(2016金华十校联考)椭圆 C：1(ab0)的上，下顶点分别为 A，B，右焦点为 F，点 P(，)在椭圆 C 上，且 OPAF.15 / 19(1)求椭圆 C 的方程；(2)设不经过顶点 A，B 的直线 l 与椭圆交于两
13、个不同的点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，且2，求椭圆右顶点 D 到直线 l 距离的取值范围解 (1)点 P(，)，kOP，又AFOP，1，cb，a24b2.又点 P(，)在椭圆上，1，解得 a24，b21，故椭圆方程为y21.(2)()当直线 l 的斜率不存在时，方程为 x1，此时 d1.()当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykxm(m1)，联立椭圆方程得(4k21)x28kmx4(m21)0，由根与系数的关系得 x1x2，x1x2，由 04k2m210，由2x1x22x1x22，即 km1m2km(m0)，把式代入式得 m2或 00，n0)，且曲线 C 过 A(，)，
14、B(，)两点，O 为坐标原点(1)求曲线 C 的方程；(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线 C 上两点，且 OMON，求证：直线 MN 恒与一个定圆相切(1)解 由题可得解得 m4，n1.所以曲线 C 的方程为 y24x21.(2)证明 由题得 y4x1，y4x1，x1x2y1y20，原点 O 到直线 MN 的距离dx2 1y2 1x2 2y2 2x1x22y1y22 x2 1y2 1x2 2y2 2 x2 1x2 2y2 1y2 2 13x2 113x2 2 23x2 1x2 2 .由 x1x2y1y20，得xxyy(14x)(14x)14(xx)16xx，所以 xx(xx)，
15、d 3x2 1x2 2125x2 1x2 225 23x2 1x2 2 ，17 / 19所以直线 MN 恒与定圆 x2y2相切4已知椭圆1 的左顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 的直线交椭圆于 B，C 两点(1)求该椭圆的离心率；(2)设直线 AB 和 AC 分别与直线 x4 交于点 M，N，问：x 轴上是否存在定点 P 使得 MPNP？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由解 (1)由椭圆方程可得 a2，b，从而椭圆的半焦距 c1.所以椭圆的离心率为 e.(2)依题意，直线 BC 的斜率不为 0，设其方程为 xty1.将其代入1，整理得(43t2)y26ty90.设 B(x1，y1
16、)，C(x2，y2)，所以 y1y2，y1y2.易知直线 AB 的方程是 y(x2)，从而可得 M(4，)，同理可得 N(4，)假设 x 轴上存在定点 P(p,0)使得 MPNP，则有0.所以(p4)20.将 x1ty11，x2ty21 代入上式，整理得(p4)20，18 / 19所以(p4)20，即(p4)290，解得 p1 或 p7.所以 x 轴上存在定点 P(1,0)或 P(7,0)，使得 MPNP.5(2016浙江名校第一次联考)已知椭圆 C：1(ab0)的左，右焦点为 F1，F2，离心率为 e.直线 l：yexa 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B 两点，M 是直线 l 与椭圆 C
17、 的一个公共点，P 是点 F1 关于直线 l 的对称点，设.(1)若 ，求椭圆 C 的离心率；(2)若PF1F2 为等腰三角形，求 的值解 (1)因为 A，B 分别是直线 l：yexa 与 x 轴，y 轴的交点，所以 A，B 的坐标分别为(，0)，(0，a)，由 得Error!所以点 M 的坐标是(c，)，由，得(c，)(，a)即解得 1e2，因为 ，所以 e.(2)因为 PF1l，所以PF1F290BAF1 为钝角，要使PF1F2 为等腰三角形，必有|PF1|F1F2|，即|PF1|c.设点 F1 到 l 的距离为 d，由|PF1|dc，得e，1e21e2所以 e2，于是 1e2.19 / 19即当 时，PF1F2 为等腰三角形